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第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
2. 30°，45°，60° 角的三角函数值
第2课时 互余两角的三角函数
回顾与思考
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角 三角 函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
从上面的练习中我们不难发现：
你还能从中发现什么规律呢？
sin 30° = cos 60°
sin 60° = cos 30°
sin 45° = cos 45°
规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值.
问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？
提示：使用三角函数的定义证明.
A
C
B
c
a
b
互余两角的正弦、余弦值的关系
问题引导
在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边，邻边和斜边之间的比值也随之确定.
b
A
B
C
a
┌
c
∴sin A = cos B，cos A = sin B.
∴sin A = cos B，cos A = sin B.
∵∠A +∠B = 90°，
∴∠B = 90°－∠A，
即 sin A = cos B = cos(90°－∠A)，
cos A = sin B = sin(90°－∠A).
试一试：你能用文字叙述你发现的结论吗？
b
A
B
C
a
┌
c
任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.
归纳总结
几何语言：
∵∠A +∠B = 90°，
∴sinA = cosB，cosA = sinB.
例1 如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，若 sin A＝ ，求 cos B 的值.
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．
典例精析
解 ∵∠A+∠B = 90°，
∴cos B = cos(90° - ∠A) = sin A =
例2 已知 cos α＝ ，α＋β＝90°，则 cos β＝(　　)
C
解析：∵cos α＝ ，α＋β＝90°，∴sin β＝cos α＝ .设 β 是一个直角三角形中的锐角，且 sin β＝ ，
设 b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为 a＝4k，
∴cos β =
利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．
方法总结
下列式子中，不成立的是（ ）
A．sin 35° = cos 55°
B．sin 30°+ sin 45° = sin 75°
C． cos 30° = sin 60°
D．sin260° + cos260° = 1
B
练一练
互余两个锐角的正切值的关系
b
A
B
C
a
┌
c
在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定.
结论：互余两个锐角的正切值互为倒数.
例3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程 3x2－tx＋3＝0 的两个根，则∠C＝________．
解析：∵tan A，tan B 为方程 3x2－tx＋3＝0 的两根，
∠A，∠B 是锐角．
∴tan A·tan B＝1.
∴∠A＋∠B＝90°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
90°
【方法总结】利用 tan A·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A 与∠B 之间的关系，从而求出∠C 的大小．
解：∵在△ABC 中，∠C = 90°，tan A = ，
∴ tan B = .
又∵ sin A = ，
∴ cos B = sin A = .
1.在 △ABC 中，∠C = 90°，tan A= ，sin A= ，
（1）求 tan B，cos B。（2）求cosA.
知识拓展：
同一个锐角的三角函数之间的关系：
1. cos2A + sin2A=1
2.tan A=sinA/cosA
2.计算：
tan 33° · tan 34° · tan 35° · tan 55° · tan 56° · tan 57°
解：原式 = (tan 33° · tan 57°)( tan 34° · tan 56°)
(tan 35° · tan 55°)
=1×1×1
=1
互余两角的
三角函数
任意一个锐角的正（余）弦值，等于
它的余角的余（正）弦值.
互余两个锐角的正切值互为倒数.

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