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第15章 轴对称
15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究等腰三角形的性质
思
考
(1)怎么样的三角形为等腰三角形？
有两边相等的三角形是等腰三角形.
(2)一般的三角形与等腰三角形在角上有什么不同？等腰三角形特殊在哪里？
等腰三角形的两个底角 .
相等
腰
腰
底边
底角
底角
顶角
活动1
如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.
B
A
C
D
A
B
C
D
问题1 等腰三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴
问题2 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段与角.
是轴对称图形,1条对称轴
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC= 90°
问题3 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
猜想:
(1)等腰三角形的两个底角相等.
(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.
如何证明这个结论呢？
问题4 怎么证明命题“等腰三角形的两个底角相等”？
命题的题设是什么？结论是什么？你能画图，写出已知、求证吗？
等腰三角形的两个底角相等
（题设）
如果一个三角形是等腰三角形,
那么这个三角形的两个底角相等.
（结论）
构造（添加辅助线）
证明命题：等腰三角形的两个底角相等
证明猜想
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
分析：证明两个角相等
证明三角形相等
还能怎样做辅助线？
A
B
C
D
证明：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=CD（作图），
AD=AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（SSS）.
所以∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
证法二：作底边BC的高AD，交BC于点D.
因为AD⊥BC，
所以 ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
所以 Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
所以 ∠B＝∠C.
A
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
证法三：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
因为AD平分∠BAC ，
所以∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
所以 △ABD ≌ △ACD（SAS），
所以 ∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
符号语言：
∵
归纳总结
证法一：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=CD（作图），
AD=AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（SSS）.
所以∠B= ∠C，
∠BAD=∠CAD，
∠ADB= ∠ADC，
因为∠ADB+ ∠ADC=180 °,
所以∠ADB= ∠ADC=90 °.
(AD是底边上的高)
等腰三角形的性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）
问题5 证明性质1时得到∠B=∠C,
还可以得到其他数学结论吗？
A
B
C
D
(AD是顶角的平分线）
等腰三角形性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简写成“三线合一”.
“三线合一”的意思是只要产生了其中一条线，那么它同时也是其余的 两条特殊线，具备其余两条线的性质.
符号语言：
或
你还能写出其它的符号语言吗？
性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简写成“三线合一”.
一般三角形
三线不合一
底角平分线、
腰上的中线、
腰上的高
三线不合一
顶角平分线、
底边上的中线、
底边上的高
三线合一
范例应用
A
B
C
D
【例1】 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）指出图中有几个等腰三角形？
图中有哪些相等的角？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（2）∠BDC与∠A、∠ABD有什么关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（3）图中没有出现任何一个具体的度数，我们应如何求度数？
设∠A=x ,
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，
∴ x+2x+2x=180 °.
设未知数，列方程
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
方法点拨
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
当堂达标
叁
当堂达标
(1)等腰三角形的顶角一定是锐角.
(2)等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
(3)钝角三角形不可能是等腰三角形.
(4)等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
(5)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
(6)等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
1.判断正误
（√）
2.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
3.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80°B．20°C．20°或80° D．50°或80°
5.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（　　）
A.10 B.5
C.4 D.3
5.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45°
C.55° D.60°
B
C
C
C
6.如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,
求∠B和∠C的度数.
D
B
A
C
解:因为∠BAD=26°,AB=AD,
所以∠B=∠ADB= ×(180°-26°)=77°.
因为AD=CD,所以∠C=∠DAC.
因为∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C,
所以∠C= ∠ADB=38.5°.
课堂小结
肆
课堂小结
1.等腰三角形性质:
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 .简写成“三线合一”.
2.为什么研究等腰三角形？如何研究等腰三角形？
一般三角形
边的大小特殊化
等腰三角形
直角三角形
（角特殊化）
一般几何图形的研究思路
边的大小特殊化
等边三角形
边的位置特殊化
定义
性质
判定
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
谢

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