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第八章　恒定电流
常设情境　①生活实践类：各种家用电器、电表的原理与应用，涉及这类情境的题目往往考查纯电阻电路和非纯电阻电路的分析与计算.
②学习探索类：实验原理的创新、实验器材的选择、实验电路的设计、实验数据的处理和实验误差的分析等问题.
第1讲　电流　电阻　电功　电功率
素养目标　1.能从抽象的电学问题中形成电压、电流、电阻等概念.（物理观念） 2.理解电功、电功率及焦耳定律，能用焦耳定律解释生产生活中的电、热现象.（物理观念） 3.能应用串、并联电路规律推理并解决问题.（科学思维） 4.对电路设计和问题进行探究及对实验数据进行处理.（科学思维）
一、电流的理解与计算
考题1　（2021·江苏卷）有研究发现，某神经细胞传递信号时，离子从细胞膜一侧流到另一侧形成跨膜电流.若将该细胞膜视为1×10－8 F的电容器，在2 ms内细胞膜两侧的电势差从－70 mV变为30 mV，则该过程中跨膜电流的平均值为 （　　）
A.1.5×10－7 A B.2×10－7 A
C.3.5×10－7 A D.5×10－7 A
答案：D
解析：将该细胞膜视为1×10－8 F的电容器，电容器的电荷改变量ΔQ＝CΔU， 根据电流的定义可知电流的平均值I＝，联立并代入数据解得I＝5×10－7 A，D正确.
考题2　（2024·江西卷）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能.现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度.如图（a）所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U.当I＝1.00×10－3 A时，测得U－B关系图线如图（b）所示，元电荷e＝1.60×10－19 C，则此样品每平方米载流子数最接近（　　）
A.1.7×1019 B.1.7×1015
C.2.3×1020 D.2.3×1016
答案：D
解析：设电子定向移动的平均速率为v，样品每平方米的电子数为n，建立平面流体模型，t时间内通过样品的电荷量为nevtb，由电流的定义式得I＝＝nevb，稳定时电子受力平衡，有e＝evB，联立解得U＝B，由题图（b）可知U－B图线的斜率k＝＝，解得n≈2.3×1016，D正确.
1.电流
电荷的　定向移动　形成电流，I＝；单位：　安培（A）　.
2.电流形成的条件：导体中有　自由电荷　；导体两端存在　电压　.
3.电流的标矢性：电流是标量，但有方向，规定　正电荷　定向移动的方向为电流的方向.
　深化　　电流的三个表达式
项目 公式 适用 范围 字母含义 公式含义
定义式 I＝ 一切 电路 q为时间t内通过导体横截面的电荷量 反映了I的大小，但不能说I∝q，I∝
微观式 I＝nqSv 一切 电路 n：导体单位体积内的自由电荷数 q：每个自由电荷的电荷量 S：导体的横截面积 v：电荷定向移动速率 从微观上看n、q、S、v决定了I的大小
决定式 I＝ 金属、 电解液 U：导体两端的电压 R：导体本身的电阻 I由U、R决定，I∝U，I∝
角度1　电流微观表达式的应用
例1　（2025·河南中原名校联考）如图所示，一粗细均匀的金属导线横截面积为S，单位体积内有n个自由电子，每个自由电子的电荷量为e，下面说法正确的是（　　）
A.时间t内流过该导线某一横截面的电荷量为et
B.导线内的电流为I时，电子定向移动的速度为
C.将金属丝均匀拉长到原来的2倍，其电阻也变为原来的2倍
D.将金属丝接入电路，随着温度的升高其电阻变小
答案：B
解析：设电子定向移动的速度为v，则t时间内通过该导线某一横截面的电子数为N＝nSvt，则时间t内流过该导线某一横截面的电荷量为q＝Ne＝neSvt，故A错误；导线内的电流为I时，由电流定义式I＝，可得q＝It＝neSvt，解得v＝，故B正确；将金属丝均匀拉长到原来的2倍，体积不变，横截面积变为原来的，由公式R＝ρ，可得R'＝ρ·＝4ρ＝4R，可知电阻变为原来的4倍，故C错误；将金属丝接入电路，随着温度的升高其电阻率变大，电阻变大，故D错误.故选B.
角度2　电流定义式的应用
例2　（2025·昆明十中统考模拟）如图所示为一种心脏除颤器的原理图，在一次模拟治疗中，将开关S接到位置1，电容器充电后电压为6 kV；将开关S接到位置2，电容器在2 ms内通过人体完成放电，已知电容器的电容为30 μF，则这次放电通过人体组织的平均电流为（　　）
A.90 A B.60 A C.9 A D.6 A
答案：A
解析：电容器充电后带电荷量为Q＝CU＝30×10－6×6×103 C＝0.18 C，放电过程的平均电流为I＝＝ A＝90 A，故A正确.
　训练1　某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗，在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，首先要实现质子的高速运动，该过程需要一种被称作“粒子加速器”的装置来实现.质子先被加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞.如图所示，来自质子源的质子（初速度为零）经加速电压为U的加速器加速后，形成细柱形的质子流.已知细柱形质子流的横截面积为S，其等效电流为I；质子的质量为m、电荷量为e.那么这束质子流内单位体积的质子数n是（　　）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：质子被加速时有Ue＝mv2，由于I＝neSv，解得n＝，A、B、C错误，D正确.
二、部分电路欧姆定律及电阻定律
考题3　（2024·广西卷）将横截面相同、材料不同的两段导体L1、L2无缝连接成一段导体，总长度为1.00 m，接入图甲电路.闭合开关S，滑片P从M端滑到N端，理想电压表读数U随滑片P的滑动距离x的变化关系如图乙，则导体L1、L2的电阻率之比约为 （　　）
A.2∶3 B.2∶1 C.5∶3 D.1∶3
答案：B
解析：根据电阻定律R＝ρ与欧姆定律I＝，可得U＝·x，则U－x图像的斜率k＝∝ρ.＝，B正确.
　深化1　　电阻与电阻率的区别
（1）电阻反映了导体对电流阻碍作用的大小，而电阻率则反映制作导体的材料导电性能的好坏.
（2）导体的电阻大，电阻率不一定大，它的导电性能不一定差；导体的电阻率小，电阻不一定小，即它对电流的阻碍作用不一定小.
（3）导体的电阻、电阻率均与温度有关.
　深化2　　电阻的决定式和定义式的区别
公式 R＝ρ R＝
区别 电阻的决定式 电阻的定义式
说明了电阻的决定因素 提供了一种测电阻的方法，并不说明电阻与U和I有关
只适用于粗细均匀的金属导体和浓度均匀的电解质溶液 适用于任何纯电阻导体
　深化3　　I－U图线与U－I图线的对比
角度1　对导体伏安特性的理解
例3　小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图所示，P为图线上一点，PN为图线在P点的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线，则下列说法中错误的是（　　）
A.随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大
B.对应P点，小灯泡的电阻为R＝
C.对应P点，小灯泡的电阻为R＝
D.对应P点，小灯泡的功率等于图中矩形PQOM所围的面积
答案：C
解析：由题图可知，U越大，小灯泡的电阻越大，故A说法正确；R＝中的U、I与小灯泡所处状态下的电压、电流相对应，故B说法正确，C说法错误；对应P点，小灯泡的功率P＝U1I2，与题图中PQOM所围的面积相等，故D说法正确.故选C.
角度2　欧姆定律及电阻率的理解
例4　（2025·广东模拟）（多选）离地面高度5.0×104 m以下的大气层可视为电阻率较大的漏电介质，假设由于雷暴对大气层的“电击”，使得离地面高度5.0×104 m处的大气层与带负电的地球表面之间形成了稳定的电场，其电势差约为3×105 V.已知雷暴每秒给地球充电的电荷量约为1.8×103 C，地球表面积近似为5.0×1014 m2，则（　　）
A.该大气层的等效电阻约为600 Ω
B.该大气层的平均漏电电流约为1.8×103 A
C.该大气层的平均电阻率约为1.7×1012 Ω·m
D.该大气层的平均电阻率约为1.7×108 Ω·m
答案：BC
解析：该大气层的平均漏电电流约为I＝＝ A＝1.8×103 A，该大气层的等效电阻为R＝＝ Ω≈167 Ω，故A错误，B正确；根据R＝ρ可得，该大气层的平均电阻率约为ρ＝＝ Ω·m≈1.7×1012 Ω·m，故C正确，D错误.
　训练2　（2025·江苏南京高三考试）如图所示是某白炽灯的伏安特性曲线，图中OA连线与横轴的夹角为α，A点的坐标为（U0，I0），其切线与纵轴交点的纵坐标为I1，则（　　）
A.白炽灯的电阻随电压的增大而减小
B.对应A点，白炽灯的电阻可表示为tan α
C.对应A点，白炽灯的电阻可表示为
D.对应A点，白炽灯的电阻可表示为
答案：C
解析：I－U图像斜率的倒数表示电阻，由题图可知，随着电压的增大，白炽灯电阻增大，故A错误；对应A点，白炽灯的电阻可表示为，不能根据或求电阻，故B、D错误，C正确.
三、电功　电功率　焦耳定律
考题4　（2022·江苏卷）如图所示，电路中灯泡均正常发光，阻值分别为R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，R3＝2 Ω，R4＝4 Ω，电源电动势E＝12 V，内阻不计.四个灯泡中消耗功率最大的是（　　）
A.R1 B.R2 C.R3 D.R4
答案：A
解析：电路中总电流I＝＝3 A，则UR1＝IR1＝6 V，PR1＝I2R1＝18 W，并联部分电压UR3＋UR4＝UR2＝E－UR1＝6 V，则PR2＝＝12 W；根据串联电路电压规律可知R3两端电压UR3＝2 V，R4两端电压UR4＝4 V，则PR3＝＝2 W，PR4＝＝4 W，所以PR1最大，A正确.
1.电功
（1）公式：W＝qU＝　IUt　.
（2）电功率：P＝＝　UI　.
2.电热
（1）焦耳定律：Q＝　I2Rt　.
（2）热功率：P＝　I2R　.
　深化1　　电功和电热、电功率和热功率的区别与联系
意义 公式 联系
电 功 电流在一段电路中所做的功 W＝UIt 对纯电阻电路，电功等于电热，W＝Q＝UIt＝I2Rt；对非纯电阻电路，电功大于电热，W＞Q
电 热 电流通过导体产生的热量 Q＝I2Rt
电 功 率 单位时间内电流所做的功 P＝UI 对纯电阻电路，电功率等于热功率，P电＝P热＝UI＝I2R；对非纯电阻电路，电功率大于热功率，P电＞P热
热 功 率 单位时间内导体产生的热量 P＝I2R
　深化2　　电动机的三个功率及关系
输入功率 电动机的总功率P总＝P入＝UI
输出功率 电动机做有用功的功率，也叫机械功率
热功率 电动机的线圈有电阻，电流通过线圈时会发热，热功率P热＝I2r
三者关系 P总＝P出＋P热
效率 η＝×100％＝×100％
特别说明 ①正常工作的电动机是非纯电阻元件. ②电动机因故障或其他原因不转动时，相当于一个纯电阻元件
角度1　纯电阻电路的计算
例5　如图所示，当A、B间加上电压时，R1、R2、R3三个电阻上消耗的功率相等，则三个电阻的阻值之比R1∶R2∶R3为（　　）
A.1∶1∶4 B.1∶1∶1
C.1∶1∶2 D.2∶2∶1
答案：A
解析：因R1和R2串联，电流相等，且消耗的功率相等，根据P＝I2R可知R1＝R2；因并联支路电压相等，R1、R2的总功率等于R3功率的2倍，根据P＝可知，R3＝2（R1＋R2）＝4R1，即R1∶R2∶R3＝1∶1∶4，选项A正确.
