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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题三 函数
第15讲 二次函数的应用
聚焦核心
二次函数的应用
1.二次函数与其他函数一样，是解决实际问题的有效模型．利用二
次函数解决实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题，从中找到求
二次函数解析式所需的条件，并充分运用二次函数的性质解题．需要注
意的是自变量的取值范围要根据实际问题的意义来确定．
2.建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，根据题意列出（求出）二次函数的________；
（2）根据已知条件确定自变量的__________；
（3）结合抛物线的特征，利用二次函数的性质解题；
（4）结合实际问题的意义，检验自变量的取值范围的合理性．
解析式
取值范围
注意：二次函数的最大（小）值不一定是实际问题的最大（小）值，
要结合实际问题中自变量的取值范围确定最大（小）值．
第15讲 二次函数的应用
案例分析
考点一 运用二次函数解决抛物线型问题
名师指导
解决抛物线型问题，关键是把实际问题中的有关数据转化为平面直
角坐标系中抛物线的点的坐标，从而确定抛物线对应的函数解析式，并
运用二次函数的性质解决相关的问题.
例1 （2023·贵州·中考节选）图1是一座抛物线型拱桥，小星学习了二次
函数后，受到该图启示设计了一个建筑物造型，它的截面图是抛物线的
一部分（如图2所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线 垂
直，，点，在抛物线上，且点到对称轴的距离，点
到对称轴的距离是1.
图1
（1）求抛物线对应的函数解析式.
图1
解：设抛物线对应的函数解析式为.
由， ，得，.
将，代入，得
解得
故抛物线对应的函数解析式为 .
（2）如图2，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆， ，
同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 的位置（在图2标出，
保留作图痕迹）并求出点 的坐标.
图2
解：当时，，所以 .
如图14，作点关于的对称点，则.
又点 在上，则，所以 .
由此可得，当，，三点共线时，拉杆， 长度之和最短.
图14
图14
设直线对应的函数解析式为 ，将，代入，得 解得
所以直线 对应的函数解析式为.
当时，.
所以点的坐标为 ，位置如图14所示.
思路点拨（1）已知，的长，则可得到点， 的坐标，从而可用
待定系数法求出解析式.
（2）求，长度之和最短时点 的坐标，即解决最短路径问题，从
而考虑作点关于的对称点，当，，三点共线时，， 长
度之和最短.由于此时点在直线上，因此求出直线 对应的函数解
析式即可得到点 的坐标.
图1
考点专练
图3
1.（2024·广西玉林·模拟）如图3，一名篮球运动员投
篮时，球从点 出手后沿抛物线行进，篮球出手后距
离地面的高度与篮球离出手点的水平距离
之间的函数解析式是 .已知下列说
法：①篮球出手后距离地面的最大高度为 ，②
①
篮球出手点距离地面的高度为 .其中，正确的是____.（填序号）
图4
2.（2025·甘肃兰州·中考改编）一名运动员在 高的跳台进
行跳水,其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛
物线,运动员离水面的高度与离起跳点 的水平距
离之间的函数关系如图4所示，运动员离起跳点 的
水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点 的水
平距离为时，离水面的距离为 .
图4
（1）求关于 的函数解析式.
解:由题意可知,抛物线过点和点 ,对称轴为直
线.
设关于的函数解析式为 ,所以
解得
所以关于 的函数解析式为 .
图4
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长.
解：在中，令 ，得
.
解得=，=（舍去）.
所以运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长为()m .
考点二 运用二次函数关系解决最优化问题
名师指导
运用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的
最大值或最小值.解题时，要先根据题目提供的条件确定二次函数解析
式，将它配方成顶点式，然后根据二次函数的性质确
定最大值或最小值，从而确定最优方案.要注意，二次函数的最大（小）
值不一定是实际问题的最大（小）值，要结合实际问题中自变量的取值
范围确定最大（小）值.
图5
例2 （2025·山东济宁·中考改编）某商场以每件80元的价
格购进一种商品，在一段时间内，销售量 （单位：件）
与销售单价 （单位：元）之间是一次函数关系，其部
分图象如图5所示.
（1）求这段时间内与 之间的函数解析式.
解：设这段时间内与之间的函数解析式为，将 ，
代入，得解得故这段时间内与
之间的函数解析式为 .
（2）在这段时间内，该商品的销售单价不低于100元，且商场还要完成
不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？
最大利润是多少？
图5
解：因为商场销售不少于220件，所以
.解得 .
.
.
根据题意，得 .
图5
因为，所以当，随着 的增大而增大，即当
时，有最大值，为 .
答：当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是 元.
