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第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
第1讲　运动的描述
常设情境　①生活实践类：安全行车、交通运输、体育运动.如汽车刹车、高铁运行、田径比赛等.
②学习探索类：伽利略对自由落体运动的研究、速度的测量、加速度的测量、追及与相遇问题.
素养目标　1.知道将物体抽象为质点的条件，能将特定实际情境中的物体抽象成质点.（物理观念） 2.理解位移、速度和加速度.（物理观念） 3.构建理想化物理模型——质点.（科学思维）
@一、质点、参考系和位移
一、质点、参考系和位移
考题1　（2022·辽宁卷）如图所示，桥式起重机主要由可移动“桥架”、“小车”和固定“轨道”三部分组成.在某次作业中，桥架沿轨道单向移动了8 m，小车在桥架上单向移动了6 m，该次作业中小车相对地面的位移大小为（　C　）
A.6 m B.8 m C.10 m D.14 m
解析：设桥架沿轨道单向移动的距离为x1，小车在桥架上单向移动的距离为x2.由题可得，桥架沿轨道单向移动了8 m，小车在桥架上单向移动了6 m，故小车相对地面的位移大小x＝＝10 m.C正确.
1.参考系
（1）定义：在描述物体运动时，用来做　参考　的物体.
（2）选取：除研究对象自身外可任意选取，但对同一物体的运动，所选的参考系不同，运动的描述可能会　不同　，通常以　地面　为参考系.
2.质点
（1）定义：用来代替物体的有　质量　的点.
（2）把物体看作质点的条件：物体的　大小　和　形状　对研究问题的影响可以忽略不计.
3.位移和路程
（1）位移描述物体　位置的变化　，用从初位置指向末位置的　有向线段　表示，是矢量.
（2）路程是物体运动　轨迹　的长度，是标量.
（3）大小关系：在单向直线运动中，位移的大小　等于　路程；在其他情况下，位移的大小　小于　路程.
深化1　　对质点的理解
科学抽象 质点是对实际物体的科学抽象，是一种理想化的模型，真正的质点是不存在的
可看作质 点的条件 一个物体能否被看作质点，并非以物体自身大小来判断，而是要看物体的大小、形状在所讨论的问题中是主要因素还是次要因素，若是次要因素，即使物体很大，也能看作质点，相反，若是主要因素，即使物体很小，也不能看作质点
质点与几 何“点” 质点是对实际物体进行科学抽象的模型，有质量，只是忽略了物体的大小和形状；几何中的“点”仅仅表示空间中的某一位置
深化2　　对参考系的理解
标准性 不管物体是运动还是静止，一旦被选为参考系，物体就被看作是静止的
相对性 被研究的物体是运动还是静止的，都是相对于参考系而言的
任意性 参考系的选取是任意的，一般以地面为参考系
差异性 同一物体的运动，相对于不同的参考系一般是不同的
同一性 比较多个物体的运动或同一个物体在不同阶段的运动时，必须选择同一参考系
深化3　　位移与路程的两点区别
（1）决定因素不同：位移由初、末位置决定，路程由实际的运动路径决定.
（2）运算法则不同：位移应用矢量的平行四边形定则运算，路程应用标量的算数法则运算.
思维模型　能够构建质点模型研究物体的运动.
角度1　质点的理解
例1　下列说法正确的是（　B　）
　　　
　　　
A.研究甲图中排球运动员扣球动作时，排球可以看成质点
B.研究乙图中乒乓球运动员的发球技术时，乒乓球不能看成质点
C.研究丙图中羽毛球运动员回击羽毛球动作时，羽毛球大小可以忽略
D.研究丁图中体操运动员的平衡木动作时，运动员身体各部分的速度可视为相同
解析：研究甲图中排球运动员扣球动作时，排球的形状和大小不能忽略，故不可以看成质点，故A错误；研究乙图中乒乓球运动员的发球技术时，要考虑乒乓球的大小和形状，则乒乓球不能看成质点，故B正确；研究丙图中羽毛球运动员回击羽毛球动作时，羽毛球大小不可以忽略，故C错误；研究丁图中体操运动员的平衡木动作时，运动员身体各部分有转动和平动，各部分的速度不可以视为相同，故D错误.