角度2　非纯电阻电路的计算
例6　（2025·江苏无锡高三期末）如图所示为某款扫地机器人，其内置锂电池容量为5 000 mA·h，在一般情况下，充满一次电可供其正常工作的时间为150 min.已知该扫地机器人的额定功率为30 W，则下列说法正确的是（　　）
A.扫地机器人正常工作时的电流是0.2 A
B.扫地机器人正常工作时的电压为15 V
C.扫地机器人正常工作150 min消耗的电能为3.6×105 J
D.扫地机器人的电动机的内阻为7.5 Ω
答案：B
解析：根据电流的定义可知扫地机器人正常工作时的电流是I＝＝ A＝2 A，A错误；扫地机器人正常工作时的电压为U＝＝ V＝15 V，B正确；扫地机器人正常工作150 min消耗的电能为E＝Pt＝30×150×60 J＝2.7×105 J，C错误；由于扫地机器人的电动机不是纯电阻元件，其内阻不能由欧姆定律求得，D错误.故选B.
　训练3　（2025·山东青岛第一中学高三期末）（多选）如图甲所示，用内阻为r1的充电宝为一手机充电，其等效电路如图乙所示，在充电开始后的一段时间t内，充电宝的输出电压U、输出电流I可认为是恒定不变的，设手机电池的内阻为r2，则时间t内（　　）
A.充电宝输出的电功率为UI－I2r1
B.手机电池的热功率为I2r2
C.手机电池产生的焦耳热为t
D.手机电池增加的化学能为UIt－I2r2t
答案：BD
解析：充电宝输出的电功率为P＝UI，故A错误；时间t内，手机电池的热功率为Pr2＝I2r2，故B正确；因为手机电池不能看成纯电阻，所以I≠，所以时间t内手机电池产生的焦耳热为Qr2＝I2r2t≠t，故C错误；根据能量守恒定律可知，充电宝输出的电功等于手机电池增加的化学能ΔE与手机电池内阻产生的焦耳热之和，即Pt＝ΔE＋Qr2，解得ΔE＝UIt－I2r2t，故D正确.
限时跟踪检测（三十九）　电流　电阻　电功　电功率
A级·基础对点练
题组一　电流的理解与计算
1.（2025·山东淄博模拟）阿秒（as）光脉冲是一种发光持续时间极短的光脉冲，如同高速快门相机，可用以研究原子内部电子高速运动的过程.已知1 as＝10－18 s，电子所带电荷量为1.6×10－19 C，氢原子核外电子绕原子核做匀速圆周运动的等效电流约为1×10－3 A.目前阿秒光脉冲的最短时间为43 as，电子绕氢原子核一周的时间约为该光脉冲时间的（　　）
A.2.8倍 B.3.7倍
C.4.2倍 D.5.5倍
答案：B
解析：根据电流的定义式I＝，可得电子绕氢原子核一周的时间T＝，则＝＝3.7.B正确.
2.（2025·浙江模拟）在我国边远乡村的电路上常用熔断保险丝.当电路中有较强电流通过时，保险丝会快速熔断，及时切断电源，保障用电设备和人身安全.经测量，有一段电阻为R、熔断电流为2 A的保险丝，直径约0.5毫米.若将这段保险丝对折后绞成一根，那么保险丝的电阻和熔断电流将变为（　　）
A.R、4 A B.R、4 A
C.R、0.5 A D.R、1 A
答案：A
解析：根据电阻定律R＝ρ可知，对折后电阻为R'＝ρ＝R，而两段熔断电流为2 A的保险丝并联，其允许通过的最大电流I'＝2Imax＝4 A，故选A.
3.如图所示，同种材料制成且厚度相等的长方体合金块A和B，上表面为正方形，边长之比为2∶1.A、B分别与同一电源相连，电源内阻忽略不计，则（　　）
A.通过A、B的电流之比为2∶1
B.通过A、B的电流之比为1∶2
C.A、B中自由电荷定向移动速率之比为2∶1
D.A、B中自由电荷定向移动速率之比为1∶2
答案：D
解析：设正方形边长为L，厚度为d，则R＝ρ＝，可知RA＝RB，与同一电源相连时，通过A、B的电流之比为1∶1，A、B错误；根据I＝neSv，因SA∶SB＝2∶1，则vA∶vB＝1∶2，C错误，D正确.
题组二　部分电路欧姆定律及电阻定律
4.导体A、B、C的伏安特性曲线分别是图线1、2、3，其中导体C为一非线性电阻，当它们串联后接在电压恒为6 V的直流电源两端时，它们的电阻分别为R1、R2、R3.则下列说法中正确的是（　　）
A.此时流过三导体的电流均为1 A
B.R1∶R2∶R3＝1∶2∶3
C.若将三导体串联后接在3 V的直流电源上，则三导体的阻值之比不变
D.若将三导体并联后接在3 V的直流电源上，则通过它们的电流之比I1∶I2∶I3＝2∶3∶1
答案：A
解析：由题图可知，R1为1 Ω，R2为3 Ω，当三个导体串联时，通过各个导体的电流相等，则三个导体两端的电压之和应为6 V，则由题图可知，三个导体中的电流应为1 A，电压分别为1 V、3 V、2 V，则由欧姆定律可知，电阻之比为R1∶R2∶R3＝1∶3∶2，故A正确，B错误；若将三个导体串联接在3 V的电源上时，两定值电阻的阻值不变，而C因为电压变化，则电阻一定变化，比值变化，故C错误；若将三个导体并联在3 V的电源上，通过各导体的电流分别为3 A、1 A、2 A，即电流之比为I1∶I2∶I3＝3∶1∶2，故D错误.
5.（2025·山东联合质量测评）（多选）如图所示，图线1表示电阻为R1的导体A的伏安特性曲线，图线2表示电阻为R2的导体B的伏安特性曲线，导体A、B为均匀圆柱体，则下列说法正确的是（　　）
A.把B均匀拉长为原来的2倍后其电阻将变为6 Ω
B.将A与B并联后接在电源上，二者消耗的功率之比为P1∶P2＝3∶1
C.R1的阻值为2 Ω，R2的阻值为 Ω
D.将A与B串联后接在电源上，二者的电压之比为U1∶U2＝3∶1
答案：AB
解析：根据I－U图像可知，图线的斜率表示电阻的倒数，故R1＝0.5 Ω，R2＝1.5 Ω，C错误；若把B拉长为原来的2倍后，横截面积变为原来的，由电阻定律R＝ρ可知，电阻变为原来的4倍，即电阻变为6 Ω，A正确；并联电路电压相等，所以将A与B并联后接在电源上，通过二者的功率之比等于电阻反比，即＝＝＝，B正确；串联电路电流相等，电压之比等于电阻之比，所以＝＝，D错误.
题组三　电功　电功率　焦耳定律
6.小雷同学家里购买了一款扫地机器人，如图所示，小雷同学仔细检查了这个新扫地机器人，发现铭牌上标有如表所示的数据，则该扫地机器人（　　）
主机基本参数
产品尺寸 345 mm*345 mm*96 mm
电池 14.4 V/5 200 mA·h锂电池
产品质量 约3.8 kg
无线连接 WiFi智能快连
额定电压 14.4 V
额定功率 55 W
A.额定工作电流为0.25 A
B.充满电后正常工作的时间为2.5 h
C.电池充满电后储存的总电荷量为18 720 C
D.以额定电流工作时每小时消耗能量为55 J
答案：C
解析：由铭牌知，扫地机器人工作的额定电压为14.4 V，额定功率为55 W，则额定电流I＝ A＝3.82 A＝3 820 mA，每秒钟消耗能量W＝Pt＝55 J，A、D错误；根据电池容量5 200 mA·h知，电池充满电后储存的总电荷量Q＝5.2 A×3 600 s＝18 720 C，充满电后正常工作的时间t＝＝1.36 h，B错误，C正确.
B级·能力提升练
7.（2025·江苏南京师大实验学校月考）一根金属棒长为L，横截面积为S，其材料的电阻率为ρ，棒内单位体积的自由电子数为n，电子的质量为m，电荷量为e.在棒两端加上恒定的电压时，棒内产生电流，自由电子定向运动的平均速率为v，则金属棒两端所加的电压为（　　）
A.ρnev2 B.ρnevL C. D.
答案：B
解析：根据电阻定律，可知金属棒的电阻为R＝ρ，根据电流的微观表达式，金属棒中电流可表示为I＝neSv，由欧姆定律，金属棒两端所加的电压为U＝IR，联立解得U＝ρnevL，B正确.
8.（2025·安徽蚌埠联考）（多选）一根粗细均匀的导线，两端加上电压U时，通过导线的电流为I，导线中自由电子定向移动的平均速率为v.若将导线均匀拉长，使它的横截面的半径变为原来的，再给它两端加上电压U，则（　　）
A.通过导线的电流为
B.通过导线的电流为
C.导线中自由电子定向移动的速率为
D.导线中自由电子定向移动的速率为
答案：BC
解析：导线被拉长后，其横截面积变小，变为原来的，由V＝Sl可知其长度变为原来的4倍，由R＝ρ可知其电阻增大为原来的16倍，根据I＝可知加上相同的电压U时，电流会变为原来的，故A错误，B正确；又根据I＝neSv可知导线被拉长后，n、e不变，I变为原来的，S变为原来的，故v变为原来的，故C正确，D错误.
9.如图所示，电源内阻不计，闭合开关S后，标有“1.5 A　12 W”的灯泡恰能正常发光，流经电源的电流为2 A，直流电动机M的绕线电阻R0＝4 Ω，求：
（1）电源的电压；
（2）10 s内电动机产生的热量Q；
（3）直流电动机的机械功率；
（4）若电动机工作过程中转子被卡住，则此时的热功率为多大.
答案：（1）8 V　（2）10 J　（3）3 W　（4）16 W
解析：（1）由题意知，灯泡正常发光，故其两端电压U＝＝8 V
电路并联，故电源的电压等于灯泡两端电压，故E＝U＝8 V.
（2）已知流经电源的电流I＝2 A，则流过电动机的电流I1＝I－I额＝0.5 A
电动机的热功率P0＝R0＝1 W
10 s内产生的热量Q＝P0t＝10 J.
（3）电动机的总功率P＝UI1＝4 W
电动机的机械功率P机＝P－P0＝3 W.
（4）电动机的转子被卡住后，电动机等效为纯电阻，此时通过电动机的电流I'1＝＝2 A
其热功率P＝I'R0＝16 W.
第2讲　电路　电路的基本规律
素养目标　1.通过对闭合电路欧姆定律及电路特点等电学相关知识的学习和应用，重在培养学生的能量观念.（物理观念） 2.理解闭合电路欧姆定律，会测量电源的电动势和内阻.（科学思维） 3.通过探究电源两端电压与电流的关系，体会图像法在研究物理问题中的作用.（科学思维）
一、串、并联电路的规律及应用
考题1　（2023·海南卷）如图所示电路，已知电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，闭合开关S，待电路稳定后，电容器上的电荷量为（　　）
A.CE B.CE
C.CE D.CE
答案：C
解析：电路稳定后，由于电源内阻不计，则整个回路可看成3R与2R串联部分和R与4R串联部分并联，若取电源负极为零电势点，则电容器上极板电势为，下极板电势为，电容器两极板间电势差为，则电容器上的电荷量为Q＝CU＝CE，C正确.
1.串联电路
（1）电流：I＝I1＝I2＝I3＝…＝In.
（2）电压：U＝　U1＋U2＋U3＋…＋Un　.
（3）电阻：R＝　R1＋R2＋R3＋…＋Rn　.
（4）功率分配：P1∶P2∶P3∶…∶Pn＝　R1∶R2∶R3∶…∶Rn　.
2.并联电路
（1）电流：I＝　I1＋I2＋I3＋…＋In　.
（2）电压：U＝U1＝U2＝U3＝…＝Un.
（3）电阻：＝　＋＋＋…＋　.
（4）功率分配：P1∶P2∶P3∶…∶Pn＝　∶∶∶…∶　.
　深化1　　串、并联电路几个常用的推论
（1）串联电路的总电阻大于其中任一部分电路的总电阻.
（2）并联电路的总电阻小于其中任一支路的总电阻.
（3）无论电阻怎样连接，每一段电路的总电功率P总是等于各个电阻的电功率之和.
（4）无论是串联电路还是并联电路，电路中任意一个电阻变大时，电路的总电阻变大.
