第17章 因式分解 数学活动 学案(含答案)2025-2026学年数学人教版八年级上册

资源下载
  1. 二一教育资源

第17章 因式分解 数学活动 学案(含答案)2025-2026学年数学人教版八年级上册

资源简介

第17章 数学活动
学习目标
1.探究个位数是 5 的数的平方的简便运算规律,并能用式子表示这个运算规律,进而用整式的乘法知识进行证明,了解数学建模的方法,学会数学思考.
2.通过因式分解和密码生成的活动,巩固因式分解的知识,并培养数学应用能力和创新思维.
自主探索
1. 一个两位数,十位上的数是 a,个位上的数是 b,这个两位数用代数式可以表示为______________
2. 一个三位数,百位上的数是 a,十位上的数是 b,个位上的数是 c,这个三位数用代数式可以表示为______________.
活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
问题1 我们共同来进行一个简单的数学计算:
15×15=1×2×100+25 ,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
……
观察上述每一个算式,这些算式左右两侧具有什么样的规律?
问题2 你能再举几个具有这样特征的例子,并用上述方法验证其正确性吗?
问题3 用字母怎么表示得到的一般性的规律呢?
问题4 你能用本章所学的知识证明你的结论吗?
活动2 利用因式分解生成密码
人类历史使用密码的历史悠久,利用因式分解可以生成密码;先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或0的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y-4y,将其分解因式为y(x+2)(x-2).若取x=15,y=12,则有y=12,x+2=17,x-2=13.其中12,17,13分别为因式码,将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字,得出新的密码.
问题1 已知多项式16p4-q4,当取p=10,q=5时,用上述方法生成的密码是什么
问题2 已知多项式16p4-q4,用上述方法生成密码,若密码的前两个因式码为5,15,你能求出第三个因式码吗
问题3 自己写一个多项式,并用上述方法生成密码.
当堂达标
1. 老师在黑板上写了三个算式,希望同学们认真观察,发现规律.请你结合这些算式,解答下列问题:
请观察以下算式:32-12=8×1;52-32=8×2;72-52=8×3;…
(1)试写出符合上述规律的第五个算式;
(2)验证:设两个连续奇数为2n+1,2n-1(其中n为正整数),用因式分解的方法说明它们的平方差是8的倍数.
2.阅读与思考:在现今信息化时代,智能手机几乎人手必备,应用到了生活的各个领域,锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用,而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式;x2-9因式分解的结果为(x-3)(x+3)或(x+3)(x-3),取个人年龄作为x的值,当x=13时,x-3=10,x+3=16,此时可以得到数字密码1016或1610.
(1)根据上述方法,若多项式为x2-16,当x=15时,求出锁屏密码;
(2)若王老师选取的多项式为x3-x,已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334,请尝试分析王老师当前年龄是多少岁,并说明理由.
课堂小结
1.通过本节课的学习,你有那些收获
2.有什么体会和感悟
3.你还有哪些疑问
参考答案
当堂达标
1.解:(1)第五个算式为112-92=8×5.
(2)验证:设两个连续奇数为2n+1,2n-1,
则(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)
=2×4n
=8n.
故两个连续奇数的平方差是8的倍数.
2.解:(1)∵x2-16因式分解的结果为(x-4)(x+4)或(x+4)(x-4),
∴当x=15时,x-4=11,x+4=19,
∴锁屏密码为1119或1911.
(2)王老师的年龄是34岁.理由如下:
x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)=x(x-1)(x+1)=(x+1)(x-1)x=(x+1)x(x-1)=(x-1)x(x+1)=(x-1)(x+1)x,
∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334,35>34>33,
∴x+1=35,x=34,x-1=33,
∴x=34,
∴王老师的年龄是34岁.

展开更多......

收起↑

资源预览