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第15章 轴对称
15.3.1　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
复习回顾
1.等腰三角形的性质有哪些？
（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线
和底边上的高互相重合（三线合一）.
2.应用这些性质的前提是什么？
前提是这个三角形是等腰三角形.
3.如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
如图，位于海上B,C 两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
A
B
C
这是一个生活实际问题，如何从数学的角度来看待这个问题呢？
关键：两艘救生船的航程是否相等？
思
考
在△ABC 中,已知∠B =∠C,
那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
C
A
B
实际问题
数学问题
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究等腰三角形的判定定理
活动1
如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
做一做：
（1）画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系？
发现：AB=AC
条件：∠B=∠C=30°
（2）画一个△ABC，其中∠B=∠C ，此时，AB与AC的数量关系会改变吗？你能得出什么结论？
条件：∠B=∠C
发现：AB=AC
猜想结论
命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
思考：如何证明上述命题？请画出图形，写出已知、求证.
C
A
B
已知：如图，在△ABC 中, ∠B=∠C.
求证：AB=AC
两个角相等的三角形是等腰三角形.（正确）
两个底角相等的三角形是等腰三角形.（错误）
猜想结论
全等
构造全等
三角形
作∠BAC 的
角平分线AD
作AE⊥BC
∠B=∠C
AB=AC
（辅助线）
分析：
已知：如图，在△ABC 中,∠B=∠C.求证：AB=AC
添加“BC边上的中线AF ”
这条辅助线可以吗？
SSA(╳)
证明猜想
在△ABD和△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD≌△ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于点D.
△ABC 是等腰三角形.
证法一：
∴∠1=∠2，
证明猜想
在△ABE和△ACE中 ，
∴∠AEB=∠AEC = 90°，
证法二：
证明：过点A作AE⊥BC交BC于点E.
∠AEB=∠AEC，
∠B=∠C，
AE=AE，
∴ △ABE≌△ACE（AAS）.
∴AB=AC.
△ABC 是等腰三角形.
证明猜想
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
∴AB=AC. ( )
∵∠B=∠C， ( )
在△ABC 中，
已知
等角对等边
即△ABC为等腰三角形.
等腰三角形的判定定理
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
B
C
A
(
(
角相等
线段相等
辨析
∵∠1=∠2
∴BD=CD
∵∠1=∠2
∴CD=BC
都不正确，因为图1、图2中相等的两个角都不在同一个三角形中
图1
图2
等腰三角形的性质和判定的区别与联系
性质
判定
条件
结论
简称
符号语言
在一个三角形中，
如果有两条边相等
在一个三角形中，
如果有两个角相等
这两条边所对的
两个角相等
这两个角所对的
两条边相等
等边对等角
等角对等边
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B=∠C
∴AB=AC
范例应用
【例1】 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形．
题设：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边.
结论：那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB =AC．
AD∥BC
∠1=∠B
∠2=∠C
∠1=∠2
∠B=∠C
AB=AC
分析：∠B =∠C

已知：如图，∠CAE 是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB =AC ．
证明：∵ AD∥BC ，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
范例应用
【例2】 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
EF经过点O，与AB，AC相交于点E，F，且EF∥BC.
求证：△AEF的周长等于AB+AC.
分析：
△AEF的周长
AE
+
EF
+
AF
EO
FO
+
AE
+
+
AF
EB
FC
AB
+
AC
+
+
AF
AE
+
EF∥BC
∠2=∠3
BO平分∠ABC
∠1=∠2
∠1=∠3
EB=EO
同理可得FC=FO
【例2】 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
EF经过点O，与AB，AC相交于点E，F，且EF∥BC.
求证：△AEF的周长等于AB+AC.
证明：∵ BO平分∠ABC ，
∴∠1=∠2，
又∵ EF∥BC ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴EB=EO（等角对等边），
同理可得 FC=FO
∴△AEF的周长=AE+EF+AF
=AE+EO+FO+AF
又∵ EB= EO，FC=FO
∴△AEF的周长=AB+AC.
范例应用
【例3】 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，
求作这个等腰三角形.
a
h
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN ， 与AB交于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
当堂达标
叁
当堂达标
1.下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝40°，∠B＝80°
C．∠A＝50°，∠B＝65° D．∠A＝60°，∠B＝70°
2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB. 若OD = 3cm，则CD等于（ ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
3.在△ABC中，∠B=50°，当∠A为 . 时△ABC是等腰三角形．
A
C
50°或65°或80°
4.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里
每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°- 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，
∴ BA=BC（等角对等边）.
∵AB=20×（12-10）=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C40海里.
80°
40°
N
B
A
C
北
5.如图,已知AB=AD,∠ABC=∠ADC,
则BC=CD.请说明理由.
A
B
C
D
解:连接BD.
因为AB=AD(已知)
所以∠ABD=ADB(在同一个三角形中,等边对等角)
又因为 ∠ABC=∠ADC(已知)
所以∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB.
即∠CBD=∠CDB.
所以BC=CD
课堂小结
肆
课堂小结
等腰三角
形的判定
判定
定理
常见
形式
等角对等边
结合等腰三角形的性质
角平分线+平行线
1.学习内容小结：
2.思想方法小结：
证明线段相等，本节课常用的思路有两个
（1）利用三角形全等；
（2）利用等腰三角形的判定定理.
∠1=∠2
∠2=∠3
∠1=∠3
AB=AC
角平分线
等腰三角形
平行线
+
基本模型的思考
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9题
谢
谢

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