　深化2　　电表的两种改装的比较
项目 改装成大量程电压表 改装成大量程电流表
内部电路
改装原理 串联分压 并联分流
所需电阻 阻值 R＝－Rg R＝
改装后 的量程 U＝Ig（Rg＋R） I＝Ig
校准电路
角度1　串、并联电路
例1　一个T形电路如图所示，电路中的电阻R1＝4 Ω，R2＝12 Ω，R3＝4 Ω，另有一测试电源，电源提供的电压为36 V，内阻忽略不计，则（　　）
A.当cd端短路时，ab之间的等效电阻是8 Ω
B.当ab端短路时，cd之间的等效电阻是16 Ω
C.当cd两端接通测试电源时，ab两端的电压为9 V
D.当ab两端接通测试电源时，cd两端的电压为16 V
答案：C
解析：当cd端短路时，R2和R3并联再与R1串联，ab之间的等效电阻R＝R1＋＝7 Ω，故A错误；当ab端短路时，R1和R3并联再与R2串联，cd之间的等效电阻R＝R2＋＝14 Ω，故B错误；当cd两端接通测试电源时，R1中没有电流，相当于R2与R3串联，ab两端的电压为R3分得的电压Uab＝U＝9 V，故C正确；当ab两端接通测试电源时，R2中没有电流，相当于R1与R3串联，cd两端的电压为R3分得的电压Ucd＝U＝18 V，故D错误.
角度2　电表的改装
例2　（2025·贵州黔西南州金成实验学校月考）在如图所示的电路中，灵敏电流计G的内阻为Rg＝10 Ω，满偏电流为Ig＝1 mA，R1＝990 Ω，R2＝ Ω.下列说法正确的是（　　）
A.当S1和S2均断开时，可改装成为电流表
B.当S1和S2均断开时，改装成的是量程为1 kV的电压表
C.当S1和S2均闭合时，改装成的是量程为10 mA的电流表
D.当改装为电流表时，仅闭合开关S1时的量程比开关S1和S2均闭合时大
答案：D
解析：当S1和S2均断开时，表头G与电阻R1串联，根据串联电路的原理可知串联分压，此时改装成的是电压表，故A错误；当S1和S2均断开时，根据改装原理，改装成的电压表的量程为U＝Ig（Rg＋R1）＝1×10－3×（10＋990） V＝1 V，故B错误；当S1和S2均闭合时，表头G与电阻R2并联，根据并联电路的原理可知并联分流，此时改装成的是电流表，根据改装原理可得改装后电流表的量程为I＝Ig＋＝1 mA＋999 mA＝1 A，故C错误；当改装成电流表时，若只闭合S1，此时可将电阻R1与表头G等效为一个内阻为R'g＝1 000 Ω的电流表，然后再和R2并联，改装成新的电流表，此电流表的量程为I'＝Ig＋＝99.901 A，故D正确.
二、闭合电路的欧姆定律分析与计算
考题2　（2020·浙江1月选考）小明在一根细橡胶管中灌满食盐水，两端用粗铜丝塞住管口，形成一段封闭的盐水柱.他将此盐水柱接到电源两端，电源电动势和内阻恒定.握住盐水柱两端将它水平均匀拉伸到原长的1.2倍，若忽略温度对电阻率的影响，则此盐水柱（　　）
A.通过的电流增大
B.两端的电压增大
C.阻值增大为原来的1.2倍
D.电功率增大为原来的1.44倍
答案：B
解析：根据电阻定律可知R＝ρ＝ρ，橡胶管中盐水柱的体积V不变，当橡胶管长度拉伸到原长的1.2倍，则电阻变为原来的1.44倍，C错误；根据闭合电路欧姆定律有I＝，U＝E－Ir，可知当外电阻变大时，电流变小，路端电压变大，A错误，B正确；根据P＝I2R可知，如果电流保持不变，则电功率增大为原来的1.44倍，但是电流在变小，D错误.
1.闭合电路欧姆定律
（1）内容：闭合电路的电流跟电源的电动势成　正比　，跟内、外电路的电阻之和成　反比　.
（2）表达式：I＝，E＝U外＋U内.
2.路端电压与负载的关系
（1）一般情况：U＝IR＝R＝，当R增大时，U　增大　.
（2）特殊情况
①当外电路断路时，I＝0，U＝　E　；
②当外电路短路时，I短＝，U＝0.
　深化1　　电路动态分析的常用方法
（1）程序判断法：遵循“局部→整体→局部”的思路，按以下步骤分析：
（2）“串反并同”法：所谓“串反”，即某一电阻增大（减小）时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小（增大）；所谓“并同”，即某一电阻增大（减小）时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大（减小）.
（3）极限法：因滑动变阻器的滑片滑动引起电路变化的问题，可将滑动变阻器的滑片分别滑至两个极端，让电阻最大或电阻为零，然后再讨论有关问题.
（4）特殊值法：对有些复杂难以直接判断的问题，可采用特殊值代入帮助分析.
　深化2　　含电容器电路的处理方法
（1）电路的简化：不分析电容器的充、放电过程时，把电容器所处的支路视为断路，简化电路时可以去掉此支路，求电荷量时再在相应位置补上.
（2）电路稳定时电容器的处理方法：电路稳定后，与电容器串联的电路中没有电流，同支路的电阻相当于导线，即电阻不起降低电压的作用，电容器两极板间的电压等于与之并联的电阻两端的电压.
（3）电容器的电荷量及变化
①电路中电流、电压的变化可能会引起电容器的充、放电.若电容器两端电压升高，电容器将充电；若电压降低，电容器将通过与它连接的电路放电.
②如果变化前后极板带电的电性相同，通过所连导线的电荷量为｜Q1－Q2｜.
③如果变化前后极板带电的电性相反，通过所连导线的电荷量为Q1＋Q2.
角度1　闭合电路的有关计算
例3　电源、开关、小灯泡、电压表等连接成如图所示的电路，小灯泡上标有“0.6 A　1.5 W”字样，电源的电动势为3 V，电压表为理想电表、导线电阻不计.闭合开关，小灯泡恰好正常发光，则电源的内阻约为（　　）
A.0.30 Ω B.0.83 Ω
C.1.2 Ω D.1.5 Ω
答案：B
解析：小灯泡正常发光，则路端电压为U＝＝ V＝2.5 V，根据闭合电路的欧姆定律可得电源的内阻为r＝＝ Ω≈0.83 Ω，故B正确.
角度2　闭合电路的动态分析
例4　（2025·江苏南通检测）在如图所示的电路中，闭合开关S，当滑动变阻器的滑片P向下滑动时，V、A、V1、V2四个理想电表的示数都发生变化，电表的示数分别用U、I、U1、U2表示，下列判断正确的是（　　）
A.I减小，U1增大
B.I减小，U2减小
C.电压表V2的示数与电流表A示数之比不变
D.电压表V的示数与电流表A示数之比变大
答案：D
解析：当滑动变阻器的滑片P向下滑动时，R2接入电路的阻值变大，外电路总电阻变大，由闭合电路欧姆定律可知，总电流I变小，路端电压U变大，R1两端的电压U1＝IR1减小，R2的电压U2＝U－U1增大，故A、B错误；电压表V2的示数与电流表A示数之比为电阻R2的阻值，R2变大，故C错误；电压表V的示数与电流表A示数之比为外电路总电阻，外电路总电阻变大，故D正确.
角度3　含容电路的分析与计算
例5　（2025·江西南昌模拟）在如图所示的电路中，已知A、B两个电容器的电容之比CA∶CB＝1∶2，每个电阻都相同，则两个电容器带电量之比QA∶QB为（　　）
A.1∶2 B.2∶3
C.1∶1 D.2∶1
答案：A
解析：等效电路图如图所示
设电源电压为U，则UA＝UB＝U，根据C＝可得＝＝，故选A.
三、电源的功率和效率
考题3　（2020江苏卷）（多选）某汽车的电源与启动电机、车灯连接的简化电路如图所示.当汽车启动时，开关S闭合，电机工作，车灯突然变暗，此时（　　）
A.车灯的电流变小
B.路端电压变小
C.电路的总电流变小
D.电源的总功率变大
答案：ABD
解析：开关S闭合后外电路增加了一个并联支路，则通过电源的总电流增大，C错误；由U＝E－Ir可知路端电压减小，B正确；由I灯＝可知通过车灯的电流减小，A正确；由P＝IE可知电源的总功率增大，D正确.
　深化1　　电源的功率和效率
电源总功率 任意电路：P总＝EI＝P出＋P内
纯电阻电路：P总＝I2（R＋r）＝
电源内部消耗的功率 P内＝I2r＝P总－P出
电源的输出功率 任意电路：P出＝UI＝P总－P内
纯电阻电路：P出＝I2R＝
P出与外电阻R的关系
电源的效率 任意电路：η＝×100％＝×100％
纯电阻电路：η＝×100％
　深化2　　等效电源
把含有电源、电阻的部分电路等效为新的“电源”，其“电动势”“内阻”如下：
（1）两点间断路时的电压等效为电动势E'.
（2）两点短路时的电流为等效短路电流I'短，等效内电阻r'＝.
常见电路等效电源如下：
图例 等效情况
E'＝E，r'＝R＋r
E'＝E，r'＝
例6　如图所示为某闭合电路电源的输出功率随电流变化的图像，由此图像可以判断（　　）
A.电源的内阻消耗的功率最大为9 W
B.电源的效率最大为50％
C.输出功率最大时，外电路的总电阻为4 Ω
D.电源的电动势为12 V
答案：D
解析：由题图可知，当电流为1.5 A时电源的输出功率最大，这时内阻消耗的功率等于输出功率，为9 W，电源的效率为50％，这时电源的总功率为18 W，根据P＝IE，可求得电源的电动势为12 V，D项正确；由Pr＝I2r可知，电源的内阻为4 Ω，由于不确定外电路是不是纯电阻电路，因此C项错误；随着电流的增大，内阻消耗的功率增大，A项错误；随着电流的减小，电源的效率增大，B项错误.
例7　如图所示，电源电动势E＝12 V，内阻r＝3 Ω，甲图中R0＝1 Ω，乙图中额定输出功率P0＝2 W的直流电动机线圈内阻R'0＝1 Ω.当调节滑动变阻器的阻值为R1时，可使甲电路输出功率最大；调节滑动变阻器的阻值为R2时，可使乙电路输出功率最大，且此时电动机刚好正常工作.则（　　）
甲　乙
A.R1＝0 B.R1＝1.5 Ω
C.R2＝1.5 Ω D.R2＝2 Ω
答案：C
解析：对于题图甲，当电路的外电阻等于内阻时电路的输出功率最大，所以R1＝r－R0＝2 Ω，A、B错误；对于题图乙，设电路中电流为I，则电源的输出功率P输出＝EI－I2r，根据数学知识可知当I＝＝2 A时，P输出有最大值Pmax＝12 W，由题意知此时电动机正常工作，设电动机两端电压为UM，有UMI＝I2R'0＋P0，解得UM＝3 V，电源内电压U内＝Ir＝6 V，R2两端电压U2＝E－UM－U内＝3 V，所以R2＝＝1.5 Ω，故C正确，D错误.
四、两类U－I图像的比较及应用
考题4　（2023·全国甲卷）某同学用伏安法测绘一额定电压为6 V、额定功率为3 W的小灯泡的伏安特性曲线，实验所用电压表内阻约为6 kΩ，电流表内阻约为1.5 Ω.实验中有图（a）和（b）两个电路图供选择.
（1）实验中得到的电流I和电压U的关系曲线如图（c）所示，该同学选择的电路图是图（　　）（填“a”或“b”）.
（2）若选择另一个电路图进行实验，在图（c）上用实线画出实验中应得到的I－U关系曲线的示意图.
答案：（1）a　（2）图见解析
解析：（1）小灯泡的额定电压为6 V，额定功率为3 W，则额定电流为0.5 A，即500 mA，观察题图（c）发现，电流为500 mA时，电压表示数不到6 V，说明电流表示数大于通过小灯泡的电流，该同学选择的电路图是图（a）.