图5
思路点拨（1）根据图象可得直线上的两点坐
标，运用待定系数法可求出与 之间的函数
解析式. （2）设商场获得利润为 ，根据“利
润销售量×销售单价 销售量×每件进价”，
结合（1）中与 之间的函数解析式，可列出
与之间的函数解析式，且与 之间满足二
次函数关系.根据题意确定自变量 的取值范围，结合二次函数的性质确
定最大值.
考点专练
3.（2025·山东菏泽·中考改编）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决
定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花
园分为， 两块（如图6所示），花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱
笆 .
图6
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积.
图6
解：设垂直于墙的边长为，围成的矩形面积为 ，则平行于墙的
边长为 .
根据题意，得.
因为 ，所以当时， 取得最大值，为1 200.
则.
答：垂直于墙的边长为 ，平行于墙的边长为，
花园面积最大，为 .
（2）在花园面积最大的条件下，， 两块区域内分别种植牡丹和芍药，
每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校
计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹.
图6
解：设购买牡丹株，则购买芍药 株.
根据题意，得.解得 .
答：最多可以购买1 400株牡丹.
考点三 构建二次函数模型探究实际问题
名师指导
构建二次函数模型探究实际问题的题目，通常会给出收集的生活现
象中两个变量的部分数据，要直接根据这些数据判定它们是否满足二次
函数关系比较难，我们可以将这些数据在平面直角坐标系中描出，若这
些点组成的图象是抛物线，则这两个变量满足二次函数关系.判定两个
变量满足二次函数关系后，可设出二次函数的解析式，将已知数据代入
可确定这个函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质解决相关问题.
例3 周末，小西和父母一起坐地铁去科技馆参观．在等车的过程中，他
惊叹于地铁每次都能精准地停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那
么准呢？这里面一定包含着数学知识！小西了解到列车开往科技馆站时，
在距离停车线 处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少
秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小西通过建
立函数模型来描述列车离停车线的距离与滑行时间 的函数关系，
再应用该函数解决相应的问题
【收集数据】
0 4 8 12 16 20 24 …
256 196 144 100 64 36 16 …
图7
图7
【建立平面直角坐标系】
为了观察与 的关系，建立如图7所示的平
面直角坐标系．根据表中数据描出点，并用平滑的曲线
依次连接．
【解决问题】
（1）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的______函数图
象．（填“一次”“二次”或“反比例”）.
二次
图7
（2）请根据表格中的数据求出这个函数的解析式.
（不要求写出自变量的取值范围）
解：设列车离停车线的距离与滑行时间 的
函数解析式为.
将 代入，得.
将，代入 ，
得解得
故这个函数的解析式为 .
图7
（3）求列车从开始减速到停止经过的时间及列车在
最后一秒钟滑行的距离．
解：令，则 .
.
当 时， .
故列车从开始减速到停止经过的时间为，列车在最后一秒钟滑行的距离是 ．
思路点拨（1）观察图象，这些点组成的曲线是一条抛物线，由此可得出结论.
（2）结合（1）中结论设与 的函数解析式，代入表格中的数据，即可确定这个函数的解析式.
（3）列车停止，即s =0,将s=0代入(2)中的函数解析式,得到t 的值就是列车从开始减速到停止经过的时间.将s=0时t 的值减l,代入(2)中的函数解析式，得到s的值就是列车在最后一秒钟滑行的距离
考点专练
4.（2025·湖北武汉·中考模拟）某课外科技活动小组制作了一种航模飞机，
通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位： ），
飞行高度（单位：）随飞行时间（单位： ）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
【探究发现】
（1）与，与 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直
接写出关于的函数解析式和关于 的函数解析式.（不要求写出自变量
的取值范围）
提示：设，将代入，得.解得.故 .设
，将，代入，得解得
故 .
解：与是一次函数关系，；与 是二次函数关系， .
【问题解决】
（2）如图8，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发
射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
图8
图8
①当发射平台相对于水平安全线的高度为
时，求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离.
解：根据题意，得 .
（不合题意，舍去），.
当 时，．
答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为 .
②在安全线上设置回收区域，， .当飞机落到
内（不包括端点， ）时，求发射平台相对于水平安全线的高度
的变化范围．
图8
解：设发射平台相对于水平安全线的高度为 ，则飞机相对于水平安全线的飞行高度 .
， ，得，即 .
图8
所以2.在中，当，时，
；当，时，．
所以 ．
答：发射平台相对于水平安全线的高度的变化范围是大于且小于 .
第15讲 二次函数的应用
靶向锤炼
靶向练
1.（2025·山西朔州·模拟）图1是太原晋阳湖公园一座抛物线形拱桥，按
如图2所示建立平面直角坐标系，在正常水位时水面宽 ，当
水位上升时，水面宽 ，则该抛物线对应的函数解析式为
( ).
