资源简介

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
学习目标
1.理解三角形的中线、角平分线、高与重心的概念.
2.通过观察,作图探索一个三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在直线的交点的有关结论，体会分类的思想.能够利用三角形的高、中线和角平分线解决一些简单的问题.
自主探索
1.回忆复习垂线、中点、角平分线的定义.
2.这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．
任务一　三角形的中线、角平分线、高
活动1　三角形的中线
1.如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.
问题1 已知△ABC的中线AD，你能得到什么结论？用几何语言描述这个结论.
问题2 线段的中点和三角形的中线相同吗 为什么
2.分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，你能画出它们的所有中线吗？各有多少条中线？它们有怎样的位置关系
归纳总结：一个三角形有 条中线，这三条中线 ，三角形 的交点叫作三角形的重心.
【即时测评】
1.如图，BD＝DE＝EF＝FC，那么（　　）是△ABE的中线．
A．AD B．AE C．AF D．以上都是
2.如图，在△ABC中，AB＝5厘米，BC＝3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM的周长之差是　　厘米．
活动2 三角形的角平分线
1.定义：如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
问题1 已知△ABC的角平分线AD，你能得到什么结论？用几何语言描述这个结论.
问题2 角的平分线与三角形的角平分线相同吗 为什么
2.分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，你能画出它们的角平分线吗？各有多少条？它们有怎样的位置关系
归纳总结：一个三角形有 条角平分线，三角形的三条角平分线 .
【即时测评】
1.如图所示，在△ABC中，点D是边AC上一点，E是边BC上一点，且∠ABD=∠CBD,∠BDE=∠CDE，则BD是△ 的角平分线，DE是△ 的角平分线.
2.如图所示，E,D是线段BC上的点，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠DAE=20°，则∠EAC= .
活动三 三角形的高
1.定义：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高.
问题1 已知△ABC的高AD，你能得到什么结论？用几何语言描述这个结论.
问题2 垂线和三角形的高相同吗 为什么
2.一个三角形有几条高？分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，探究高的位置、三条高是否相交以及交点的位置.
【即时测评】
作△ABC的边AB上的高,下列作法中,正确的是( )
活动4 你能通过折叠的方式找出三角形的高、中线、角平分线吗
例1 如图,在△ABC中,E是AC的中点,∠A的平分线分别交BE、BC于点F、D.指出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线,哪条线段是哪个三角形的中线.
例2 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB,垂足为E.指出图中哪条线段是哪个三角形的高.
例3 (1)如图,AD 是△ABC的中线.△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系 为什么
(2)你能把1个三角形分成面积相等的4个三角形吗 试画出相应的图形.
当堂达标
1. 如图，△ABC中BC边上的高是（　　）
A．BD B．AE C．BE D．CF
2.已知:如图,点O是△ABC的重心,连接AO并延长交BC于点D,若BC=10,BE=3,则ED的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
3.如图,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F.
(1)　　　　是△ABC的角平分线;
(2)　　　　是△BCE的中线;
(3)　　　　是△ABD的角平分线.
4.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BE是AC边上的中线,如果AC=10 cm,则 AE=　　 cm,如果∠ABD=30°,则∠ABC=　 　.
5.已知△ABC,根据要求画图.
(1)画BC边上的高.
(2)画∠C的平分线.
(3)将△ABC分成面积相等的两部分.
6.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD， AD是△ABC的角平分线吗？请说明理由.
课堂小结
(1)什么是三角形的高、中线、角平分线、重心 它们与垂线、中点、角平分线有什么区别
(2)三角形的三条高、三条中线、三条角平分线有什么特点
(3)如何画钝角三角形的高
(4)你学到了哪些研究数学问题的思想方法
参考答案
当堂达标
1.B 2.C 3.BE DE BF 4.5 60°
5.解:如图
(1)线段AD即为所画.
(2)CE即为∠ACB的平分线.
(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(此问答案不唯一).
6.解：AD是△ABC的角平分线.理由：
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线．

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