角度2　参考系、位移的理解
例2　2022年北京冬奥会中国队获得9枚金牌，创造冬奥会历史最好成绩.下列选项中正确的是（　C　）
A.运动员在自由式滑雪女子U形场地技巧决赛中可以将她看成质点
B.每局冰球比赛时间10 min，指的是时刻
C.短道速滑男子1 000米比赛中，运动员在转弯过程中，以运动员的冰刀为参考系，他是静止的
D.越野滑雪中运动员的位移大小和路程相等
解析：运动员在自由式滑雪女子U形场地技巧决赛中不可以将她看成质点，A错误；每局冰球比赛时间10 min，指的是时间间隔，B错误；短道速滑男子1 000米比赛中，运动员在转弯过程中，以运动员的冰刀为参考系，他是静止的，C正确；越野滑雪是弯道，运动员的位移大小和路程不相等，D错误.
训练1　（2025·山东模拟预测）（多选）高铁开通后，从铁路售票网12306查询到G232次列车的信息如图所示，用电子地图测距工具测得青岛站到上海虹桥站的直线距离约为530.3 km，下列说法正确的是（　BD　）
A.图中16：10表示时间间隔
B.图中6时48分表示时间间隔
C.530.3 km表示青岛站到上海虹桥站的路程
D.研究列车在地图上的位置，可视列车为质点
解析：列车的时刻表中，出发或者到达的时间是某一时间点，指的是时刻，故A错误；列车从一地到另一地行驶所用的时间，是时间间隔，图中6时48分表示时间间隔，故B正确；用电子地图测距工具测得青岛站到上海虹桥站的直线距离约为530.3 km，表示有向线段，是位移大小，故C错误；研究列车在地图上的位置，由于地图上比例尺都较大，列车的尺寸对研究在列车运动过程中的位置变化无影响，可视列车为质点，故D正确.
@二、平均速度和瞬时速度
二、平均速度和瞬时速度
考题2　（2024·江西卷）一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x＝1＋2t＋3t2（x的单位是m，t的单位是s）.关于速度及该质点在第1 s内的位移，下列选项正确的是（　C　）
A.速度是对物体位置变化快慢的描述；6 m
B.速度是对物体位移变化快慢的描述；6 m
C.速度是对物体位置变化快慢的描述；5 m
D.速度是对物体位移变化快慢的描述；5 m
解析：速度是位移与时间的比值，位移描述物体位置的变化，故速度是对物体位置变化快慢的描述，B、D错误.当t＝0时，x0＝1 m，当t＝1 s时，x1＝6 m，则该质点在第1 s内的位移Δx＝x1－x0＝5 m，A错误，C正确.
考题3　（2023·福建卷）“祝融号”火星车沿如图所示路线行驶，在此过程中揭秘了火星乌托邦平原浅表分层结构，该研究成果被列为“2022年度中国科学十大进展”之首.“祝融号”从着陆点O处出发，经过61天到达M处，行驶路程为585米；又经过23天，到达N处，行驶路程为304米.已知O、M间和M、N间的直线距离分别约为463米和234米，则火星车（　D　）
A.从O处行驶到N处的路程为697米
B.从O处行驶到N处的位移大小为889米
C.从O处行驶到M处的平均速率约为20米/天
D.从M处行驶到N处的平均速度大小约为10米/天
解析：从O处行驶到N处的路程为889米，A错误.题中未给出O、M间和M、N间位移的方向，不能算出从O处行驶到N处的位移大小，但可知位移大小一定小于等于697米，B错误.由速率公式v＝可得，从O处行驶到M处的平均速率约为9.6米/天，C错误.由平均速度公式v＝可得，从M处行驶到N处的平均速度大小约为10米/天，D正确.
速度和速率
（1）平均速度：物体的　位移　与发生这段位移所用　时间　的比值，即v＝，是矢量，其方向与　位移　的方向相同.
（2）瞬时速度：运动物体在　某一时刻　或　某一位置　的速度，是矢量，方向沿轨迹的　切线　方向.
（3）速率：　瞬时速度　的大小，是标量.
（4）平均速率：物体运动的　路程　与通过这段路程所用时间的比值，　不一定　（填“一定”或“不一定”）等于平均速度的大小.
深化1　　平均速度与瞬时速度的区别和联系
区别 （1）平均速度是过程量，对应一段时间（或某段位移）. （2）瞬时速度是状态量，对应某一时刻（或某一位置）
联系 （1）瞬时速度等于运动时间Δt→0的平均速度，公式v＝中，当Δt→0时，v是瞬时速度. （2）对于匀速直线运动，瞬时速度与平均速度相等
深化2　　计算平均速度的三点注意
（1）平均速度的大小与物体不同的运动阶段有关，求解平均速度必须明确是哪段位移或哪段时间的平均速度.
（2）＝是平均速度的定义式，适用于所有运动.
（3）＝适用于匀变速直线运动.