（2）若选择题图（b）所示电路，流过小灯泡的电流相同的情况下，题图（b）中电压表的读数要大于题图（a）中电压表的读数，如图所示.
　深化　　两类U－I图像对比
项目 电源的U－I图像 电阻的U－I图像
图像
物理意义 路端电压随电流的变化规律 电阻两端电压随电流的变化规律
截距 与纵轴交点表示电源电动势E，与横轴交点表示短路电流 过坐标轴原点，表示没有电压时电流为零
斜率的 绝对值 内电阻r 电阻大小
坐标的 乘积UI 表示电源的输出功率 表示电阻消耗的功率
坐标的U、I比值 表示外电阻的大小，不同点对应的外电阻大小不同 每一点对应的比值均等大，表示此电阻的大小不变
例8　图甲所示为某电源的U－I图线，图乙所示为某元件的U－I图线，下列说法中正确的是（　　）
甲　乙
A.该电源的内阻为5.0 Ω
B.该元件的电阻随着其两端电压的增大而减小
C.当该元件两端的电压为0.75 V时，它的电阻约为2.5 Ω
D.让电源和该元件组成闭合回路，该元件的功率约为0.3 W
答案：D
解析：根据U＝E－Ir可知题图甲中图线纵截距是电源电动势，所以电源电动势为E＝1.5 V，根据图像可知内阻为图像斜率的绝对值，则该电源的内阻为r＝ Ω＝ Ω，故A错误；根据欧姆定律可知，图乙中图线上的点与坐标原点连线的斜率就代表元件的电阻，则从图乙中可知，随着元件两端电压的增大，图线上的点与坐标原点连线的斜率就越大，电阻也就越大，故B错误；由题图乙可得，当元件两端的电压为0.75 V时，流过元件的电流为0.7 A，则根据欧姆定律可得，元件电阻为R＝＝ Ω＝ Ω，故C错误；让电源和该元件组成闭合回路，将甲、乙两图线表示在同一图像中，如图所示，两U－I图线的交点即该元件的工作电压和电流，故从图中可以看出元件的工作电压和电流为U＝0.5 V，I＝0.6 A，所以该元件的功率约为P＝UI＝0.5×0.6 W＝0.3 W，故D正确.故选D.
限时跟踪检测（四十）　电路　电路的基本规律
A级·基础对点练
题组一　串、并联电路的规律及应用
1.在如图所示的电路中，电源电压U＝15 V（内阻不计），电阻R1、R2、R3的阻值均为10 Ω，S为单刀双掷开关，则开关S接A和开关S接B时，电压表的读数分别为（　　）
A.7.5 V　10 V B.10 V　7.5 V
C.0　10 V D.10 V　0
答案：C
解析：开关S接A，电压表被短路，电压表测量的是导线上的电压U1＝0；开关S接B，R2与R3并联再与R1串联，电压表测量的是R1两端的电压U2＝R1＝10 V，故C正确.
2.（2025·北京海淀高三月考）如图所示为某实验小组设计的两个量程的电流表，已知表头G的满偏电流为Ig，定值电阻R1、R2的阻值均等于表头的内阻.当使用1和2两个端点时，电流表的量程为I1，当使用1和3两个端点时，电流表的量程为I2.下列说法正确的是（　　）
A.I1＝2Ig
B.I2＝3Ig
C.若仅使R1阻值变小，则I1和I2均变大
D.若仅使R2阻值变小，则I1和I2均变大
答案：C
解析：设R1＝R2＝Rg＝R，根据电路结构可知I1＝Ig＋＝Ig＋＝3Ig，I2＝Ig＋＝Ig＋＝1.5Ig，选项A、B错误.因为I1＝Ig＋，I2＝Ig＋，则若仅使R1阻值变小，则I1和I2均变大；若仅使R2阻值变小，则I1减小，I2变大，选项C正确，D错误.
题组二　闭合电路欧姆定律的分析与计算
3.R1和R2是材料相同、厚度相同、上下表面都为正方形的导体，但R1的正方形边长比R2大得多，把它们分别连接在如图所示电路的A、B端，接R1时电压表的读数为U1，接R2时电压表的读数为U2，下列判断正确的是（　　）
　　
A.R1＜R2 B.R1＞R2
C.U1＜U2 D.U1＝U2
答案：D
解析：设正方形的边长为a，导体厚度为d，则导体的电阻R＝ρ＝ρ＝，由于两导体的ρ与d相同，则两导体电阻相等，即R1＝R2，故A、B错误；导体接入电路中，电压表示数U＝IR＝R，由于两种情况下电源电动势E、内阻r、导体电阻R均相同，则电压表示数U相同，即U1＝U2，故C错误，D正确.
4.（2025·天津北辰区期末）在如图所示电路中，当滑动变阻器R3的滑片P向b端移动时（　　）
A.电压表示数变大，电流表示数变小
B.电压表示数变小，电流表示数变大
C.电压表示数变大，电流表示数变大
D.电压表示数变小，电流表示数变小
答案：B
解析：根据题意可知，当滑动变阻器R3的滑片P向b端移动时，滑动变阻器接入电路的阻值减小，则电路中的总电阻减小，由闭合电路欧姆定律可知，总电流变大，路端电压变小，即电压表示数变小；由闭合电路欧姆定律可知，R2两端的电压U2＝E－I（R1＋r），由于总电流变大，则U2变小，流过R2的电流变小，则通过滑动变阻器R3的电流变大，即电流表示数变大，故B正确.
题组三　电源的功率和效率
5.（多选）在如图所示的电路中，当闭合开关S后，若将滑动变阻器的滑片P向下调节，不考虑灯泡电阻的变化，电流表和电压表均为理想电表，电流表、电压表示数变化量分别为ΔI、ΔU，则下列说法正确的是（　　）
A.电流表示数变小
B.不变
C.灯L1变亮，灯L2变暗
D.电源效率减小，电源输出功率变大
答案：BC
解析：运用程序法，滑片P向下调节，滑动变阻器接入电路的阻值减小，电路总电阻减小，干路中电流增大，故电流表示数增大，U内增大，L1两端电压增大，U外减小.U外等于两灯泡的两端电压之和，故L2两端电压必然减小，A错误，C正确；电源效率η＝×100％＝×100％，则电源效率减小，因不知道内、外电阻大小关系，故不能确定电源输出功率的变化，D错误；由闭合电路欧姆定律可得并联部分电压U＝E－I（r＋RL1），则＝－（r＋RL1），则不变，B正确.
6.（2025·上海静安区模拟）两个直流电源的总功率P总随外电压U变化的关系图线如图中的a、b所示，若两电源的内阻为ra、rb，能提供的最大输出功率为Pa、Pb，则（　　）
A.ra＜rb，Pa＝Pb B.ra＜rb，Pa＜Pb
C.ra＞rb，Pa＝Pb D.ra＞rb，Pa＜Pb
答案：A
解析：两个直流电源的总功率为P总＝EI＝E·＝－U＋，由题图可知＞，＝，联立可得ra＜rb，当电源内、外电阻相等时，电源能提供的输出功率最大，最大输出功率为P＝，可知Pa＝Pb，故A正确.
题组四　两类U－I图像的比较及应用
7.如图所示，图线a是太阳能电池在某光照强度下路端电压U和电流I的关系图像（电池内阻不是常量），图线b是某电阻R的U－I图像.在该光照强度下将它们组成闭合回路时，则（　　）
A.电源的电动势为E＝5 V
B.电阻两端的电压为U＝4 V
C.电阻的电流为I＝0.4 A
D.太阳能电池的内阻为5 Ω
答案：D
解析：由闭合电路的欧姆定律可得U＝E－Ir，当I＝0时，E＝U，由题图中图线a与纵轴的交点读出电源的电动势为E＝4 V，故A错误；根据题图中两图线交点处的状态可知，电阻两端的电压为U＝3 V，电流为I＝0.2 A，故B、C错误；太阳能电池的内阻为r＝＝5 Ω，故D正确.
8.（2025·江苏无锡期末）太阳能电池在空间探测器上得到广泛应用.某太阳能电池在特定光照强度下工作电流I随路端电压U变化的图线如图中曲线①，输出功率P随路端电压U变化的图线如图中曲线②.图中给出了该电池断路电压U0和短路电流I0.当路端电压为U1时，工作电流为I1，且恰好达到最大输出功率P1，则此时电池的内阻为（　　）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据题意可知，太阳能电池的电动势为U0，当路端电压为U1时，太阳能电池的总功率P总＝U0I1，太阳能电池内阻的功率P内＝P总－P1，根据P内＝r，联立可得r＝.C正确.
B级·能力提升练
9.（2025·广东佛山检测）（多选）安装了感光系统的新型路灯，能根据环境明暗程度自动调节灯光亮度.某兴趣小组为了研究路灯的感光系统，设计了甲、乙两个电路，如图所示.Rt为光敏电阻（光照越强，电阻越小），R0与R1为定值电阻，下列说法正确的是（　　）
甲　　乙
A.环境变暗时，甲电路的灯泡亮度变亮
B.环境变暗时，乙电路的灯泡亮度变亮
C.环境变亮时，甲电路的R1电功率减小
D.环境变亮时，乙电路的R1电功率增大
答案：AD
解析：设电源内阻为r，题图甲中，当环境变暗时，Rt阻值变大，电路总电阻变大，干路电流减小，根据闭合电路欧姆定律UL＝E－I（R0＋r），可知灯泡两端电压变大，灯泡亮度变亮；当环境变亮时，Rt阻值变小，电路总电阻变小，干路电流增大，根据闭合电路欧姆定律可知灯泡两端电压变小，流过灯泡的电流变小，由于通过干路的总电流增大，故流过R1的电流I1增大，根据P1＝R1，可知R1电功率增大，故A正确，C错误.题图乙中，当环境变暗时，Rt阻值变大，电路总电阻变大，干路电流减小，因为R1的阻值和灯泡的阻值不变，故流过灯泡的电流减小，灯泡变暗；当环境变亮时，Rt阻值变小，电路总电阻变小，干路电流增大，流过R1的电流变大，电功率增大，故B错误，D正确.
10.（2025·河南创新联盟模拟）将四个相同的灵敏电流计分别改装成两个电流表A1、A2和两个电压表V1、V2，已知电流表A1的量程小于A2的量程，电压表V1的量程小于V2的量程，改装好之后把它们接入如图所示的电路，R为定值电阻，闭合开关，下列说法正确的是（　　）
A.对于电流表，是把灵敏电流计与小电阻串联改装而成的
B.V1的电阻大于V2的电阻
C.V1的读数小于V2的读数，V1指针的偏转角度等于V2指针的偏转角度
D.定值电阻R的电压等于V1的读数与V2的读数之和，其电流等于A1或A2的读数
答案：C
解析：灵敏电流计与小电阻并联，改装成电流表，故A错误；灵敏电流计与大电阻串联改装成电压表，量程越大，串联的电阻越大，V1的量程小于V2的量程，则V1的电阻小于V2的电阻，故B错误；V1、V2串联，电流相同，流过灵敏电流计的电流相同，则V1、V2指针的偏转角度相同，V1的量程小于V2的量程，则V1的读数小于V2的读数，故C正确；定值电阻R的电压等于V1的读数与V2的读数之和，A1、A2串联，读数相同，电流相同，由于电压表的分流作用，则定值电阻R的电流小于A1或A2的读数，故D错误.
11.（2025·黑龙江齐齐哈尔期末）利用电动机通过如图所示的电路提升重物，已知电源电动势E＝12 V，电源内阻r＝2 Ω，电阻R＝8 Ω，当重物过重电动机被卡住时，电压表的示数为U1＝10 V；当电动机以稳定的速度匀速提升重物时，电压表的示数为U2＝11 V.不计各种摩擦，电压表可视为理想电表.求：
（1）电动机的线圈电阻；
（2）重物匀速上升时电动机的输出功率.
答案：（1）2 Ω　（2）3 W
解析：（1）电动机被卡住时为纯电阻，由闭合电路欧姆定律得，
电路中电流I1＝＝1 A，U1＝I1（R＋RM），代入数据可得RM＝2 Ω.
