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13.3.2三角形的外角
主讲：
人教版数学八年级上册
第十三章 三角形
学习目标
1.了解三角形外角的概念.
2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.
3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
情境引入
思考：△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
A
B
C
D
内角分别是：∠A，∠B，∠C.
关系：∠A+∠B+∠C=180°
思考：若把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,这个角还是三角形的内角吗？
∠ACD是△ABC的外角
不是
思考：则∠ACD是什么角？
新知探究
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形的外角：
A
B
C
D
三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点
②角的一边是三角形的一边
③另一边是三角形中一边的延长线
新知探究
思考：每个顶点处有几个外角？它们有何关系？
思考：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等.
思考：如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，∠ACD是
△ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗？
70°
60°
解：∵∠ACB=180°-（∠A+∠B）
=180°-（70°+60°）
=180°-130°
=50°
∴∠ACD=180°-50°=130°
新知探究
思考：三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？
A
C
B
D
外角
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
新知探究
思考：三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？
A
C
B
D
不相邻的内角
外角
∠BCD=∠A+∠B .
新知探究
A
C
B
D
已知：在△ABC中，∠BCD是△ABC的外角，求证：∠BCD=∠A+∠B.
证明：∵∠ACB=180°-∠A-∠B
∴∠BCD=180°-∠ACB
=180°-（180°-∠A-∠B）
=180°-180°+∠A+∠B
=∠A+∠B
新知探究
三角形外角的性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
A
C
B
D
符号语言：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B.
总结归纳
例1.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)．
由∠1+∠2+∠3=180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°．
同学们还有其他方法吗？
典例精析
解法2：由∠BAE +∠1=∠CBF +∠2
=∠ACD+∠3=180°，得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
=3×180°-(∠1+∠2+∠3)
=540°-180°=360°．
三角形的外角和定理：
三角形的外角和等于360°.
通过例题你能得出什么结论呢？
典例精析
1.判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.（ ）
（2）三角形的外角大于任何一个内角.（ ）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和.（ ）
（4）三角形的外角和等于360°.（ ）
×
×
×
√
随堂检测
2.试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.
（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.
（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
60
80
1
2
（1）
A
B
C
30
40
1
2
（2）
A
B
C
40
2
1
┌
（3）
A
B
C
随堂检测
3.如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°，∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数．
解：∵∠A=50°，∠BCO=35°，
∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°，
∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°，
∴∠BCA=2∠BCO=70°，
∴∠ABO=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°．
随堂检测
1.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解:∵∠1是△BDF的一个外角,
∴∠1=∠B+∠D,
∵∠2是△EHC的一个外角,
∴∠2=∠C+∠E,
∵∠A+∠1+∠2=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
能力提升
2.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
解：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1+∠B=∠3，
在△ACD 中，∠2+∠C=∠4.
∵∠BDC=∠3+∠4，
∠BAC=∠1+∠2，
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
= 51°+ 20°+30°=101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
能力提升
性 质
外角和
定 义
三角形的外角
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角于与它不相邻的任意一个内角
三角形的外角和等于 360°
课堂小结
1.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=55°，∠B=45°，则∠ECD等于（ ）
A.45° B.50° C.55° D.60°
A
B
C
D
E
B
课后作业
2.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为______度.
3.三角形的三个外角(各顶点取一个)中，最多有____个锐角;
4.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为________.
150
1
30°或75°
课后作业

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