思维模型　体会比值定义法和极限思想.
角度1　平均速度和瞬时速度的理解
例3　（2025·浙江宁波高三月考）平潭海峡公铁两用大桥全长16.34 km，该大桥所处的平潭海峡是世界三大风暴海域之一，以“风大、浪高、水深、涌急”著称.为了保证安全，环境风速超过20 m/s时，列车通过该桥的运行速度不能超过300 km/h.下列说法正确的是（　B　）
A.题目中“全长16.34 km”指的是位移大小
B.“风速超过20 m/s”“不能超过300 km/h”所指的速度均为瞬时速度
C.“风速超过20 m/s”指的是平均速度，“不能超过300 km/h”指的是瞬时速度
D.假设某火车通过该大桥所用时间为0.08 h，则平均速度约为204 km/h
解析：题目中“全长16.34 km”指的是该大桥的长度，指路程，A错误；“风速超过20 m/s”“不能超过300 km/h”均指的是某一时刻的速度，均为瞬时速度，B正确，C错误；由于不清楚题目中所述的通过大桥的位移，所以无法计算平均速度，204 km/h是平均速率，D错误.
角度2　平均速度和瞬时速度的计算
例4　如图所示，气垫导轨上装有两个光电计时装置A与B，A、B间距离为L＝30 cm，为了测量滑块的加速度，在滑块上安装了一个宽度为d＝1 cm的遮光条，现让滑块以某一加速度通过A、B，记录遮光条通过A、B的时间分别为0.010 s、0.005 s，滑块从A到B所用时间为0.200 s，则下列说法正确的是（　C　）
A.滑块通过A的速度大小为1 cm/s
B.滑块通过B的速度大小为2 cm/s
C.滑块的加速度大小为5 m/s2
D.滑块在A、B间的平均速度大小为3 m/s
解析：滑块通过A的速度大小为vA＝＝ cm/s＝100 cm/s，故A错误；滑块通过B的速度大小为vB＝＝ cm/s＝200 cm/s，故B错误；滑块的加速度大小为a＝＝ m/s2＝5 m/s2，故C正确；滑块在A、B间的平均速度大小为＝＝ m/s＝1.5 m/s，故D错误.
训练2　一架无人机在同一水平面内运动，初始时悬停于空中，开始运动后在5 s内向西沿直线飞行了40 m，之后经过5 s向北沿直线飞行30 m后再次悬停.无人机的运动轨迹俯视图如图所示，则无人机在整个运动过程中（　A　）
A.平均速度大小为5 m/s
B.平均速度大小为7 m/s
C.平均速率为5 m/s
D.平均速率为8 m/s
答案：A
解析：由题图可知无人机在整个运动过程中的位移大小为Δx＝ m＝50 m，路程Δs＝30 m＋40 m＝70 m，平均速度＝＝5 m/s，A正确，B错误；平均速率v＝＝7 m/s，C、D错误.
@三、加速度
三、加速度
考题4　（2025·八省联考云南卷）司机驾驶汽车以36 km/h的速度在平直道路上匀速行驶.当司机看到标有“学校区域限速20 km/h”的警示牌时，立即开始制动，使汽车做匀减速直线运动，直至减到小于20 km/h的某速度.则该匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小可能是（　A　）
A.9.0 s，0.5 m/s2 B.7.0 s，0.6 m/s2
C.6.0 s，0.7 m/s2 D.5.0 s，0.8 m/s2
解析：汽车制动做匀减速直线运动过程中的初速度v0为36 km/h＝10 m/s，末速度v不大于限速为20 km/h≈5.56 m/s，该过程汽车速度的变化量为Δv＝v－v0≈－4.44 m/s，根据匀变速运动速度—时间关系Δv＝at，可知匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小的乘积不小于4.44 m/s，结合选项内容，符合题意的仅有A选项.故A正确，B、C、D错误.故选A.
1.定义：物体速度的　变化量　与发生这一变化所用时间的比值.
2.定义式：a＝，单位：m/s2.
3.方向：与　Δv　的方向一致，由　合力　的方向决定，而与v0、v的方向无关.
4.物理意义：描述物体速度变化　快慢　的物理量.
深化1　　速度、速度的变化量和加速度的对比
项目 速度 速度的变化量 加速度
物理 意义 描述物体运动的快慢和方向 描述物体速度的改变 描述物体速度的变化快慢
公式 v＝ Δv＝v－v0 a＝
方向 与位移方向相同 与加速度的方向相同 由F的方向决定，而与v0、v的方向无关，与Δv同向
联系 三者无必然联系.速度大，加速度不一定大；加速度大，速度不一定大
深化2　　加速度对运动性质的影响
思维模型　能应用位移、速度、加速度的概念分析解决物体的运动问题.