（2）重物匀速上升时，由闭合电路欧姆定律可知电路中电流I2＝＝0.5 A，电动机两端电压UM＝U2－I2R＝7 V
电动机的输入功率P＝UMI2＝3.5 W
电动机的发热功率P热＝RM＝0.5 W
则电动机的输出功率P机＝P－P热＝3 W.
专题十一　电学实验基础
素养目标　1.了解伏安法测电阻.（物理观念） 2.知道滑动变阻器在电路中的限流接法和分压接法.（物理观念） 3.知道伏安法测电阻内、外接法的选择及误差分析.（科学思维） 4.掌握滑动变阻器在电路中的使用.（科学思维）
一、常用仪器的使用及读数
考题1　（2024·甘肃卷）精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响.可用器材有：电压表（量程1.5 V，内阻约为1.5 kΩ）、电流表（量程0.6 A）、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干.某小组开展了以下实验.
（1）考虑电流表内阻影响
①用如图1所示电路测量电流表的内阻.从图2电压表和电流表读数可得电流表内阻RA＝　　Ω（保留2位有效数字）.
②用如图3所示电路测量干电池电动势和内阻.电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分别用U、I、r和RA表示.则干电池电动势E＝U＋　　（用I、r和RA表示）.
③调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出如图4所示的U－I图像.则待测干电池电动势E＝　　V（保留3位有效数字），内阻r＝　　Ω（保留1位小数）.
（2）考虑电压表内阻影响
该小组也尝试用如图5所示电路测量电压表内阻，但发现实验无法完成.原因是　　（单选，填正确答案标号）.
A.电路设计会损坏仪器
B.滑动变阻器接法错误
C.电压太大无法读数
D.电流太小无法读数
答案：（1）①1.0　②I（RA＋r）　③1.40　1.0　（2）D
解析：（1）①由题图2可知电压表读数为0.60 V，电流表读数为0.58 A，电流表内阻RA＝＝1.0 Ω.②题图3中电流表“内接”，由闭合电路欧姆定律可得E＝U＋I（RA＋r）.③由题图4可得E＝1.40 V，RA＋r＝ Ω＝2.0 Ω，解得r＝1.0 Ω.
（2）题图5中电压表串联在电路中，电压表示数为自身电压，电流表示数为流过电压表的电流，电路中最大电流约为Imax＝＝1 mA，电流太小无法读数，D正确.
　深化1　　螺旋测微器
（1）构造：如图所示，B为固定刻度，E为可动刻度.
（2）原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为0.5 mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退0.5 mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退0.01 mm，即螺旋测微器的精确度为0.01 mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺.
（3）读数：测量值（mm）＝固定刻度数（mm）（注意半毫米刻度线是否露出）＋可动刻度数（估读一位）×0.01（mm）.如图所示，固定刻度示数为2.0 mm，半毫米刻度线未露出，则可动刻度示数为15.0，最后的读数为2.0 mm＋15.0×0.01 mm＝2.150 mm.
　深化2　　游标卡尺
（1）构造：主尺、游标尺（主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪）、游标卡尺上还有一个深度尺.（如图所示）
（2）用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径等.
（3）原理：利用主尺的单位刻度与游标尺的单位刻度之间固定的差值制成.
不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度的总长度少1 mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格如表所示：
刻度格数 （分度） 刻度 总长度 每小格与 1 mm的差值 精确度 （可精确到）
10 9 mm 0.1 mm 0.1 mm
20 19 mm 0.05 mm 0.05 mm
50 49 mm 0.02 mm 0.02 mm
（4）读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出的与主尺上某一刻度线对齐的格数，则记录结果表示为（x＋K×精确度）mm.
　深化3　　常用电表的读数
对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可.
（1）0～3 V的电压表和0～3 A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是0.1 V和0.1 A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位.
（2）对于0～15 V量程的电压表，精确度是0.5 V，在读数时只要求读到小数点后面一位，这时要求“格估读”，即读到0.1 V.
（3）对于0～0.6 A量程的电流表，精确度是0.02 A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半0.01 A.
注意：（1）最小分度是“1、0.1、0.01、…”时，估读到最小分度的（即估读到最小分度的下一位）.
（2）最小分度是“2、0.2、0.02、…”时，估读到最小分度的（即估读到最小分度的本位）.
（3）最小分度是“5、0.5、0.05、…”时，估读到最小分度的（即估读到最小分度的本位）.
角度1　螺旋测微器读数
例1　螺旋测微器是测量金属丝直径的常用工具，请读出图甲、乙、丙、丁图中各自的读数.
甲图：　　 mm；乙图：　　 mm；
丙图：　　 mm；丁图：　　 mm.
答案：0.740（0.739～0.741均正确）　3.695（3.694～3.696均正确）　2.150（2.149～2.151均正确）　0.045（0.044～0.047均正确）
解析：甲图：螺旋测微器的固定刻度读数为0.5 mm，可动刻度读数为24.0×0.01 mm＝0.240 mm，所以最终读数为0.5 mm＋0.240 mm＝0.740 mm.
乙图：螺旋测微器的固定刻度读数为3.5 mm，可动刻度读数为19.5×0.01 mm＝0.195 mm，所以最终读数为3.5 mm＋0.195 mm＝3.695 mm.
丙图：螺旋测微器的固定刻度读数为2.0 mm，可动刻度读数为15.0×0.01 mm＝0.150 mm，所以最终读数为2.0 mm＋0.150 mm＝2.150 mm.
丁图：螺旋测微器的固定刻度读数为0 mm，可动刻度读数为4.5×0.01 mm＝0.045 mm，所以最终读数为0 mm＋0.045 mm＝0.045 mm.
角度2　游标卡尺的读数
例2　如图所示的三把游标卡尺甲、乙、丙，它们的游标尺从上至下分别为9 mm长10等分、19 mm长20等分、49 mm长50等分，它们的读数依次为　　 mm，　　 mm，　　 mm.
答案：17.7　23.85　3.18
解析：题图甲游标卡尺：主尺读数为17 mm，游标尺读数为7×0.1 mm＝0.7 mm，最后结果是17 mm＋0.7 mm＝17.7 mm.
题图乙游标卡尺：主尺读数为23 mm，游标尺读数为17×0.05 mm＝0.85 mm，最后结果是23 mm＋0.85 mm＝23.85 mm.
题图丙游标卡尺：主尺读数为3 mm，游标尺读数为9×0.02 mm＝0.18 mm，最后结果是3 mm＋0.18 mm＝3.18 mm.
角度3　电压表、电流表读数
例3　电流表量程一般有两种——0～0.6 A，0～3 A；电压表量程一般有两种——0～3 V，0～15 V.如图所示：
（1）接0～3 V量程时读数为　　V.
（2）接0～15 V量程时读数为　　V.
（3）接0～3 A量程时读数为　　A.
（4）接0～0.6 A量程时读数为　　A.
答案：（1）1.88　（2）9.4　（3）0.80　（4）0.16
解析：（1）刻度盘上每一小格为0.1 V，读数为1.88 V.
（2）刻度盘上每一小格为0.5 V，读数为9.4 V.
（3）刻度盘上每一小格为0.1 A，读数为0.80 A.
（4）刻度盘上每一小格为0.02 A，读数为0.16 A.
角度4　电阻箱读数
例4　旋钮式电阻箱如图所示，电流从接线柱A流入，从接线柱B流出，则接入电路的电阻为　　 Ω.现欲将接入电路的电阻改为2 087 Ω，最简单的操作方法是　　.
答案：1 787　先将“×1 k”挡旋钮调到2，再将“×100”挡旋钮调到0
解析：电阻为1 787 Ω.最简单的操作方法是先将“×1 k”挡旋钮调到2，再将“×100”挡旋钮调到0.
二、测量电路和控制电路的选择
考题2　（2024·江苏卷）某同学在实验室测定金属块的电阻率，电路如图1所示，除被测金属块（如图2所示）外，还有如下实验器材可供选择：
A.直流电源：电动势约为3 V，内阻可忽略不计；
B.电流表A1：量程0～100 mA，内阻1 Ω；
C.电流表A2：量程0～10 mA，内阻4 Ω；
D.电压表V：量程0～3 V，内阻约3 kΩ；
E.滑动变阻器R1：0～10 Ω；
F.滑动变阻器R2：0～50 Ω；
G.开关、导线等.
（1）用多用电表欧姆挡粗测金属块电阻，测得A、B端电阻RAB＝4 Ω，测C、D端电阻时如图3所示，则RCD＝　　Ω.
（2）测CD间电阻时滑动变阻器应选　　.
（3）实物连线如图4所示，连错了的部分是　　.
（4）连通电路时，滑动变阻器滑片应置于最　　端（填“左”或“右”）.
（5）实验中测量AB间电阻时选用电流表A1，测量CD间电阻时选用电流表A2，经过一系列测量后得到ρAB和ρCD.
ρAB ρCD
1.02 1.06
小明认为由AB间测得的电阻计算电阻率更准确，因为测AB间电阻时所用电流表A1的内阻小，你认为小明的说法是否正确，说明你的理由.　　　　　.
答案：（1）320　（2）F　（3）②　（4）右　
（5）不正确，理由见解析
解析：（1）由题图3知，RCD＝3.2×100 Ω＝320 Ω.
（2）由题图1知，滑动变阻器采用限流式接法，为减小实验误差，即测量电流与电压变化范围大些，则滑动变阻器应选用最大阻值与RCD相差较小的R2，即选F.
（3）由题图1知，电压表测量电流表和金属块两端的电压，②部分连接错误.
（4）连通电路时，为保护电路，滑动变阻器接入电路的阻值应最大，滑片应置于最右端.
（5）不正确.＝4，＝80，CD间电阻与电流表A2内阻相差较大，电压表测量值更接近CD两端电压，由CD间测得的电阻计算电阻率更准确.
考题3　（2022·全国乙卷）一同学探究阻值约为550 Ω的待测电阻Rx在0～5 mA范围内的伏安特性.可用器材有：电压表（量程为3 V，内阻很大），电流表（量程为1 mA，内阻为300 Ω），电源E（电动势约为4 V，内阻不计），滑动变阻器R（最大阻值可选10 Ω或1.5 kΩ），定值电阻R0（阻值可选75 Ω或150 Ω），开关S，导线若干.
（1）要求通过Rx的电流可在0～5 mA范围内连续可调，将如图（a）所示的器材符号连线，画出实验电路的原理图.
（2）实验时，图（a）中的R应选最大阻值为　　（填“10 Ω”或“1.5 kΩ”）的滑动变阻器，R0应选阻值为　　（填“75 Ω”或“150 Ω”）的定值电阻.
（3）测量多组数据可得Rx的伏安特性曲线.若在某次测量中，电压表、电流表的示数分别如图（b）和图（c）所示，则此时Rx两端的电压为　　 V，流过Rx的电流为　　 mA，此组数据得到的Rx的阻值为　　 Ω（保留3位有效数字）.
答案：（1）见解析图　（2）10 Ω　75 Ω　（3）2.30　4.20　548
解析：（1）要求通过Rx的电流可在0～5 mA范围内连续可调，则应用滑动变阻器的分压式接法；电流表的量程为1 mA，需测到5 mA，则要对电流表改装，与其并联一个电阻R0；电压表的内阻很大，则电流表采用外接法.电路图如图所示.
（2）滑动变阻器采用分压式接法，R应选最大阻值为10 Ω的滑动变阻器；电流表量程1 mA改装为量程5 mA，则R0＝＝＝75 Ω，故R0应选阻值为75 Ω的定值电阻.
（3）电压表的分度值为0.1 V，读数时需估读到分度值的下一位，读数为2.30 V，电流表的分度值为0.02 mA，此时示数为0.84 mA，考虑到改装关系，流过Rx的电流为5×0.84 mA＝4.20 mA，由R＝，解得Rx≈548 Ω.
