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八年级人教版数学上册 第一章 三角形
13.2.1 三角形的边
学习目标
1.掌握三角形的三边关系.（难点）
2.了解三角形的稳定性.（重点）
3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点）
想一想
如图，从教室到食堂有两条路可走，你会走哪条？为什么？
A
教室
B
食堂
C
情景导入
A
B
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？
解：路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到：
探究一 三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边.
三角形两边的差小于第三边.
1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么
大小关系
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么
大小关系
3.三角形三边有怎样的不等关系
通过动手实验同学们可以得到哪些结论 理由是什么？
想一想
思考：
上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段， 当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条 线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段， 那么这三条线段不能组成三角形.
例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
方法点拨：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
典例剖析
例2 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么
x的取值范围是(　　)
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
方法点拨：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
A
典例剖析
例 3 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小.
解：在△BDC 中，
有 BD+DC >BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）.
又因为 AD = BD，
则BD+DC = AD+DC = AC，
所以 AC >BC.
典例剖析
例 4 根据下列条件，判断△ABC的形状.
①∠A =45°，∠B =65°，∠C =70°;
②∠C =110°; ③∠C =90°; ④AB =BC =3，AC =4
解：①∵∠A，∠B，∠C 都小于90°，
∴△ABC是锐角三角形
②∵∠C =110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形
③∵∠C =90°=90°， ∴△ABC是直角三角形
④∵AB =BC =3，AC =4，∴△ABC是等腰三角形
典例剖析
例 5 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm
(2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.
(3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
(1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.
解：
(4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.
典例剖析
技巧点拨
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1），其中的道理是什么？
探究二 三角形的稳定性
我们来探究下面的问题.
如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
　　三角形木架的形状不会改变，就是说三角形具有稳定性．
理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
总结归纳
例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
课本例题
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得 x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18. 解得 x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）
不能
能
能
不能
练一练
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成________个三角形.
3
22cm
18cm或21cm
练一练
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又x为奇数，则第三边的长为7.
练一练
6.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和
大于第三边，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
练一练
拓展练习
课堂反馈
课堂反馈
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|b,x为第三边）
应用
课堂小结
三角形的稳定性
三角形的边

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