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13.2.2三角形的高、中线与角平分线
主讲：
人教版数学八年级上册
第十一章 三角形
学习目标
1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义及画法.
2.掌握三角形的高、中线和角平分线的性质.
3.会利用三角形的三种线段性质来解决实际问题.
复习引入
回顾：什么叫垂线？线段中点？角平分线？
垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
A
B
O
B
A
回顾：过一点画如何画已知直线的垂线
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放
靠
过
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
复习引入
D
C
B
A
思考：如图，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD,AD叫做三角形的什么呢？
三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
新知探究（三角形的中线）
与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：
三角形的中 线、角平分线、高.
新知探究
O
D
C
B
A
思考：如图，在△ABC中，还能画出几条中线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
重心
重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
新知探究（三角形的角平分线）
D
B
C
A
思考：如图，∠BAD = ∠CAD ，AD叫做三角形的什么呢？
三角形的角平分线.
定义：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线.
三角形角平分线的符号语言：
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=
１
２
∠BAC
D
B
C
A
思考：如图，在△ABC中，还能画出几条角平分线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条角平分线交于一点.
O
新知探究
探究新知
三角形的“高”的定义：
A
从三角形的一个顶点,向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如右图,线段AD是BC边上的高.标明垂直的记号和垂足的字母
B
C
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
∵AD是△ABC的高线.
推导格式：
∴AD⊥BC, ∠ ADB=∠ADC=90 .
探究新知
A
B
C
D
E
F
问题1.你能画出锐角三角形的高吗？
问题2.还能画出锐角三角形其它的高吗？
还能画出几条高？
可以，还可画出2条
1.锐角三角形的三条高
探究新知
O
A
B
C
D
E
F
问题3.锐角三角形共有多少条高？发现这几条高有什么特征吗？
3条，锐角三角形三条高交于一点.
问题4.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
垂心
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
问题5.那三条高的交点叫做什么呢？
垂心：三角形三条高所在直线的交点.
1.锐角三角形的三条高
探究新知
(2)斜边AC边上的高是 ；
直角边BC边上的高是 ；
直角边AB边上的高是 .
2.直角三角形的三条高
A
B
C
(1)画出直角三角形的三条高,它们有怎样的位置关系？
AB
BC
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
(2)AC边上的高是_____；
BC边上的高是_____；
AB边上的高是_____；
BF
CE
AD
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗
(4)它们所在的直线交于一点吗
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
A
C
B
F
D
E
O
例1 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ）
例2 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
B
B
典例精析
思考：如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，
为什么？
B
C
D
E
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
思考：通过以上问题你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
新知探究
三角形的中线
1.三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
拓展：三角形重心的性质
A
C
D
B
G
总结归纳
例3 如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）.
解:∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵△ABD和△ADC的周长差是4cm
∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD＝AB﹣AC＝4cm
∵AB＝12cm
∴AC＝AB﹣4cm＝8cm
∴△ABC的边AC的长为8cm.
典例精析
例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE的度数.
解：∵在△ABC中， ∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.
∵∠BAC=70°，∴∠BAE=35°.
∵AD⊥BC，∠B=80°，∴∠BAD=10°.
∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°.
D
E
┐
B
A
C
典例精析
随堂检测
1.如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（ 　）
A．7cm B．6cm
C．5cm D．4cm
2.如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有（　 ）
A．2 条 B．3 条
C．4 条 D．5 条
B
C
3. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC =3cm2，则S△ABC=_____cm2.
4.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　　.
随堂检测
12
2
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份.
利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质.
如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2.
A
B
C
E
D
能力提升
2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．
此时由△ABC 的面积公式可知，
AD·BC= BP·AC.
代入数值，可解得 BP= .
P
能力提升
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. ∵AD是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段. ∵ AD是△ABC的边BC上的中线.
∴ BD=CD=BC.
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. ∵AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2=∠BAC
课堂小结
1.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
A
课后作业
2.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，求∠DAE的度数．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C
=180°-90°-26°=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．
课后作业

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