　深化1　　电流表的内、外接法
项目 内接法 外接法
电路图
误差 原因 电流表分压 U测＝Ux＋UA 电压表分流 I测＝Ix＋IV
电阻测 量值 R测＝＝Rx＋RA＞Rx 测量值大于真实值 R测＝＝＜Rx 测量值小于真实值
适用于 测量 大阻值电阻 小阻值电阻
两种接 法选择 标准 当RA Rx或Rx＞时，选用电流表内接法 当RV Rx或Rx＜时，选用电流表外接法
　深化2　　滑动变阻器两种连接方式
（1）两种连接方式对比
项目 限流接法 分压接法 对比说明
电路图 串、并联关系不同
负载R上电压调节范围（不计电源内阻） ≤U≤E 0≤U≤E 分压电路调节范围大
闭合S前触头位置 b端 a端 都是为了保护电路元件
（2）滑动变阻器两种接法的选择
滑动变阻器的最大阻值和用电器的阻值差不多且不要求电压从零开始变化，通常情况下，由于限流式接法结构简单、耗能少，优先使用限流式接法.
滑动变阻器必须接成分压电路的几种情况：
①要求电压表能从零开始读数，要求电压（电流）测量范围尽可能大.
②当待测电阻Rx R（滑动变阻器的最大阻值）时（限流式接法滑动变阻器几乎不起作用）.
③若采用限流式接法，电路中的最小电流仍超过电路中电表、电阻允许的最大电流.
　深化3　　实验器材选择的技巧
（1）电压表、电流表：不超过量程，且要超过满偏刻度的.有时也可以从测量数据来确定选择的电表.
（2）滑动变阻器：分压式接法选阻值小的且不超过其额定电流的滑动变阻器，限流式接法选最大阻值为待测电阻2～3倍的滑动变阻器.电流表半偏法测电阻，滑动变阻器选阻值大的.
（3）定值电阻：若用于电表改装，阻值与改装后的量程匹配，若用于保护电路，应使电流表、电压表读数在满偏刻度的以上且不超过电流表、电压表量程.
　深化4　　实物图连接的注意事项
（1）画线连接各元件，一般先从电源正极开始，按照电路原理图依次到开关，再到滑动变阻器，按顺序以单线连接方式将主电路中串联的元件依次串联起来，再将要并联的元件并联到电路中去.
（2）连线时要将导线接在接线柱上，两条导线不能交叉.
（3）要注意电表的量程和正、负接线柱，要使电流从电表的正接线柱流入，从负接线柱流出.
（4）滑动变阻器的接法：限流法，导线分别连接到上、下各一个接线柱上（共两个接线柱）；分压法，导线分别连接到上边一个接线柱和下边两个接线柱上（一上两下共三个接线柱）.
　深化5　　实验误差分析
（1）系统误差
①伏安法测电阻系统误差来源：电压表的分流或电流表的分压.
②减小系统误差
根据题目中给出的电阻大约值，选用合适的实验器材，采用误差小的实验方案（如电流表的内、外接法）.
③消除系统误差
题目给定的条件充分（电表内阻已知），合理设计电路可消除系统误差.
（2）偶然误差
①电压表、电流表、多用电表、毫米刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器等读数误差.
②描点、计算等对数据处理造成的误差.
③通过多次测量取平均值或图像法可以减小偶然误差.
角度1　电流表的两种接法
例5　某实验小组同学要测量阻值约为350 Ω的定值电阻Rx，现备有下列器材：
A.电流表A（量程为10 mA，内阻约为100 Ω）；
B.电压表V（量程为3 V，内阻约为3 kΩ）；
C.滑动变阻器R1（阻值范围为0～10 Ω，额定电流为2 A）；
D.定值电阻R2（阻值为750 Ω）；
E.直流电源E（电动势为4.5 V，内阻不计）；
F.开关S和导线若干.
（1）实验小组设计了如图甲、乙所示的两种测量电路，电阻的测量值可由Rx＝计算得出.式中U与I分别为电压表和电流表的读数，则图　　（填“甲”或“乙”）所示电路的测量值更接近待测电阻的真实值.
（2）若采用（1）中所选电路进行测量，得到电压表和电流表的示数如图丙所示，则由此组数据可得待测电阻的测量值Rx＝　　 Ω，若所用电压表和电流表的内阻分别按3 kΩ和100 Ω进行计算，则由此可得待测电阻的真实值R真＝　　Ω（计算结果均保留3位有效数字）.
答案：（1）乙　（2）300　333
解析：（1）由于≈＝8.57＞＝＝3.5，可知电流表分压更明显，故采用电流表外接法，则题图乙所示的电路测量更准确，测量值更接近待测电阻的真实值.
（2）根据读数规律可知，电压表的示数U＝1.80 V
电流表的示数为I＝6.0 mA
根据欧姆定律可得待测电阻的阻值为
Rx＝＝ Ω＝300 Ω
电路误差在于电压表的分流，则
R真＝＝ Ω＝333 Ω.
角度2　滑动变阻器的两种接法
例6　（2025·北京西城高三模拟）物理实验一般都涉及实验目的、实验原理、实验仪器、实验方法、实验操作、数据分析等.图中A、B两端之间电压恒为U，灯泡L的电阻恒为R1，滑动变阻器R的最大阻值为R2，在保证安全的情况下，为使灯泡两端电压的变化范围尽量大，应选择　　（选填“甲”“乙”或“丙”）电路，灯泡两端电压最大变化范围是　　.
答案：乙　0～U
解析：在保证安全的情况下，为使灯泡两端电压的变化范围尽量大，滑动变阻器应采用分压式接法，故应选择乙电路；根据乙图知，灯泡两端电压最大变化范围是0～U.
角度3　实验器材的选择
例7　某同学要测量一新材料制成的均匀圆柱体的电阻（圆柱体的电阻约为6 Ω）：
为精确测量其电阻，并且待测电阻的电压从零开始可以连续调节，除待测圆柱体外，实验室还备有的实验器材如下，为了测多组实验数据.
（1）电压表应选　　；电流表应选　　；滑动变阻器应选 　　（填写器材前对应的序号字母）.
A.电压表V1（量程3 V，内阻约为15 kΩ）
B.电压表V2（量程15 V，内阻约为75 kΩ）
C.电流表A1（量程0.6 A，内阻约为1 Ω）
D.电流表A2（量程3 A，内阻约为0.2 Ω）
E.滑动变阻器R1（0～5 Ω，0.6 A）
F.滑动变阻器R2（0～2 000 Ω，0.1 A）
G.1.5 V的干电池两节，内阻不计
H.开关S，导线若干
（2）请设计合理的实验电路，将电路图完整地画在图虚线框中，并把实物图连接完整.
答案：（1）A　C　E　（2）电路图见解析图甲　实物图见解析图乙
解析：（1）电源电动势为1.5 V，则电压表应选A；电路可能出现的最大电流为 A＝0.25 A，则电流表应选C；待测电阻的电压从零开始可以连续调节，则滑动变阻器应接成分压电路，则应该选择阻值较小的E.
（2）因RV Rx，则应该采用电流表外接电路；合理的实验电路如图甲所示，实物图连接如图乙所示.
限时跟踪检测（四十一）　电学实验基础
A级·基础对点练
题组一　常用仪器的使用及读数
1.用游标卡尺测一工件外径时的示数如图甲所示，读数为　　cm；用螺旋测微器测一圆形工件直径时的示数如图乙所示，读数为　　mm.
　　
答案：1.045　4.600
解析：题图甲中的读数为10 mm＋0.05×9 mm＝10.45 mm＝1.045 cm；题图乙中的读数为4.5 mm＋0.01×10.0 mm＝4.600 mm.
2.如图甲所示为某次测量时电压表的刻度盘的情形，若当时使用的是该表0～3 V的量程，那么电压表读数为　　V；若当时使用的是该表0～15 V的量程，那么电压表读数应为　　V.如图乙所示的电阻箱的读数为　　Ω.
答案：1.18（1.17～1.19均可）　5.8（5.7～5.9均可）　84 580.2
解析：电压表0～3 V量程对应的分度值是0.1 V，读数时要估读到分度值的下一位，所以读数为1.18 V（由于最后一位是估读的，有偶然误差，所以1.17～1.19 V均可）.电压表0～15 V量程对应的分度值为0.5 V，只要求读到0.1 V这一位，所以读数为5.8 V（5.7～5.9 V均可）.题图乙中的电阻箱有6个旋钮，每个旋钮上方都标有倍率，将每个旋钮上指针所指的数值（都为整数）乘各自的倍率，从最高位依次往下读，即可得到电阻箱的读数为84 580.2 Ω.
题组二　测量电路和控制电路的选择
3.某同学用伏安法测量一阻值为几十欧姆的电阻Rx，所用电压表的内阻为1 kΩ，电流表内阻为0.5 Ω.该同学采用两种测量方案，一种是将电压表跨接在如图（a）所示电路的O、P两点之间，另一种是跨接在O、Q两点之间.测量得到如图（b）所示的两条U－I图线，其中U与I分别为电压表和电流表的示数.
回答下列问题：
（1）图（b）中标记为Ⅱ的图线是采用电压表跨接在　　　（填“O、P”或“O、Q”）两点的方案测量得到的.
（2）根据所用实验器材和图（b）可判断，由图线　　　（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）得到的结果更接近待测电阻的真实值，结果为　　　Ω（保留1位小数）.
（3）考虑到实验中电表内阻的影响，需对（2）中得到的结果进行修正，修正后待测电阻的阻值为　　　Ω（保留1位小数）.
答案：（1）O、P　（2）Ⅰ　50.5　（3）50.0
解析：（1）若电压表跨接在O、P之间时，由于电压表的分流作用使得电流的测量值偏大，由Rx＝知，Rx的测量值偏小；若电压表跨接在O、Q之间时，由于电流表的分压作用使得电压的测量值偏大，由Rx＝知，Rx的测量值偏大.由于标记为Ⅱ的图线斜率较小，则标记为Ⅱ的Rx测量值偏小，即标记为Ⅱ的图线是采用电压表跨接在O、P两点的方案测量得到的.
（2）电压表的内阻为1 kΩ，电流表的内阻为0.5 Ω，Rx约为50 Ω，由于Rx＞，则电流表采用内接法，故图线 Ⅰ 得到的结果更接近真实值；结果为Rx＝＝＝50.5 Ω.
（3）实验实际测量的是电流表与被测电阻串联的总电阻，则Rx＝R'x＋RA，解得修正后待测电阻的阻值为R'x＝50.0 Ω.
4.（2025·福建福州质检）某同学要测量一新材料制成的均匀圆柱体的电阻（圆柱体的电阻约为6 Ω）.
（1）如图甲所示，用螺旋测微器测圆柱体的直径，读数为　　mm.
甲
（2）除待测圆柱体外，实验室还备有如下实验器材，实验过程要求电阻两端电压能够从零开始调节，电压表应选　　，电流表应选　　，滑动变阻器应选　　.（填写器材前对应的字母）
A.电压表V1（量程0～3 V，内阻约为15 kΩ）
B.电压表V2（量程0～15 V，内阻约为75 kΩ）
C.电流表A1（量程0～0.6 A，内阻约为1 Ω）
D.电流表A2（量程0～3 A，内阻约为0.2 Ω）
E.滑动变阻器R1（0～5 Ω，2 A）
F.滑动变阻器R2（0～2 000 Ω，0.1 A）
G.电源E（电动势为4 V，内阻不计）
H.开关S，导线若干
（3）请用笔画线代替导线将图乙中所给的实物器材连线补充完整.
乙
答案：（1）5.021　（2）A　C　E　（3）如图所示
解析：（1）螺旋测微器的读数：固定刻度读数（mm）＋可动刻度读数（估读一位）×0.01（mm），由题图甲知，圆柱体的直径为5 mm＋2.1×0.01 mm＝5.021 mm.
（2）电源电动势为4 V，则电压表应选A；电路中可能出现的最大电流I＝ A≈0.67 A，则电流表应选C；待测电阻两端电压从0开始调节，则滑动变阻器应选用分压式接法，应该选择阻值较小的E.
（3）RV Rx，则应该采用电流表外接法，滑动变阻器选用分压式接法，实物图连接如答案图所示.
B级·能力提升练
5.（2025·浙江强基联盟高三联考）小刚要测量某水库内水的电阻率，用圆柱形容器装入水样品，已知圆柱形容器内部长度为l，内部直径为d.
