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13.2与三角形有关的线段 练习
一、单选题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11
C．2，2，3 D．10，5，5
2．小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（ ）
A．4，5，10 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，3，5
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23
4．若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．13
5．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．现有长度为和的木棒，再从长度为，，的木棒中选取一根，使得三根木棒能够拼出三角形，则选取的木棒长度应是 ．
12．已知三角形的两边长分别是3和7，如果第三边长为x（x是整数），则x最大为 ．
13．如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ．
14．如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”）
15．如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则 ．
三、解答题
16．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
(1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
17．在中，．
(1)求长度的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状．
18．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．
(1)画出边上的高和中线；
(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．
19．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，．
(1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）；
(2)请判断与的数量关系，并说明理由．
20．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积．
《13.2与三角形有关的线段 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C B D B A C D
1．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：A中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
B中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
C中，三条线段能构成三角形，故符合题意；
D中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：A中，不能构成三角形支架，故不符合题意；
B中，不能构成三角形支架，故不符合题意；
C中，能构成三角形支架，故符合题意；
D中，不能构成三角形支架，故不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较小的两条线段之和是否大于最长的线段即可．
【详解】解：A，，满足条件，能组成三角形；
B，，不满足条件，不能组成三角形；
C，，不满足条件，不能组成三角形；
D，，不满足条件，不能组成三角形；
故选A．
4．C
【分析】本题考查了三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：设第三边长为，
∵三角形的两边长分别为4和9，
∴，即
观察四个选项，唯有C选项的8满足；
故选：C
5．B
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可．
【详解】解：A、它是由两个四边形构成，不具有稳定性；
B、它是由三个三角形构成，具有稳定性；
C、它是由两个四边形构成，不具有稳定性；
D、它是有一个三角形和一个四边形构成，不具有稳定性．
故选：B
6．D
【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线，
∴，，，故选项A、B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
由与不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解．
【详解】解：∵在三角形中，是中线，
∴，
∴．
∵于E，于F，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案.
【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高，
．
，，
．
，
．
．
解得．
点到直线的距离是．
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可．
【详解】解：∵是中线，
∴，故A选项正确，
∵是的高，
∴，故B选项正确，
∵是角平分线，
∴，故D选项正确，
∵是中线，不是角平分线，
∴无法得出，故C选项无法得出，
故选：C
10．D
【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键
根据三角形的高线的定义，进行判断即可．
【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段，
据此，符合题意的是；
故选：D．
11．5
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三根木棒长度的取值范围，即可求解．
【详解】解：现有木棒的长度为和，
第三根木棒的长度，
即：第三根木棒的长度，
选取的木棒长度应是，
故答案为：5．
12．9
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为，
∴，
∴，
∵是整数，
∴最大整数为．
故答案为：．
13．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解释即可．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得三角形的稳定性是解释依据，
故答案为：三角形的稳定性．
14．=
【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线间的距离等知识点，掌握平行线间的距离相等成为解题的关键．
根据图形可知，再说明和同底等高，所以和面积相等从而得到和的关系．
【详解】解：由图易有：，
∵，
∴和同底等高，
∴，
∴．
故答案为：=．
15．
【分析】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．如图，连接，设，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论．
【详解】如图，连接，设，.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)该三角形最短边的最小值4；
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答；
（2）设，然后根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为，
由题意可得：，解得：，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4；
（2）解：设，
由题意可得：，
解得：．
17．(1)
(2)的周长为16，是等腰三角形
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：
（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；
（2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，
∴，
∴；
（2）∵的周长为偶数，为奇数，
∴的长为奇数，
∵，
∴，
∴的周长为，是等腰三角形．
18．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，
（1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求；
（2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可．
【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求；
（2）如图所示，边上的高即为所求；
∵的长等于5
∴
∴
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．
（1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可；
（2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，即，
．
（2）如图，连接．
设，则，
点是的中点，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
20．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．
本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积．
【详解】解：是的中线，，
，
是的中线，
．

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