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第16章 整式的乘法
16.1.2　幂的乘方与积的乘方
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1.计算： （结果用幂的形式表示）
(1) 102 · 104； (2)32 · 32 · 32 · 32；
(3)(x+y)2 · (x+y)3.
解： (1) 102 · 104
=102+4 =106；
(2)32 · 32 · 32 · 32 =32+2+2+2 =38；
(3) (x+y)2 · (x+ y)3=(x+y)2+3 =(x+y)5.
2.思考
(1)同底数幂乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
(2)计算（2）的结果38还有其它的表示形式吗？
如果将32当做一个整体，则结果还可以写成(32)4.
新知初探
贰
新知初探
任务一 探究幂的乘方法则
(32)4
乘方
像这样，底数为幂的乘方运算，称之为幂的乘方.
现在我们就一起来探究形如(32)4结构的运算，同学们可以给这个运算起个名字吗？
活动1
底数为幂
(1)学习今天新的法则之前，大家先猜一猜，
一般的，(am)n 的结果是什么？
猜想： (am)n=amn .
(2)我们上节课是如何推导同底数幂乘法法则的？
思
考
计算与思考
观察计算的结果，你能发现什么规律？
归纳与猜想： (m、n都是正整数）
（1）
（2）
（3）
验证和证明
(am)n
=am·am· … ·am
n个am
=am+m+ … +m
n个m
=amn
(am)n=amn (m,n都是正整数).
底数______，指数______.
不变
相乘
幂的乘方，
（幂的意义）
（同底数幂的乘法性质）
（乘法的意义）
范例应用
例1 计算：
（1）（103）5 ；
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
（3）（am）2；
（2）（a2）4；
（4）-（x4）3；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12;
(6) [(﹣x)4]3.
(5) [(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6;
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12 = x12.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
比较同底数幂的乘法与幂的乘方：
运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果
底数 指数
同底数幂乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
am·an=am+n
(am)n=amn
思
考
想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
小试身手
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
思
考
思
考
想一想：amn=( )n=（ ）m
am
an
解：a2m＋3n＝a2m·a3n
＝(am)2·(an)3
＝22×33
＝108.
练习：已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n的值.
任务二 探究积的乘方法则
活动1
(1)当正方形边长为2a时，面积是多少？
当正方体边长为2a时，体积为多少？
=
正方形面积
正方体体积
=
问题 下列两题有什么特点？
(1)
(2)
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
填空,看看运算过程用到哪些运算律 运算结果有什么规律
(1) (ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a( )b ( );
(2) (ab)3= _______ = ____________ =a( )b( ).
思考： (ab)n=？
2
2
3
3
ab ab ab
(a a a) (b b b)
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a
n个b
=anbn.
猜想结论：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
思考问题：积的乘方(ab)n =
证明猜想：
知识要点
积的乘方,等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________.
(ab)n = anbn （n为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
积的乘方法则
乘方
相乘
范例应用
例2 计算:
(1) (2a)3 ； (2) (-5b)3 ；
(3) (xy2)2 ； (4) (-2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3；
=-125b3；
=x2y4；
=16x12.
(2)3a3
(-5)3b3
x2(y2)2
(-2)4(x3)4
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
即时测评
　　　
　　　
　　
×
√
×
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3;
×
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(4)(-ab2)2= a2b4.
利用积的乘方法则计算“三注意”
(1)当底数中的因式是幂时，要用幂的乘方法则；
(2)当底数为多个因式时，某些因式不要忘记乘方；
(3)进行积的乘方时，不要忽略系数因数的“－”号．
归纳总结
积的乘方公式能逆用吗？
范例应用
例3 用简便方法计算：
(1) 0.25 4×(－4) 4 ； (2)0.125 2025×(－8 2025)．
解：（1） 0.25 4×(－4) 4
= 0.25 4×4 4
=（ 0.25× 4 ） 4
=1 4
=1
（2） 0.1252025×(－8 2025)
＝－0.1252025×8 2025
＝－(0.125×8)2025
＝－12025
＝－1.
三种幂的运算法则逆运用的规律
运算特点 逆用法则 逆用公式(以下m，n都是正整数)
幂的指数为和的形式 同底数幂的乘法 am＋n＝am·an
幂的指数为积的形式 幂的乘方 amn＝(am)n＝(an)m
幂的指数相同(或相差不大) 积的乘方 anbn＝(ab)n
当堂达标
叁
当堂达标
2.下列运算正确的是（ ）
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
1.计算 (-x2y)2的结果是（　　）
A．x4y2 B．-x4y2
C．x2y2 D．-x2y2
A
(1)(102)8；
(2)(xm)2；
(3)[(－a)3]5；
(4)－(x2)m；
解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4)－(x2)m＝－x2m.
3．计算：
(5)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(6)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
(5)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
(6)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
4.计算：
(1)(-3x3y)4; (2)(-5a2b4c)3;
(3)(-8x3)2-[(2x)2]3; (4)（-2xy2）6+（-3x2y4）3.
解：(1)(-3x3y)4=(-3)4 (x3)4 y4=81x12y4.
(2)(-5a2b4c)3=(-5)3 (a2)3 (b4)3 c3=-125a6b12c3.
(3)(-8x3)2-[(2x)2]3=64x6-(4x2)3=64x6-64x6=0.
(4)（-2xy2）6+（-3x2y4）3
=64x6y12-27x6y12
=37x6y12.
5.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
解:∵3x+4y-5=0,
∴3x+4y=5,
∴27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.　
课堂小结
肆
课堂小结
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
反向运用
am · an =am+n
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2,3,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9题
谢
谢

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