（1）小刚先用多用电表欧姆挡的“×100”倍率粗测待测样品的电阻，示数如图1所示，可知样品的电阻值为R＝　　kΩ.
（2）为更精确地测量样品的电阻，同时有尽可能大的测量范围，该小组打算用以下器材完成伏安法测样品电阻：
A.电流表（量程3 mA，电阻约为30 Ω）
B.电压表（量程6 V，电阻约为20 kΩ）
C.滑动变阻器（0～20 Ω，额定电流1 A）
D.电源（6 V，内阻约为1 Ω）
E.开关一只、导线若干
请用笔画线代替导线，把图2中测量纯净水样品电阻的电路补充完整.
（3）如果测得电流表示数为I，电压表示数为U，都采用国际单位制单位，则它的电阻率ρ＝　　（用l、d、I、U表示）.
答案：（1）2.2　（2）见解析图　（3）
解析：（1）样品的电阻值为R＝22×100 Ω＝2.2 kΩ.
（2）因＞，可知应该采用电流表内接法，滑动变阻器接成分压电路，电路如图所示.
（3）根据R＝＝ρ＝ρ
解得ρ＝.
实验九　导体电阻率的测量
素养目标　1.熟悉“金属丝电阻率的测量”的基本原理及注意事项. 2.掌握测电阻率的电路图及误差分析. 3.学会替换和改装电表进行实验. 4.会利用电学实验知识探究创新实验方案.
一、教材原型实验
考题1　（2024·山东卷）某学习小组对两种型号铅笔芯的电阻率进行测量.实验器材如下：
学生电源（输出电压0～16 V）；
滑动变阻器（最大阻值10 Ω，额定电流2 A）；
电压表V（量程3 V，内阻未知）；
电流表A（量程3 A，内阻未知）；
待测铅笔芯R（X型号、Y型号）；
游标卡尺，螺旋测微器，开关S，单刀双掷开关K，导线若干.
回答下列问题：
（1）使用螺旋测微器测量铅笔芯直径，某次测量结果如图甲所示，该读数为　　mm.
（2）把待测铅笔芯接入图乙所示电路，闭合开关S后，将滑动变阻器滑片由最右端向左调节到合适位置，将单刀双掷开关K分别掷到1、2端，观察到电压表示数变化比电流表示数变化更明显，则测量铅笔芯电阻时应将K掷到　　（填“1”或“2”）端.
（3）正确连接电路，得到Y型号铅笔芯I－U图像如图丙所示，求得电阻RY＝　　Ω（保留3位有效数字）；采用同样方法得到X型号铅笔芯的电阻为1.70 Ω.
（4）使用游标卡尺测得X、Y型号铅笔芯的长度分别为40.68 mm、60.78 mm，使用螺旋测微器测得X、Y型号铅笔芯直径近似相等，则X型号铅笔芯的电阻率　　（填“大于”或“小于”）Y型号铅笔芯的电阻率.
答案：（1）2.450　（2）1　（3）1.92　（4）大于
解析：（1）由题图甲知，铅笔芯直径为d＝2 mm＋45.0×0.01 m＝2.450 mm.
（2）开关K接1时电流表为外接法，接2时电流表为内接法，开关K由1掷到2，电压表示数比电流表示数变化更明显，则待测铅笔芯的电阻与电流表的内阻相差较小，电流表分压较多，故电流表应采用外接法，故测量铅笔芯时应将K掷到1.
（3）由题图丙得RY＝＝1.92 Ω.
（4）由R＝ρ得，电阻率ρ＝，则＝·≈1.32＞1，故X型号铅笔芯的电阻率大于Y型号铅笔芯的电阻率.
1.实验原理（如图所示）
由R＝ρ得ρ＝＝，因此，只要测出金属丝的　长度l　、　直径d　和金属丝的电阻R，即可求出金属丝的电阻率ρ.
2.实验器材
被测金属丝，直流电源（4 V），电流表（0～0.6 A），电压表（0～3 V），滑动变阻器（0～50 Ω），开关，导线若干，　螺旋测微器　，毫米刻度尺.
3.实验过程
（1）用螺旋测微器在被测金属丝上的三个不同位置各测一次直径，求出其平均值d.
（2）连接好用伏安法测电阻的实验电路.
（3）用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属丝的有效长度，反复测量多次，求出其平均值l.
（4）把滑动变阻器的滑片调到最　左　（填“左”或“右”）端.
（5）闭合开关，改变滑动变阻器滑片的位置，读出几组相应的电流表、电压表的示数I和U的值，填入记录表格内.
（6）将测得的R、l、d值，代入公式ρ＝中，计算出金属丝的电阻率.
4.求R的平均值时可用两种方法
（1）用R＝分别算出各次的数值，再取平均值.
（2）用U－I图线的斜率求出.
5.注意事项
（1）本实验中被测金属丝的电阻值较小，因此实验电路一般采用电流表　外接　法.
（2）测量被测金属丝的有效长度，是指测量被测金属丝接入电路的两个端点之间的长度，即电压表两端点间的被测金属丝长度，测量时应将金属丝拉直，反复测量多次，求其平均值.
（3）测金属丝直径一定要选三个不同部位进行测量，求其平均值.
（4）在用伏安法测电阻时，通过被测金属丝的电流不宜过大（电流表用0～0.6 A量程），通电时间不宜过长，以免金属丝的温度明显升高，造成其电阻率在实验过程中逐渐增大.
（5）若采用图像法求电阻阻值的平均值，在描点时，要尽量使各点间的距离拉大一些，连线时要尽可能地通过较多的点，不在直线上的点均匀分布在直线的两侧，个别明显偏离较远的点应舍去.
6.误差分析
（1）金属丝直径、长度的测量、读数等人为因素带来误差.
（2）测量电路中电流表及电压表对电阻测量的影响，因为电流表外接，所以R测＜R真，由R＝ρ，知ρ测＜ρ真.
（3）通电电流过大、时间过长，致使金属丝发热，电阻率随之变化带来误差.
例1　（2025·广西桂林高三校考）某同学欲测量一阻值大约为10 Ω、粗细均匀的金属线的电阻率.实验室除游标卡尺，螺旋测微器、导线和开关外，还有以下器材可供选择：
A.电源（电动势E＝6.0 V，内阻约1 Ω）
B.电压表V（量程为0～6 V，内阻约8 kΩ）
C.电流表A1（量程0～0.6 A，内阻约0.2 Ω）
D.电流表A2（量程0～3 A，内阻约0.05 Ω）
E.滑动变阻器R0（最大阻值5 Ω，额定电流2 A）
（1）用游标卡尺测得该材料的长度如图甲所示，读数为L＝　　 mm；用螺旋测微器测得该材料的直径如图乙所示，读数为D＝　　 mm.
（2）测量金属线的电阻时，为了便于调节及测量尽可能准确，实验中电流表应选　　（填所选仪器前的字母符号）；选择合适的实验器材，在图丙方框内把实验原理图补充完整，把器材符号标在电路图上.
（3）设测得金属线的电阻为R，金属线的长度为L，金属线的直径为D，可得金属线的电阻率为ρ＝　　（用R、L、D三个物理量表示）.
答案：（1）60.20　0.732　（2）C　见解析图　（3）
解析：（1）题中所示游标卡尺分度值为0.05 mm，读数为60 mm＋4×0.05 mm＝60.20 mm，螺旋测微器的分度值为0.01 mm，读数为D＝0.5 mm＋23.2×0.01 mm＝0.732 mm.
（2）待测电阻的最大电流Imax＝＝0.6 A，因此电流表选择A1，即选C，滑动变阻器阻值较小，用分压式接法，比较待测电阻与电压表内阻和电流表内阻，可以得到R＜，R是小电阻，电流表采用外接法，电路图如图所示.
（3）根据电阻定律R＝ρ＝ρ，解得ρ＝.
　训练1　（2025·浙江杭州模拟）小明同学猜想影响导体电阻的因素可能有导体的长度、横截面积及材料等.为论证自己的猜想并定量研究导体电阻与相关因素的关系，找来如图甲所示仪器.图中电表内阻对电路的影响不计；木板上固定了AB、BC、CD、DE四段金属丝，AB、BC、CD三段为镍铬合金丝，DE段为铁丝.AB、BC段相比，横截面积相同，长度之比为1∶2；BC、CD段相比，长度相同，横截面积之比为1∶2；BC、DE段相比，除材料不同，长度、横截面积均相同.
（1）若要研究导体电阻是否与横截面积有关，须选择　　和　　（均选填“AB”“BC”“CD”或“DE”）两段金属丝研究.
（2）现已完成部分电路连接，若要用电压表测量BC段金属丝两端电压，在图甲中画出曲线代替导线完成电路图连接.
（3）完成上述实验之后，该同学进一步测量了镍铬合金丝的电阻率.先用游标卡尺测量BC段金属丝的直径D，如图乙所示，则直径D＝　　 mm.
（4）完成上述步骤之后，将电压表一端接在B点，另一端接在BC段金属丝的P点（图中未画出），测出电压U，同时测出PB之间的距离d，改变P点位置多次测量，获得一系列U、d数据并画出U－d图像，测算出图像的斜率为k.为测出镍铬合金丝的电阻率，你觉得还要测量的物理量是　　，计算电阻率的表达式为　　（用题中涉及的物理量和测量的物理量表示）.
答案：（1）BC　CD　（2）见解析图　（3）0.4　（4）电流I　
解析：（1）若要研究导体电阻是否与横截面积有关，须保证所选择的金属丝的横截面积不同而其他因素相同，故应选择BC和CD两段金属丝研究.
（2）曲线代替导线完成电路图连接如图所示.
（3）由题图乙可知，BC段金属丝的直径为D＝0＋4×0.1 mm＝0.4 mm.
（4）由电阻的决定式和定义式得R＝，R＝，结合题中所测量的物理量有S＝π（）2，k＝，可得ρ＝，可知还要测量的物理量是电流I.
　训练2　（2023·辽宁卷）导电漆是将金属粉末添加于特定树脂原料中制作而成的能导电的喷涂油漆.现有一根用导电漆制成的截面为正方形的细长样品（固态），某同学欲测量其电阻率，设计了如图（a）所示的电路图，实验步骤如下：
a.测得样品截面的边长a＝0.20 cm；
b.将平行排列的四根金属探针甲、乙、丙、丁与样品接触，其中甲、乙、丁位置固定，丙可在乙、丁间左右移动；
c.将丙调节至某位置，测量丙和某探针之间的距离L；
d.闭合开关S，调节电阻箱R的阻值，使电流表示数I＝0.40 A，读出相应的电压表示数U，断开开关S；
e.改变丙的位置，重复步骤c、d，测量多组L和U，作出U－L图像如图（b）所示，得到直线的斜率k.
回答下列问题：
（1）L是丙到　　（填“甲”“乙”或“丁”）的距离.
（2）写出电阻率的表达式ρ＝　　（用k、a、I表示）.
（3）根据图像计算出该样品的电阻率ρ＝　　Ω·m（保留2位有效数字）.
答案：（1）乙　（2）　（3）6.5×10－5
解析：（1）由于电压表测量的是乙、丙之间的电压，则L是丙到乙的距离.
（2）根据电阻定律有R＝ρ，由题知S＝a2，再根据欧姆定律有R＝，联立得U＝L，因U－L图像的斜率为k，即k＝，则ρ＝.
（3）根据图像可知k＝ V/m＝6.5 V/m，则根据（2）代入数据有ρ＝＝6.5×10－5 Ω·m.
二、探索创新实验
考题2　（2024·湖南卷）某实验小组要探究一金属丝的阻值随气压变化的规律，搭建了如图（a）所示的装置.电阻测量原理如图（b）所示，E是电源，为电压表，为电流表.
（1）保持玻璃管内压强为1个标准大气压，电流表示数为100 mA，电压表量程为3 V，表盘如图（c）所示，示数为　　 V，此时金属丝阻值的测量值R为　　 Ω（保留3位有效数字）.
（2）打开抽气泵，降低玻璃管内气压p，保持电流I不变，读出电压表示数U，计算出对应的金属丝阻值.
