资源简介

(共26张PPT)
八年级人教版数学上册 第十一章 三角形
13.3 与三角形有关的角
13.3.1第二课时 直角三角形两个锐角互余
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
2.掌握直角三角形的判定.（难点）
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
　 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你用了什么知识解决的？
A
B
C
三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．
情景导入
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？
那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的两个锐角互余
新知探究
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
概念归纳
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.
例1（1）如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
图
典例剖析
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.
图
与图 有哪些共同点与不同点？
例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
典例剖析
解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角 互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗 试说明理由
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
归纳：有两个角互余的三角形是直角三角形.
思考：
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
总结归纳
如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB，CD 于点E，F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P.试说明△EFP 为直角三角形．
例3
判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是
直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或
∠EFP＋∠FEP＝90°.
分析：
典例剖析
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)
＝ ×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
解：
如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是
直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
练一练
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.
90°
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.
52°
第1题图
第2题图
3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
直角三角形
练一练
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ 　　）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
练一练
6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD
C
练一练
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.
练一练
同角的余角相等．
1.如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
D
A
B
C
1.解：∠ACD = ∠B.
理由：∵∠ACB =90°，CD⊥AB，
∴∠ACB = ∠CDB =90°.
∴∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 90°.
∵∠B+ ∠BCD = 90°，
∴∠ACD = ∠B.
2.如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
课本练习
课堂反馈
课堂反馈
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
课堂小结

展开更多......

收起↑