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第2章《实数的初步认识 》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各数：，，，，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是4 B．16的平方根是4
C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数
3．已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
4．若是有理数，则不可以是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．18
5．我国古代数学家祖冲之算出的圆周率的近似值在3.1415926和3.1415927之间，并提出圆周率的约率为，密率为．下列对圆周率取近似数错误的是（ ）
A．3.1（精确到十分位） B．3.14（精确到0.01）
C．3.141（精确到千分位） D．3.1416（精确到0.0001）
6．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
8．有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，）
9．下列说法正确的是 ．
①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1．
10．扬州是全国文化历史名城，世界美食之都．扬州包子，扬州炒饭，扬州三头宴等特色美食吸引着全国各地的游客，据统计，刚刚过去的国庆假期，扬州共接待游客约万人次，万精确到 位．
11．的相反数是 ，的立方根是 ，的平方根是
12．已知，为有理数，且，则的值为 ．
13.据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，
比较大小：
14.有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ．
15．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表：
0.04 4 400 40000 …
0.2 2 20 200 …
已知，，则 ．
16．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分。）
17．计算：
(1)； (2)．
18．把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）．
有理数： ； 无理数： ；正实数： ； 负实数： ．
19．根据立方根的意义填空：
_____，_____，______，_____，_____．
观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？
20．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题：
a … 0.04 4 400 40000 …
… 0.2 2 20 200 …
(1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：
① ；② ；
(2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则
(3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值:① ②
21．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
(1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为__，___．
(2)某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由．
(3)若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根．
22．定理：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中为有理数，求和的值；
(2)如果，其中m、n为有理数，求的值．
23．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）．
探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．）(1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．）(2)减速后的速度应降至约多少米/秒？
24．探究发散：
(1)完成下列填空①，②，③___________．
④，⑤，⑥___________．
(2)根据上述计算结果，若，则___________．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示．
化简：
25．为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近．
(1)按照以上方法，可知，此时______；
(2)某数学兴趣小组提出以下求的方法：
解：，即，设，其中，则，即，
当时，可忽略，所以，解得，即．
请任选一种方法求的近似值精确到．
26．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”．
(1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由；
(2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值；
(3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明．
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：，，，，是有理数；，是无理数．故选B．
2．C
【详解】解：解：A、的立方根是，故本选项的说法错误；
B、的平方根是，故本选项的说法错误；
C、的算术平方根是，故本选项的说法正确；
D、可能为，故本选项的说法错误．故选：C．
3．A
【详解】解：根据题意知，解得：，
∴，∴这个正数是，故选：A．
4．B
【详解】解：A.当时，是有理数，不符合题意；
B.当时，是无理数，符合题意；
C.当时，是有理数，不符合题意；
D.当时，是有理数，不符合题意；故选：B．
5．C
【详解】解：A、3.1（精确到十分位），故原说法正确，不符合题意；
B、3.14（精确到0.01），故原说法正确，不符合题意；
C、3.142（精确到千分位），故原说法错，符合题意；
D、3.1416（精确到0.0001），故原说法正确，不符合题意；故选C．
6．B
【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意，可得，∴，
∴小美制作的正方体礼盒的棱长为，∴小美制作的正方体礼盒的体积为，
∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为，
设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，∴，∴，
∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为．故选：B．
7．B
【详解】解：甲：当时，，正确；乙：时，，错误；
丙：当时，，正确；故选：B．
8．D
【详解】解：∵，，，，，，
∴第个数是，故选：．
二、填空题
9．①
【详解】解：负数没有平方根，则①正确；
一个实数的立方根不是正数就是负数或0，则②错误；负数没有平方根，则③错误；
平方根等于它本身的数是0，则④错误；综上，正确的是①．故答案为：①．
10．千
【详解】解：万，∴万是精确到了千位，故答案为：千．
11．
【详解】解：的相反数是：，的立方根是：，
的平方根是：．故答案为：；；．
12．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，∴，故答案为：．
13.
【详解】解：，∵，∴，即，∴，
∴，∴，故答案为：．
14.
【详解】解：，∵8不是无理数，∴，∵2不是无理数，∴2的算术平方根式，
∵是无理数，∴，故答案为：．
15．
【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
，，故答案为：．
16．35
【详解】解：∵，∴，∴，∴的最大整数为35．故答案为：35．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：是有理数，是正实数；
是有理数，是负实数；
是无理数，是正实数；
0是有理数；
是无理数，是负实数；
是无理数，是正实数；
是有理数，是负实数；
（每两个3之间依次多一个0）是无理数，是负实数；
∴有理数：，，0，；无理数：，，， （每两个3之间依次多一个0）；
正实数：，，；负实数：，，， （每两个3之间依次多一个0）．
19．解：；；；；，则对于实数；
对于式子（是整数），
当为偶数时，；
当为奇数时，．
20．（1）解：∵，∴，
∴；故答案为：0.1435，14.35；
（2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有：
∵≈1.260 ，．故答案为：
（3）解：移项得即得或；
②原方程移项得，即，解得．
21．（1）解：∵小正方形边长为1，∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为．
∴．∴A表示的数为，B表示的数为．故答案为：，．
（2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：，
∴小正方形面积为：．故长方形对角线长度为：．
（3）解：∵，，∴，．
∵，∴，∴．故．
22．（1）解:∵，其中为有理数，
∴，；∴，．
（2）∵，∴，
∵m、n为有理数，∴，解得，∴．
23．（1）解：（焦耳）；
∴探测器进入火星轨道时的动能为焦耳；
（2）解：由题意得：，解得：（米/秒），
∴减速后的速度应降至约2828米/秒．
24．（1）解：③；⑥；
（2）解：由（1）总结归纳可得：当，则；
（3）解：由数轴可得：，，
∴，，，
∴．
25．（1）解：最接近26的完全平方数25，，故答案为：25；
（2）解：方法1：；
方法2：，即，
设，其中，则，即，
当时，可忽略，所以，解得，即．
26．（1）解：因为，，，，
所以，以上三个数是“最美组合数”；
（2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为18，∴这两个数的乘积为324，
当时，，，此时，，符合；
当时，，，此时，，符合；
当时，不成立，舍去．所以或．
（3）情况一：每个数的绝对值都是完全平方数（形式为，a，b，c是正整数）
例子：，，
推理说明：设，，，三个数表示为，，．
计算两两乘积的算术平方根：；；，结果都是整数，符合“最美组合数”定义．
情况二：三个数的绝对值不是完全平方数，但它们乘积的算术平方根是整数（形式为，a，b，c，k是正整数）
例子：，，
推理说明：可变形为，，，即，，，，三个数表示为，，．
计算两两乘积的算术平方根：，而根据形式计算，这里；，形式计算为；，形式计算为，结果都是整数，符合“最美组合数”定义．

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