（3）根据测量数据绘制R－p关系图线，如图（d）所示.
（4）如果玻璃管内气压是0.5个标准大气压，保持电流为100 mA，电压表指针应该在图（c）指针位置的　　（填“左”或“右”）侧.
（5）若电压表是非理想电压表，则金属丝电阻的测量值　　（填“大于”“小于”或“等于”）真实值.
答案：（1）1.23（1.22～1.25均可）　12.3（12.2～12.5均可，要与上一空对应）　（4）右　（5）小于
解析：（1）由题图（c）可知，电压表的分度值为0.1 V，估读到0.01 V，则示数为1.23 V.此时金属丝阻值的测量值R＝＝＝12.3 Ω.
（4）由题图（d）可知，气压减小，金属丝的阻值R增大，电流不变，则电压U＝IR增大，指针向右偏.
（5）由于电压表分流，导致电流测量值偏大，则金属丝电阻的测量值偏小.
　深化　　电压表和电流表的灵活用法
（1）若电压表内阻已知，则可将其当作电流表、电压表以及定值电阻来使用.
（2）若电流表内阻已知，则可将其当作电流表、电压表以及定值电阻来使用.
例2　某兴趣小组测定某种由带状卷成圆盘状的导电物质的电阻率，如图甲所示.
（1）他们先用螺旋测微器测出单层带的厚度为d，这种物质表面镀了一层绝缘介质，其厚度不计，用游标卡尺测出带的宽度L、圆盘内径D1和外径D2，其中单层带厚度d远小于（D2－D1）.宽度L的读数如图乙所示，则宽度L＝　　mm.
（2）然后用伏安法测这根带的电阻，在带的两端引出两个接线柱，先用欧姆表粗测其电阻约为500 Ω，再将其接入测量电路.在实验室里他们找到了以下实验器材：
A.电源E（电动势为4 V，内阻约为0.5 Ω）
B.电压表V（量程为15 V，内阻约为5 000 Ω）
C.电流表A1（量程为300 mA，内阻约为2 Ω）
D.电流表A2（量程为250 mA，内阻为2 Ω）
E.滑动变阻器R1（总阻值为10 Ω）
F.滑动变阻器R2（总阻值为100 Ω）
G.定值电阻R0＝10 Ω
H.开关和导线若干
①要更好地调节和较为精确地测定其电阻，则以上不必要的器材有　　（填器材前面的序号）.
②在方框内画出实验电路图.
③若测出的电阻为R，则其电阻率为ρ＝　　（用d、D1、D2、L、R表示）.
答案：（1）9.9　（2）①BF　②见解析图　③
解析：（1）游标卡尺的读数为：9 mm＋9×0.1 mm＝9.9 mm.
（2）①由于电源电压为4 V，而电压表的量程为15 V，太大，不利于读数；滑动变阻器R2（总阻值为100 Ω）阻值偏大，不利于调节，产生误差较大.所以不必要的器材为B、F.
②将电流表A2与定值电阻R0串联改装成电压表，并将电流表A1外接，从而减小测量电流和电压的误差，同时采用滑动变阻器分压式接法，如图所示.
③若测出的电阻为R，则根据电阻定律可以得到：R＝ρ
整理可以得到：ρ＝.
限时跟踪检测（四十二）　导体电阻率的测量
A级·基础对点练
1.（2025·福建漳州质检）某同学测量一段阻值很小的金属丝电阻率.实验步骤如下：
（1）用螺旋测微器测量金属丝的直径d，结果如图甲所示，则读数d＝　　mm.
（2）用如图乙所示的电路来测量此段金属丝的电阻率，P是鳄鱼夹，用来调节金属丝接入电路的长度L；R0是定值电阻，其作用是　　.
（3）先将鳄鱼夹P置于金属丝的最　　（填“左”或“右”）端，闭合开关，改变P的位置，某次实验测得金属丝接入电路的长度L、电压表示数U和电流表示数I，则金属丝的电阻率ρ＝　　（用题中物理量符号表示）.
甲　乙
答案：（1）0.670　（2）保护电路　（3）左　
解析：（1）螺旋测微器的精度为0.01 mm，由题图甲可知，金属丝的直径为d＝0.5 mm＋17.0×0.01 mm＝0.670 mm.
（2）R0是定值电阻，其作用是保护电路.
（3）先将鳄鱼夹P置于金属丝的最左端，使得金属丝接入电路的阻值最大；闭合开关，改变P的位置，某次实验测得金属丝接入电路的长度L、电压表示数U和电流表示数I，则金属丝的电阻为R＝，根据电阻定律可得R＝ρ，又S＝，联立可得金属丝的电阻率为ρ＝.
2.（2025·湖北联考）某学习小组根据图1的电路连接器材来探究导体的电阻与其影响因素的定量关系.可供选择的器材如下：
电源E（电动势3 V，内阻未知）；
电流表A（量程为0.3 A，内阻未知）；
电压表V1（量程为3 V，内阻未知）；
电压表V2（量程为10 V，内阻未知）；
滑动变阻器R（最大阻值为30 Ω）.
实验时多次改变合金丝甲接入电路的长度L，调节滑动变阻器的阻值，使电压表的读数U达到某一相同值，并记录此时电流表的示数I，从而得到多个的值，作出－图像，如图3中的图线a所示.
图1　图2
图3
（1）本实验选用的电压表为　　　（填“V1”或“V2”）.
（2）在某次测量时，电流表的指针位置如图2所示，则读数I＝　　　A.
（3）已知合金丝甲的横截面积为S，图3中图线a的斜率为k、纵截距为d，则合金丝甲的电阻率ρ＝　　　，选用的电压表内阻RV＝　　　.（用已知物理量的字母表示）
（4）图3中图线b是另一根长度相同、横截面积相同的合金丝乙采用同样的方法获得的－图像，由图可知合金丝乙的电阻率　　　（填“大于”“等于”或“小于”）合金丝甲的电阻率.
答案：（1）V1　（2）0.160　（3）　　（4）小于
解析：（1）由于电源电动势只有3 V，所以本实验选用量程为3 V的电压表V1.
（2）根据电流表读数规则，读数I＝0.160 A.
（3）对题图1电路，由欧姆定律有I＝＋，Rx＝，化简变化为与－的关系图线相符合的函数关系式为＝＋·，由k＝，d＝得合金丝甲的电阻率ρ＝，电压表内阻RV＝.
（4）由于图线b的斜率大于图线a的斜率，所以合金丝乙的电阻率小于合金丝甲的电阻率.
3.某同学在实验室看见一个损坏的滑动变阻器，如图（a）所示，于是想测量绕制滑动变阻器的电阻丝的电阻率ρ.
（1）该同学首先截取了一段长为L＝100.00 cm的电阻丝，用螺旋测微器测量电阻丝不同位置的直径，某次测量的示数如图（b）所示，该读数为D＝　　mm.多次测量后，得到直径的平均值恰好与D相等.
（2）然后将所截取的电阻丝绕制在一个玻璃管上，接入如图（c）所示的实验电路，电阻箱的示数为5 Ω，电路连接无误.如图（c）所示，闭合开关前，应将滑动变阻器的滑片移至最　　端.
（3）闭合开关，调节滑动变阻器，读取电压表的示数U和电流表的示数I，得到多组测量数据，用EXCEL处理数据得到U－I图像如图（d）所示，则这段电阻丝的电阻Rx＝　　Ω（结果保留2位有效数字）.
（4）最后可由表达式ρ＝　　（用D、L、Rx、π表示）得到电阻丝的电阻率.根据计算结果可知，绕制滑动变阻器的电阻丝的材料最可能是下列材料中的　　.
几种导体材料在20 ℃时的电阻率
材料 ρ/（Ω·m）
铝 2.9×10－8
铁 1.0×10－7
镍铜合金（54％铜，46％镍） 5.0×10－7
镍铬合金（67.5％镍，15％铬， 16％铁，1.5％锰） 1.0×10－6
答案：（1）0.500　（2）左　（3）2.8　（4）　镍铜合金
解析：（1）如题图（b）所示，螺旋测微器测量电阻丝直径读数为D＝0 mm＋50.0×0.01 mm＝0.500 mm.
（2）为保护实验仪器，闭合开关前，应将滑动变阻器的滑片移至最左端，使电阻丝两端电压最小是零.
（3）由U－I图像的斜率表示被测电阻的电阻值可得Rx＋R＝＝ Ω＝7.8 Ω，电阻丝的电阻Rx＝7.8 Ω－5 Ω＝2.8 Ω.
（4）由电阻定律R＝ρ可得，电阻丝的电阻率表达式ρ＝＝＝，由电阻率表达式ρ＝，代入数据解得ρ＝5.5×10－7 Ω·m，可知绕制滑动变阻器的电阻丝的材料最可能是镍铜合金.
B级·能力提升练
4.（2025·清远教学质量检测）电导率等于电阻率的倒数，是评估水的纯度和导电性的常用指标.某实验小组把北江水注满如图甲所示的粗细均匀的圆玻璃管中，测量北江水的电导率.
（1）用游标卡尺测量玻璃管中水柱的直径，应使用如图乙所示游标卡尺的　　（填“A”“B”“C”或“D”）部件测量，测得示数如图丙所示，读数为　　cm.
（2）实验小组用伏安法测量玻璃管中水柱的电阻，因找不到合适量程的电流表，用多用电表的5 mA挡（内阻约10 Ω）作电流表使用，其他所用实验器材有：
电源（电动势为3 V，内阻可忽略）；
电压表V（量程为3 V，内阻约为3 kΩ）；
滑动变阻器R最大阻值为50 Ω；导线若干等.
①该实验小组已完成的实验电路如图丁所示的连线，分析后发现还缺少两条导线的连接，请完成实物图的连线.
②开关闭合前，滑动变阻器滑片应置于　　（填“左”或“右”）端.
③在某次测量时，多用电表的5 mA挡读数如图戊所示，其读数为　　mA，利用图丁实验，多次测量得到电压表读数与电流表读数之间存在的变化关系如图己所示，已知玻璃管中水柱长度测量为31.40 cm，则北江水的电导率约为　　（Ω·m）－1（结果保留2位有效数字）.
④实验中由于电流表的连接方式会导致实验中电导率的结果　　（填“偏大”“偏小”或“不变”）.
答案：（1）B　10.010　（2）①如图所示　②左　③2.40　0.10　④偏小
解析：（1）测量玻璃管中水柱的直径即玻璃管内径，应使用游标卡尺的内测量爪，故选B.该游标卡尺为20分度的，精度为0.05 mm，读数为d＝100 mm＋2×0.05 mm＝100.10 mm＝10.010 cm.
（2）①②由题意知，RA≈10 Ω，RV≈3 000 Ω，待测电阻阻值R＝ Ω＝400 Ω，由于R2＞RARV，电流表应采用内接法，另本实验要求测量多组数据，应使电压或电流变化范围尽可能大，故滑动变阻器应采用分压式接法，实物图的连接如答案图所示，因滑动变阻器采用的是分压式接法，为保护负载，本图中开关闭合前，滑动变阻器滑片应置于左端.
③该电流表表盘上每小格表示0.1 mA，故其读数为2.40 mA；北江水的电导率计算如下：σ＝，ρ＝R，R＝，S＝π＝，联立各式，求得σ＝，其中d＝10.010 cm＝0.100 10 m，l＝31.40 cm＝0.314 m，＝400 Ω，将以上数据代入，得σ＝0.10 （Ω·m）－1.
④水的电阻率为ρ＝，电流表采用内接法，使得电阻的测量值偏大，即的测量值偏小，故电导率的测量值偏小.
5.（2025·湖北模拟）某同学要测量一段特制的圆柱形导体材料的电阻率ρ，同时测电源的内阻r，实验室提供了如下器材：
A.待测的圆柱形导体Rx（阻值未知）
B.螺旋测微器
C.游标卡尺
D.电流表A（内阻很小）
E.电阻箱R
F.待测电源
G.开关S、开关K，导线若干
甲
（1）他用螺旋测微器测量该导体的直径D，结果

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