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14.3角的平分线 练习
一、单选题
1．如图，在中，，平分，若，，点是边上的任意一点，连接，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
3．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
4．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
5．如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　）
A． B．3 C． D．4
6．已知点M在的平分线上，点M到的距离为20，点N是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分，则的面积为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
10．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ．
12．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）．
13．如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则 ．
14．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长为 ．
15．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ．
三、解答题
16．如图，已知，于．请你利用尺规在边上求作一点，使到的距离与长度相等．（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且．
(1)求证：是的平分线：
(2)求证：．
18．如图，在中，为边上的高，是的角平分线， 点为上一点，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点，若，求证：．
19．如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分．
20．如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分．
《14.3角的平分线 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A A B A A A B
1．A
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点的综合应用，辅助线的作法是解题关键．过点作，当与重合，此时最小，根据角平分线的性质可得最小为，当与重合，此时最大，即最小为，据此范围本题得解．
【详解】解：过点作，
当与重合，此时最小，
平分，，，
，
当与重合，此时最大，
，
的长的范围是，
即B、C、D都在的长的范围内，A不在范围内，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，，
，
，
．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．
根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，
∴可供选择的地址有4个，
故选：D ．
4．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，
作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可．
【详解】解：过点D作，于点H，
∵是的角平分线，，
∴．
在和中，
，
∴，
同理．
设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得
，
解得，
所以的面积是11．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点D作交于点H，根据角平分线的性质得出，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点D作交于点H，
，
，
又，，，，
，
是的角平分线，
又，
，
又，
，
又∵点D是直线上一点，
∴当点P在上运动时，点P运动到与点H重合时最短，其长度为的长，即的长最小值为3，
，
的长不可能是，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查角平分线的性质；垂线段最短.
根据角平分线的性质，点M到和的距离相等，均为20，结合垂线段最短，可知点N在上时，的最小值为20，从而得出的取值范围。
【详解】解：∵点M在的平分线上，点M到的距离为20，
∴点M到的距离为20，
∵点N是上的任意一点，
∴，
故选：B.
7．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
平分，，
，
点E为的中点，，
，
的面积，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解．
【详解】解：作，，，
点是的三个内角平分线的交点，
，
点到边的距离是，
面积为，
即，
，
，
即的周长为．
故选：．
9．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10．B
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案．
【详解】解：过点作，垂足分别为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解．
【详解】解：∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
∵是的高线，，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了垂线段最短，四边形内角和，角平分线的性质，先结合平分，平分，则过点C作，交于一点，过点E作，运用角平分线的性质得，则最小，则，根据，即可作答．
【详解】解：依题意，过点C作，交于一点，过点E作
∵平分，，
∴，
即（垂线段最短）
∵，，
∴
∵
∴．
故答案为：
13．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理．作于点，设为根据角平分线的性质定理得到，根据的面积是40列方程并解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点，
设为
∵是的平分线，
∴
，
即，
解得．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了角平线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确的计算是解题的关键．
先根据角分平线的性质得到，在根据三角形面积公式得到，然后代入解方程即可．
【详解】解：为的平分线，，，
，
的面积是，
，
即，
解得．
故答案为:．
15．9
【分析】本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积．
【详解】解：过点作于点．
平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
，
．
又，
．
故答案为：．
16．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，分析“，使到的距离与长度相等”，得出作的角平分线，与的交点即为点，即可作答．
【详解】解：如图，点，即为所求．
∵是的角平分线，，
.
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可；
（2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可．
【详解】（1）过点E作于点H
点E在的平分线上，
，
，
．
又
是的平分线．
（2），
在和中
，
同理可得，
．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由角平分线定义得到，再由三角形外角性质得到，则，从而推出即可得证；
（2）过点作于点于点，如图所示，先由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到，接着证明，得到，数形结合，由角度之间的关系得到即可得证．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：过点作于点于点，如图所示：
∵平分，，
∴，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，涉及角平分线定义、三角形外角性质、角平分线的判定、角平分线的性质定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，数形结合找准相关角度之间的关系是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，，，
为的角平分线，
，
，
在和中，
，
，
平分．
20．见解析
【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明，进而可得，根据角平分线的判定定理，即可得证．
【详解】证明：，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
又，，
平分．

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