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第14章 全等三角形
14.3 角的平分线
第2课时　角平分线的判定
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
定义
作法
性质
判定
OP平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别是D，E
PD=PE
平行线的性质：两直线平行，同位角相等
平行线的判定：同位角相等，两直线平行
如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角平分线的判定方法呢？
思
考
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究角平分线的判定定理
活动1　我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，你能得到哪一个命题？这个命题还成立吗
到角两边距离相等的点在角的平分线上.
活动1
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
？
OP平分∠AOB
∠AOP=∠BOP
△DOP≌△EOP
分析
画出
图形
写出
已知
求证
已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
｛
证明猜想
作射线OP，
此时点P满足PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，且PD=PE，但是点P并不在∠AOB的角平分线上.
角的平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
符号语言：
如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
图形 已知条件 结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
P
D
E
O
B
A
P
D
E
C
角的平分线的性质和判定的区别与联系
两个定理的条件与结论是相反的
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
即时测评
判断以下说法正确吗？
（1）如图1，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
判断以下说法正确吗？
（2）如图2，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的
平分线； ( )
判断以下说法正确吗？
（3）如图3，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且QM=QN,则点Q在∠AOB 的平分线上．( )
双垂直+等线段
若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且OM=ON,
∴点O在∠MQN的平分线上.
因为角的平分线上的点到角两边的距离相等;
反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
归纳总结：
范例应用
【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等；
D
E
F
A
B
C
P
N
M
BP平分∠ABC，
PD⊥AB，PE⊥BC,
垂足是D，E，
PD=PE
CP平分∠ACB，
PE⊥BC，PF⊥AC ,垂足是E，F，
PE=PF
PD=PE=PF
范例应用
【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等；
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：（1）过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA,垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上，
∴ PD=PE .
同理 PE=PF .
∴ PD=PE=PF .
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证：(2) △ABC的三条角平分线交于一点.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等,
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
归纳总结：三角形三个内角的平分线交于一点，而且这个点到三边的距离相等.
当堂达标
叁
1. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ的度数为( )
A、20° B、30° C、35° D、40°
当堂达标
C
2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
C
解：QM=QN.理由如下：
∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF，
∴OP平分∠AOB，
∵QM⊥OA，QN⊥OB，
∴QM=QN．
3.如图，点P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，点F，且PE=PF．点Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和点N，QM与QN相等吗？为什么？
4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，
所以PM = PQ，PN = PQ，
所以PM = PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF，
所以 AP平分∠BAC.
课堂小结
肆
课堂小结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
谢

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