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第17章 因式分解
17.2　用公式法分解因式
第1课时　运用平方差公式分解因式
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1.什么叫分解因式
2.分解因式和整式乘法有何关系
把下列各式分解因式.
(1) x2 -6x = ;
(2) 2a(m-n)-3(m-n) = .
情境导入
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作多项式的分解因式.
x(x-6)
多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的变形.
(m-n)(2a-3)
提公因式法
新知初探
贰
新知初探
3.尝试将以下各式分别写成两个因式的乘积：
x2-25= ;
9x2-y2= ;
m2-4n2= .
任务一　用平方差公式分解因式
活动1
1.填空：
(1)(x+5)(x-5)= ;
(2)(3x+y)(3x-y)= ;
(3)(m+2n)(m-2n)= .
x2-25
9x2-y2
m2-4n2
2.以上运算运用了什么公式？
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(m+2n)(m-2n)
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
公式a2-b2=(a+b)(a-b)的左右两边分别有什么特点？
思
考
（1）公式左边：
被分解的二项式每一项为（或可以转化为）平方项，并且两个平方项的符号相反，可以写成( )2-( )2的形式.
（2）公式右边:
分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
是一个可以被分解因式的二项式
是分解因式的结果
即时测评
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
范例应用
例1 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
即时测评
把下列多项式分解因式:
(1)9-16x2.
(2)16m2-25n2.
(3)36x2-49y2.
解:(1)9-16x2=(3+4x)(3-4x).
(2)16m2-25n2=(4m+5n)(4m-5n).
(3)36x2-49y2=(6x+7y)(6x-7y).
(2)(x+p)2-(x+q)2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q).
解：(1)x2-y4
=x2-(y2)2
=(x+y2)(x-y2).
【例2】分解因式：
(1)x2-y4; (2)(x+p)2-(x+q)2.
（y2）2
a
b
整体的数学思想
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
即时测评
解：(1)（x+3）2-16
=（x+3+4）（x+3-4）
=（x+7）（x-1）.
(2)4（x+y）2-（x-y）2
=[2（x+y）-（x-y）][2（x+y）+（x-y）]
=（x+3y）（3x+y）
把下列各式因式分解：
(1)（x+3）2-16； (2)4（x+y）2-（x-y）2．
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
当堂达标
叁
当堂达标
1.下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+4y2 B．-9x2-y2
C．4x-y2 D．-16x2+25y2
2.因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
3.将(a-1)2-1分解因式,结果正确的是(　　)
(A)a(a-1) (B)a(a-2)
(C)(a-2)(a-1) (D)(a-2)(a+1)
D
A
B
4.分解因式：
(1)x2-4y2; (2)- x2+1;
(3)(x+y)2-9y2; (4)(a+2)2-(3a-1)2;
解：(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y).
(2)- x2+1=1- x2=(1+ x)(1- x).
(3)(x+y)2-9y2=[(x+y)+3y][(x+y)-3y]=(x+4y)(x-2y).
(4)(a+2)2-(3a-1)2
=[(a+2)+(3a-1)][(a+2)-(3a-1)]
=(4a+1)(3-2a).
5.用平方差公式进行简便计算：
(1)582-422; (2)38.52-36.52；
解：(1)582-422
=（58+42）×（58-42）
=100×16
=1600．
(2)38.52-36.52
=（38.5+36.5）（38.5-36.5）
=75×2=
150.
解:(m+2n)2-(3m-n)2
=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)(2m-3n),
当4m+n=40,2m-3n=5时,
原式=-40×5=-200.
6.已知4m+n=40,2m-3n=5.求(m+2n)2-(3m-n)2的值.
课堂小结
肆
课堂小结
因式分解
平方差公式法
用平方差公式分解因式的步骤和注意事项
a2-b2=(a+b)(a-b)
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢

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