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第15章 轴对称
15.3.2　等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
复习回顾
1.等腰三角形的性质与判定
名称 图形 定义 性质 判定
等腰 三角形 　 有两条边相等的三角形是等腰三角形 两腰相等 两条边相等
等边对等角
“三线合一” 等角对等边
轴对称图形 （1条或3条对称轴）
2.三角形按边分类
三角形
等腰三角形
（等边三角形）
等边三角形是特殊的等腰三角形.
三边都不相等的三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
底边和腰相等的等腰三角形
生活中的等边三角形
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究等边三角形的性质
三边相等的三角形叫做等边三角形.
在△ABC中，若 AB=AC=BC
则 △ABC 是等边三角形
问题 你能说出等边三角形的定义并结合图形写出符号语言吗
你发现了等边三角形具备什么性质？
问
由定义可知:等边三角形三条边都相等.
活动1
类比探究等边三角形的性质
等腰三角形有哪些性质？
从角看：
从边看：
从对称性看：
两腰相等
等边对等角
轴对称图形、
三线合一
从边看：
从角看：？
等边三角形有哪些性质？
三条边都相等
从对称性看：？
探究等边三角形的性质
性质：等边三角形的三条边都相等.
A
B
C
由定义得
符号语言：
若△ABC 是等边三角形，
则AB=AC=BC.
（从边看）
探究等边三角形的性质
性质：等边三角形的三个内角都相等.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC，BC =AB
∴∠A =∠B，∠A =∠C
∴∠A =∠B =∠C
A
B
C
已知：△ABC 是等边三角形，
求证： ∠A =∠B =∠C.
（从角看）
进一步证明可得：
等边三角形每个角都等于60°.
证明：∵∠A +∠B +∠C =180°
∴∠A =∠B =∠C =60°
A
B
C
A
B
C
性质：等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于60°.
．
符号语言：
因为△ABC 是等边三角形，
所以∠A =∠B =∠C =60°.
探究等边三角形的性质
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
思考
类比归纳：
等腰三角形的性质 等边三角形的性质
边 两边相等 三边相等
角 两底角相等 （等边对等角） 三个内角都相等，并且都等于60 °
“三线合一” 是 是
轴对称图形 是；1条或3条对称轴 是；3条对称轴
即时测评
如图，在等边△ABC中，BC=10，BD⊥AC于点D，则：
（1）AC= ；
（2）∠A= ；
（3）∠ABD= ，
AD= ．
10
60°
30°
5
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
方法点拨
活动2
类比探究等边三角形的判定方法
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
思考1 一个三角形满足什么条件是等边三角形？
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
类比探究：等边三角形的判定方法
满足什么条件的三角形是
等腰三角形？
满足什么条件的三角形是
等边三角形？
方法1：从边看
方法1：从边看
有两条边相等的三角形是
等腰三角形（定义）
三边相等的三角形是
等边三角形（定义）
方法2：从角看
方法2：从角看
等角对等边
如何证明？
三个角相等的三角形是
等边三角形
已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ ∠A =∠B，∠B =∠C ，
　 ∴ BC =AC， AC =AB．
　 ∴ AB =BC =AC．
∴ △ABC 是等边三角形．
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
即在△ABC 中， 若 ∠A=∠B =∠C ， 则△ABC 是等边三角形
一般三角形
三边或三角都相等
等边三角形
等边三角形的判定1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
分类讨论：
（1）顶角是60°．
（2）有一个底角是60°．
等边三角形的判定2：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
归纳总结：
等边三角形的判定方法
三边或三角
都相等
有一个角是60 °
即时测评
辨一辨：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
范例应用
【例1】　如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC,
分别交AB、AC 于点D、E．
求证：△ADE 是等边三角形.
思路分析：
△ABC 是等边三角形
∠A =60°
△ADE 是等边三角形
思路1：三个角都相等
思路3：三条边都相等
角
边
思路2： 有一个角是60°
的等腰三角形
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C ．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ．
∴ ∠A=∠ADE =∠AED．
∴ △ADE 是等边三角形．
【例1】 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC,
分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形.
（思路1）
证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠A =60°，∠B=∠C．
又∵　DE∥BC，
∴　∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ．
∴　∠ADE = ∠AED ．
∴　AD=AE ．
即△ADE 是等腰三角形，且∠A =60° ．
∴　△ADE 是等边三角形．
（思路2）
一题多解
【例1】 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC,
分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形.
变式练习：
(1) 若将条件DE∥BC改为AD=AE,
△ADE还是等边三角形吗 试说明理由．
【例1】 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC,
分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形.
一题多变
变式练习：
(2)如图,若点D,E在边AB,AC的反向延长线上,且DE∥BC,例题的结论依然成立吗 ．
（你还可以把原题进行其它的变式吗？请同学们课后思考）
一题多变
做一道题，会一类题
当堂达标
叁
1．下列关于“等边三角形”的说法不正确的是(　　)
A．等边三角形的三条边都相等
B．等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D．等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
D
2．给出下列几种三角形：①三个角都相等的三角形；②有两个角等于60°的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形；④有两个角相等的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(　　)
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
D
当堂达标
3．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝________°.
4．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝________°.
30
60
证明:∵△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,
∴∠ABC=∠ACB=60°.∠DBC=30°.
又∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED.
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,
∴∠CDE=∠CED=30°.
∴∠DBC=∠DEC.
∴DB=DE.
5.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,
延长BC到E,使得CE=CD.
求证:BD=DE.
6.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，
且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．证明如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
课堂小结
肆
课堂小结
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
课后作业
基础题：1.课后习题 第 5,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第10题
谢
谢

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