角度1　加速度计算
例5　在一次蹦床比赛中，运动员从高处自由落下，以大小为8 m/s的竖直速度着网，与网作用后，沿着竖直方向以大小为10 m/s的速度弹回，已知运动员与网接触的时间Δt＝1.0 s，那么运动员在与网接触的这段时间内加速度的大小和方向分别为（　D　）
A.2.0 m/s2，竖直向下
B.8.0 m/s2，竖直向上
C.10.0 m/s2，竖直向下
D.18 m/s2，竖直向上
解析：规定竖直向下为正方向，v1方向与正方向相同，v2方向与正方向相反，根据加速度定义式得a＝ m/s2＝－18 m/s2，负号表示与正方向相反，即加速度方向竖直向上.故选D.
角度2　加速度对速度的影响
例6　（多选）一个物体做变速直线运动，物体的加速度（方向不变）大小从某一值逐渐减小到零，则在此过程中，关于该物体的运动情况的说法可能正确的是（　ABC　）
A.物体速度不断增大，加速度减小到零时，物体速度最大
B.物体速度不断减小，加速度减小到零时，物体速度为零
C.物体速度减小到零后，反向加速再匀速
D.物体速度不断增大，然后逐渐减小
解析：物体做变速直线运动，速度方向可能与加速度方向相同，加速度逐渐减小，速度不断增大，当加速度减小到零时，速度达到最大，而后做匀速直线运动，A正确，D错误；物体做变速直线运动，速度方向可能与加速度方向相反，加速度逐渐减小，速度不断减小，当加速度减小到零时，物体速度可能恰好为零，B正确；物体的加速度方向与初速度方向可能相反，加速度减小，速度减小，当速度减为零，加速度不为零时，物体反向做加速直线运动，加速度等于零后，物体再做匀速运动，C正确.
训练3　如图甲所示，这是我国“复兴号”高铁，考虑到旅客的舒适程度，高铁出站时，速度在10分钟内由0增大到350 km/h；如图乙所示，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来.若以车辆前进的方向为正方向，下列说法正确的是（　A　）
A.2.5 s内汽车的速度改变量为－30 m/s
B.10分钟内“复兴号”高铁速度改变量为350 m/s
C.汽车速度变化比“复兴号”高铁慢
D.“复兴号”高铁的加速度比汽车的大
解析：2.5 s内汽车的速度改变量Δv1＝0－v1＝－108 km/h＝－30 m/s，A正确；10分钟内“复兴号”高铁速度改变量Δv2＝v2－0＝350 km/h＝97.2 m/s，B错误；汽车和高铁的加速度大小分别为a1＝＝12 m/s2，a2＝＝0.16 m/s2，所以汽车速度变化比高铁快，高铁的加速度比汽车的加速度小，C、D错误.
@限时跟踪检测（一）
A级·基础对点练
题组一　质点、参考系、位移
1.如图所示，是“运油－20”给“歼－16”“歼－20”两种战机同时加油的瞬间，则（　D　）
A.研究加油问题时，“运油－20”可视为质点
B.加油过程中，“运油－20”的惯性越来越大
C.以“运油－20”为参考系，“歼－20”“歼－16”战机是运动的
D.以“歼－16”战机为参考系，“运油－20”和“歼－20”都是静止的
解析：研究加油问题时，“运油－20”的大小、形状不能忽略，不能将“运油－20”看作质点，A错误；加油过程中，“运油－20”的质量逐渐减小，则惯性逐渐减小，B错误；加油过程中，“运油－20”“歼－16”“歼－20”三者的相对位置需保持不变，以“运油－20”为参考系，“歼－20”“歼－16”战机都是静止的，以“歼－16”战机为参考系，“运油－20”和“歼－20”也都是静止的，D正确，C错误.
2.杭州亚运会顺利举行，如图所示为运动会中的四个比赛场景.下列研究可将运动员视为质点的是（　C　）
A.研究甲图运动员的入水动作
B.研究乙图运动员的空中转体姿态
C.研究丙图运动员在百米比赛中的平均速度
D.研究丁图运动员通过某个攀岩支点的动作
解析：研究运动员入水动作，运动员的大小和形状不能忽略，不能将运动员视为质点，A错误；研究运动员的空中转体姿态，运动员的大小和形状不能忽略，不能将运动员视为质点，B错误；研究运动员在百米比赛中的平均速度，其大小和形状可忽略，故能将运动员视为质点，C正确；研究运动员通过某个攀岩支点的动作，运动员的大小和形状不能忽略，不能将运动员视为质点，D错误.
