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(共28张PPT)
13.2 命题与证明
——三角形内角和定理
年 级：八年级 学 科：数学（沪科版）
故事导入
为什么老三说“大哥二哥，你们不能一样大，如果你们一样大，我们这个家就围不起来了”呢？
三角形的内角和等于180°
探究新知
验证？
度量
剪拼
折叠
179°或181°
实验误差
探究新知
回想一下证明的一般步骤是什么？
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
三角形的内角和等于180°
条件：
结论：
三个角是三角形的内角
三个角的和等于180°
探究新知
探究新知
已知：∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角。
求证：∠A +∠B +∠C =180°.
三角形的三个内角
转化
2、平行线间的同旁内角
1、平角
探究新知
大家试着自己动手将手中三角形三个不同顶点的内角转化为平角或平行线间的同旁内角。
动一动
探究新知
（1）
（3）
（2）
平角
平角
同旁内角
探究新知
模型
证明方法
？
辅助线
活动探究
（1）
（3）
（2）
A
B
C
2
4
E
1
3
D
探究新知
（1）
（3）
（2）
A
B
C
2
4
E
A
B
C
6
8
1
3
5
7
D
D
E
探究新知
（1）
（3）
（2）
A
B
C
2
4
E
A
B
C
6
8
1
3
5
7
D
D
E
A
B
C
10
9
D
探究新知
（1）
（3）
（2）
A
B
C
2
4
E
A
B
C
6
8
1
3
5
7
D
D
E
A
B
C
10
9
D
虚线
探究新知
已知：∠A，∠B，∠C为△ABC的三内角。
求证：∠A +∠B +∠C =180°.
如图，过点A作DE//BC，
∵DE//BC，
∴∠B=∠2.（两直线平行，内错角相等）
∠C=∠1.（两直线平行，内错角相等）
又∵D，A，E在同一条直线上，（所作）
∴∠2+∠BAC+∠1=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=∠2+∠BAC+∠1=180°（等量代换）
证明：
探究新知
已知：∠A，∠B，∠C为△ABC的三内角。
求证：∠A +∠B +∠C =180°.
如图，延长BA到点D，过点A作AE//BC，
∵AE//BC，
∴∠C=∠2.（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠1.（两直线平行，同位角相等）
又∵B，A，D在同一条直线上，（所作）
∴∠1+∠2+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=∠1+∠2+∠BAC=180°（等量代换）
证明：
探究新知
已知：∠A，∠B，∠C为△ABC的三内角。
求证：∠A +∠B +∠C =180°.
过点A作AD//BC，
∵AD//BC，
∴∠C=∠1.
（两直线平行，内错角相等）
∠B+∠BAC+∠1=180°.
（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BAC+∠C=∠B+∠BAC+∠1=180°（等量代换）
证明：
探究新知
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
符号语言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
探究新知
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，作辅助线将三个角转化成一个平角或平行线间的同旁内角.
应用新知
在△ABC中，∠C=90°，求:∠A+∠B的度数？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B =180°–∠C=180°–90°=90°.
推论 1：直角三角形的两锐角互余.
问题一：
应用新知
在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数。
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
问题二：
应用新知
推论 1：直角三角形的两锐角互余.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
像这样，由基本
事实、定理直接得出的
真命题叫做推论.
三角形内角和定理
学以致用
1.在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的2倍,则这两个锐角的度数是 和 .
30°
60°
解：设其中一个锐角的度数为x，则另一个锐角的度数为2x.
由三角形内角和定理，可以列方程：x+2x+90°=180°，
解得x=30°，则2x=60°。
所以，这两个锐角的度数分别是30°和60°。
学以致用
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
证明：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°.
由三角形内角和定理可得：
在△AEF中,
∵∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE,(对顶角相等)
∴∠CFD＝60°.
同理，在△CDF中，
∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
30°
80°
学以致用
3.已知：如图，在△ABC中，∠AFB=135°,
∠A、∠B的平分线AD、 BE交于F，
试证明△ABC为直角三角形．
A
B
C
F
E
D
证明:∵在△AFB中，∠AFB=135°，(已知)
∴∠FAB+∠FBA=180°-135°=45°(三角形内角和定理)
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，(已知)
∴∠CAB=2∠FAB，∠CBA=2∠FBA(角平分线的性质)
∴∠CAB+∠CBA=2(∠FAB+∠FBA)=90°，(等量代换)
∴△ABC为直角三角形．(有两个角互余的三角形是直角三角形)
135°
课堂小结
这节课，你有哪些收获呢？
针对本课关键词“三角形内角和定理的证明及推论”，说说你学到了什么.
课堂小结
证法
推论
转化为一个平角
或平行线间的同旁内角
三角形的内角和等于180 °
作辅助线
转化思想
推论1.直角三角形的两个锐角互余.
推论2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
作业布置
思考：
还有没有别的方法可以证明三角形的内角和等于180°呢？
书面作业：
沪科版教材 P81、82 练习第1、2题
同学们，再见！

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