图1
图2
A. B. C. D.
提示：根据题意，设抛物线对应的函数解析式为， ，
，将，分别代入 ，得
解得 所以抛物线对应的函数解析式为
.
图1
图2
【答案】B
2.（2025·山东青岛·模拟）某商场购进一批成本价为10元的文具，若按
每件15元出售，则每天可销售50件.经调查发现，这种文具的销售单价
每提高1元，其销售量相应减少5件.设文具的销售单价为 元，每天的销
售利润为元，则与 的函数解析式为________________________.
图3
3.（2025·湖北宜昌·中考改编）如图3，一名学生
推铅球，铅球的行进高度（单位： ）与水平
距离（单位： ）之间的关系是
，则该学生推铅球的成
绩为____ ．
10
图4
4.如图4，某校劳动实践基地用总长为 的栅栏，
围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为 ，栅
栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形试验田与
墙垂直的一边长为（单位： ），与墙平行的一边
长为（单位：），面积为（单位： ）．
（1）直接写出与，与之间的函数解析式.（不要求写 的取值范围）
解：， .
图4
（2）矩形试验田的面积能达到 吗？如果能，那么求 的值；如果不能，那么请说明理由.
解：因为，所以 .
.
所以.
当 时，，整理得.
解得， .
因为，所以符合题意.
所以当 时，矩形试验田的面积能达到 .
（3）当的值是多少时，矩形试验田的面积 最大？最大面积是多少？
图4
解：因为，且 ，所以当时，有最大值，最大面积是 .
提分练
5.（2025·江苏苏州·模拟）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）
分别为和，其中 为销量（单位：袋）.若本周销
售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为_____元.
170
提示：设商店销售A款商品袋，则销售B款商品 袋，则总利
润.因为，， 为正整数，所以当
或10时，有最大值，为 ，即能获得
的最大利润为170元.
6.（2025·河南·模拟）学校组织学生进行跨学科主题学习活动，利用函
数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在A，B两种不同的场景下
做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量， 与时间
的函数关系，制作如下的活动报告.
【活动主题】研究在A，B两种不同的场景下某化学试剂的挥发情况.
【记录数据】
0 5 10 15 20 …
23 21.5 18 12.5 5 …
23 18 13 8 3 …
【绘制图象】
【建立模型】发现在A，B两种不同的场景下该化学试剂挥发过程
中剩余质量，与时间 之间存在函数关系，关系式为：
？， ？.
【解决问题】根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）在图5所给的平面直角坐标系中补全函数， 的图象.
图5
解：画出函数图象如图11.
图11
（2）从，， 中，选择适当的函
数模型分别模拟两种场景下，随 变化的函数关系，并求出相应的
函数解析式.
解：由图11可知，函数的图象是抛物线的一部分，与 之间近似满足函数关系.将， 代入，得
解得
所以 .
图11
由图11可知，函数的图象是直线的一部分，与 之间近似满足函数关系.
将，代入，得
解得
所以.
图11
（3）查阅资料可知，该化学试剂发挥作用的最小质量为 .在上述实验
中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为， ，直接
写出与 的大小关系.
解：由图象可知，当时， .
图11
拔尖练
图6
7.（2025·广西南宁·模拟）一名女子跳水运动员参
加 跳台跳水比赛，她选择了一个极具难度的
（向后翻腾三周半抱膝的跳水动作）.如图6，
建立平面直角坐标系.她（看作一点）从点
起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部
分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：）与水平距离
（单位：）近似满足函数关系式 .
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离 与竖直高度
的几组对应数据如下：
水平距离 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 10 10 6.25
根据上述数据， 的值为______，函数解析式为
__________________________.
图6
11.25
图6
提示：根据表格，得函数图象过点
，， ，所以对称
轴为直线 .所以设函数解析
式为 .根据题意，得
解得
所以
.
水平距离 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 10 10 6.25
（2）比赛当天的某一次跳水中，该名运动员的竖直高度与水平距离 近
似满足函数关系 ，记她训练时入水点的水平距离为
，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与 的大小.
图6
图6
解：对于 ，当
时， ，解得， （不合题意，舍去）.
所以 .
对于，当 时，
，解得， （不合题意，舍去）.
.
因为 ，所以.
从而得 .
所以 .
图6
图6
（3）在（2）的情况下，运动员起跳后到
达最高点开始计时，若点 到水面的距离
为，则她到水面的距离与时间 之间近似
满足函数关系 .如果运动员在
达到最高点后需要 的时间才能完成极
具难度的 动作，那么她当天的比赛能否成功完成此动作？
图6
解： .
，即.所以 .
时， .
，即她在水面上无法完成此动作，所以她当天的比赛不能成功完成此动作.

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