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大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．2和8的等比中项的值是 ．
2．复数的虚部是 ．
3．已知，点满足，则点的坐标为 ．
4．化简 ．（要求将结果写成某个
角的三角比）
5．已知，则的值是 ．
6．已知扇形的圆心角，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是 ．
7．数列满足，则 ．
8．循环小数化为分数： ．
9．已知单位向量的夹角为为原点，，则的面积为 ．
10．已知函数（常数），若当且仅当时，函数取得最大值1，则实数的数值是 ．
11．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ．
12．已知集合是由函数的图像上两两不同的点构成的点集．集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列，符合条件的点集的个数为 ．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．设复数在复平面上对应的向量分别为，以下等式一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
14．若四边形满足在方向上的数量投影为0，则该四边形一定是（ ）．
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
15．已知函数的部分图像如图所示，则的一组数值可以是（ ）．
A． B． C． D．
16．托勒密是古希腊天文学家、地理学家，托勒密定理就是由其名字命名．该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
三、简答题
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知是等差数列的前项和，且．
（1）求通项公式；
（2）若，求正整数的值．
18．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知角的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆，叫单位圆）的交点位于第二象限；角的终边与单位圆的交点位于第三象限．若点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．（结果用反三角函数值表示）
19．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知复数，其中为虚数单位，．
（1）当是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数的值．
（2）求的取值范围．
20．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
对于一组向量且，令，如果存在满足，那么称是该向量组的＂向量＂．
（1）设，若是向量组的＂向量＂，求实数的取值范围；
（2）若，向量组是否存在＂向量＂？若存在，求出所有的＂向量＂的和；若不存在，请说明理由；
（3）已知均是向量组的＂向量＂，其中
．设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最值．
大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．2和8的等比中项的值是 ．
【答案】
2．复数的虚部是 ．
【答案】
3．已知，点满足，则点的坐标为 ．
【答案】
4．化简 ．（要求将结果写成某个
角的三角比）
【答案】
5．已知，则的值是 ．
【答案】
6．已知扇形的圆心角，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是 ．
【答案】
7．数列满足，则 ．
【答案】
8．循环小数化为分数： ．
【答案】
9．已知单位向量的夹角为为原点，，则的面积为 ．
【答案】
10．已知函数（常数），若当且仅当时，函数取得最大值1，则实数的数值是 ．
【答案】
11．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ．
【答案】
12．已知集合是由函数的图像上两两不同的点构成的点集．集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列，符合条件的点集的个数为 ．
【答案】
二、选择题（每题4分，共16分）
13．设复数在复平面上对应的向量分别为，以下等式一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
14．若四边形满足在方向上的数量投影为0，则该四边形一定是（ ）．
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
15．已知函数的部分图像如图所示，则的一组数值可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
16．托勒密是古希腊天文学家、地理学家，托勒密定理就是由其名字命名．该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设
由托勒密定理知，，所以．
又因为，所以
另解，考虑等腰三角形
三、简答题
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知是等差数列的前项和，且．
（1）求通项公式；
（2）若，求正整数的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵是等差数列，且，设公差为．
∴解得∴通项公式
另解：，
（2）∵等差数列的求和公式，
∴，解得．
18．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知角的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆，叫单位圆）的交点位于第二象限；角的终边与单位圆的交点位于第三象限．若点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵的终边与单位圆交于第二象限的点，且，
，
（2）∵的终边与单位圆交于第三象限的点，且，
19．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知复数，其中为虚数单位，．
（1）当是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数的值．
（2）求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）是方程的两个虚根，所以，即，
由韦达定理可得；
（2），令，
则，
设∴．
20．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
对于一组向量且，令，如果存在满足，那么称是该向量组的＂向量＂．
（1）设，若是向量组的＂向量＂，求实数的取值范围；
（2）若，向量组是否存在＂向量＂？若存在，求出所有的＂向量＂的和；若不存在，请说明理由；
（3）已知均是向量组的＂向量＂，其中
．设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最值．
【答案】（1） （2）
（3），
【解析】（1）即坐标向量代入
整理得∴
（2），，
，
即周期为4，且满足∴
，，
，
整理得，即，∴
∴是＂向量＂，共个，＂向量＂，其和为
另解：不符；
符合；
不符；
不符；
（3）均是向量组的＂向量＂，
即满足
相加，
整理得即，
∴，则，
设即
与关于点对称，与关于点对称
横坐标满足即成等差数列
同理，纵坐标满足得
当时，即有
当时，即有
另解：考虑数形结合

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