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第二章《 实数的初步认识 》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．在，，，中，有理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．中的 B． C．的立方根是 D．3是的算术平方根
3．关于的叙述错误的是（ ）
A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点
C．的相反数是 D．的整数部分是4
4．在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（ ）
类型 长（） 宽（）
A． B． C． D．
5．一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（ ）
A．32的5次方根是2 B．16的4次方根是2
C．的立方根是4 D．5的平方根是
6．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．② B．②③ C．①②③ D．②③④
7．我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（ ）
A． B． C． D．
8．对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作：
这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ）
①对130进行两次操作后的结果为3；②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1；
③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
9．2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ．
10．如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为 ．
11．如图，将有理数表示在数轴上，则化简的结果为 ．
12．比较大小： ; ．
13.已知，，，，，则 ， ．
14．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为
15．观察下列各式：，，，……
按照以上的规律，写出第10个式子为 ．
16．小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换：
A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数．
B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数．
如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题：
①输入数，经过一次变换得到的输出数是3；
②输入数，经过一次变换得到的输出数是3；
③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9；
④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是．
利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分。）
17．计算：
(1)； (2)；
18．计算：
(1)； (2)．
19．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．
(1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值；(2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由．
20．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以．
任务：(1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
(2)运用以上结论，计算：①；②；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
21．理解与应用
【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值．
解：由得．
因为a，b都是有理数，所以，也是有理数．
因为是无理数，所以，，解得：，，
【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值．
22．阅读理解，并回答问题．
阅读材料1：∵，∴，即．
∴的整数部分为2，小数部分为．
阅读材料2：对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法．
例如：比较与的大小时，可以计算，得，
∵，∴．∴．
(1)请表示出的整数部分和小数部分；(2)试判断与的大小，并说明理由．
23．本学期第六章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写下表
1 16 81
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________．
（2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________；
【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________．
24．阅读材料，完成下列任务：
【问题情境】因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．∴的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
∵，∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【问题解决】(1)利用材料一中的方法，求的整数部分；(2)利用材料一中的方法，求的小数部分；(3)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
25．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)______；(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
26．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）【问题情景】
数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；；；…
【实践探究】(1)按照此规律，计算：__________．
(2)计算：；
【迁移应用】(3)若符合上述规律，请直接写出x的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【详解】解；∵，
∴在1，2，3，4，，2024中，只有44个数是完全平方数，
∴在，，，中，只有44个整数，故选：C．
2．D
【详解】解：A、中的a为一切实数，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、的立方根是2，故此选项不符合题意；
D、，则3是的算术平方根，故此选项符合题意；故选：D．
3．D
【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意；
B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意；C、的相反数是，正确，不符合题意；
D、，故的整数部分是3，原说法错误，符合题意；故选：D．
4．C
【详解】解：计算各类型长宽比：
：；：；：；
：；：；所有比值均接近；
∴型纸的长与宽的比为，故选：．
5．A
【详解】解：A、，32的5次方根是，故本选项符合题意；
B、，16的4次方根是，故本选项不符合题意；
C、，的立方根是，故本选项不符合题意；
D、5的平方根是，故本选项不符合题意．故选：A．
6．D
【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误．
推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确．
推断③：设，则．因，故，得，③正确．
推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确．综上，合理推断为②③④，故选D．
7．D
【详解】解：，，是两位数，
又只有个位上是的数的立方的个位上的数是，的个位上的数是，
如果划去后面的三位得到，而，，
十位上的数是，的值是，故选：D．
8．B
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故①正确；
设n为一个正整数，则，即，
∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确；
设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，
∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，∴正整数进行4次操作后变为1，
∴，∴．∴，∴∴．∴，
同理可得，∴∵是正整数．∴的最大值为65535．故③不正确；故选：B。
二、填空题
9．21.10
【详解】解：将21.0975精确到0.01的数是21.10．故答案为：21.10．
10．4
【详解】解：通过观察图形，将阴影部分进行割补，可发现阴影部分的面积恰好是正方形面积的一半．
设正方形的边长为，则正方形的面积为．
阴影面积为，且阴影面积是正方形面积的一半;
解得（边长不能为负，舍去 ）故答案为： ．
11．
【详解】解：由数轴特点可得，∴，
∴故答案为： ．
12．;
【详解】解：，，，．故答案为：．
，，，，故答案为：
13. 1.285 2.342
【详解】解：，
故答案为：1.285；2.342
14．-80
【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10，
∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则，解得：，
此时，，，∴，，是“完美组合数”；
②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则，解得：，
∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数，∴不合题意； 综上所述，．
15．
【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，
第10个等式：，故答案为：．
16．①②③
【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出，
∵∴∴不小于的最小整数为3，
即得到的输出数是3；故①是符合题意；
输入数，经过一次变换，即先求出，则
∴得到的输出数是3；故②是符合题意；
∵输入数经过一次变换得到，∴，
∵，∴，∴，∴，即，
∴，故③是符合题意；
∵再经过一次变换得到1，∴，∴，∴，
∵经过一次变换得到，即不小于的最小整数是，
∵∴的取值范围是．故④不符合题意；故答案为：①②③
三、解答题
17．（1）解：原式
．
（2）解：原式
；
18．（1）解：
或
∴或；
（2）解：
∴．
19．（1）解：由可得：；
答：此时d的值为．
（2）说法错误，理由如下：站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时，
，，
，，∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
20．（1）解：由题意得；
（2）解：①；
②；
（3）解：由题意得，
答：这个长方形的面积为.
21．解：由，得：．
因为x，y都是有理数，所以，也是有理数．
因为是无理数，所以，，解得，，
当，时，
当，时，
综上所述，的值为64或．
22．（1）解：∵，∴，则的整数部分为，小数部分为；
（2）解：，理由如下，
∵， ∴．
23．
【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，；
类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
【拓展应用】（1）；故答案为：
（2）∵，∴．故答案为：
24．（1）解：∵，即．∴的整数部分是2．
（2）∵，即．∴的小数部分是．
（3）∵面积是5的正方形的边长是，易知，∴，画出示意图．
由示意图面积计算，得，∵，∴．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
25．（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，∴和 互为相反数，∴，∴；故答案为：3．
（3）解：∵，即，∴或1解得：或
∵与互为相反数，即，
∴，即，∴当时，；当，．
26．（1）解：；；
；…；∴，的正整数，
∴．故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵符合，
∴，∴，∴．

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