题组二　平均速度和瞬时速度
3.（2025·宁波模拟）2024年巴黎奥运会男子100米自由泳决赛中，我国选手以46秒40的成绩打破了世界纪录夺得金牌.关于这场比赛，下列说法正确的是（　D　）
A.“46秒40”是指时刻
B.图中所示的2.01 m/s指的是平均速度大小
C.该选手在奥运会上100米全程的平均速度大小约为2.1 m/s
D.研究该选手划水技术动作时，不能把他看成质点
解析：“46秒40”是指时间间隔，A错误；题图中所示的2.01 m/s指的是瞬时速度的大小，B错误；常规游泳赛道的直线距离为50 m，100 m的赛程恰好是一个来回，位移为0，平均速度为0，C错误；研究划水技术动作时，他的身体形态不能忽略不计，不可以把他看作质点，D正确.故选D.
4.（2025·江西A10联盟考）小蚂蚁从a点沿着边长为L的立方体三条棱ab、bc、cd 运动到d点，在三条棱上运动的时间相同，则小蚂蚁（　D　）
A.从a运动到c的位移大小为2L
B.从a运动到c的位移与从b运动到d的位移相同
C.从a运动到c的平均速度大小是从a运动到b的平均速度大小的倍
D.从a运动到b的平均速度大小是从a运动到d的平均速度大小的倍
解析：小蚂蚁从a运动到c的位移大小为x1＝＝L，故A错误；小蚂蚁从a运动到c的位移与从b运动到d的位移大小相等，方向不同，故B错误；设小蚂蚁在每一条棱上运动的时间均为t，则在ab段的平均速度大小为＝，从a运动到c的平均速度大小为＝＝，故C错误；从a运动到d的平均速度大小为＝＝，故D正确.
5.（2025·福建莆田质检）2023年5月28日上午10时32分，国产大飞机C919迎来首次商业载客飞行.某次该大飞机在机场直跑道由静止开始加速，用时30 s经过2 100 m起飞，又经过20 s到达离地高度400 m处.下列说法正确的是（　B　）
A.10时32分和30 s都是指时刻
B.大飞机在直跑道上的平均速度大小为70 m/s
C.大飞机离地起飞时的瞬时速度大小为70 m/s
D.大飞机开始运动50 s内的位移是2 500 m
解析：10时32分指的是时刻，30 s指的是时间，A错误.大飞机在直跑道上的平均速度大小＝＝ m/s＝70 m/s，B正确.根据题意无法求出大飞机离地起飞时的瞬时速度，C错误.大飞机开始运动50 s内不是做单方向的直线运动，故位移x'≠2 100 m＋400 m＝2 500 m，D错误.
题组三　加速度
6.（2025·河北张家口联考）京沪高速铁路，简称京沪高铁，全长1 318 km，是中国“八纵八横”网的其中“一纵”.京沪高铁开通初期，其客运专线上列车以250～300 km/h的速度运行.下列说法正确的是（　C　）
A.250～300 km/h，指的是瞬时速度
B.全长1 318 km，指的是北京到上海的位移
C.若高铁出站速度从零加速到216 km/h后开始做匀速直线运动，加速过程用时4 min，则高铁启动加速度大小为0.25 m/s2
D.高铁进站减速过程中，加速度与速度可能同向
解析：瞬时速度是指某一时刻的速度，对应某一时刻或某一位置，平均速度是位移和时间的比值，平均速率是路程和时间的比值，对应一段时间，题中250～300 km/h指的是平均速率，故A错误；全长1 318 km，是从北京到上海高铁路线的长度，指的是路程，故B错误；加速度是速度变化量和时间的比值，若高铁出站速度从零加速到216 km/h后开始做匀速直线运动，加速过程用时4 min，则高铁启动加速度大小为a＝＝ m/s2＝0.25 m/s2，故C正确；高铁进站是减速过程，减速过程中加速度与速度方向相反，不可能同向，故D错误.
7.（2025·江苏扬州模拟）随着新能源轿车的普及，人们对车辆乘坐的舒适性要求越来越高.加速度对时间的变化率在物理学中称之为“加加速度”，通常用符号j表示，如果j值过大，会影响乘客乘坐的舒适性.人体可以承受的j值通常在0.4～1.0之间.如图所示为某国产新能源轿车，测得其启动后a与时间t的变化关系为a＝3－0.5t，则（　D　）
A.国际单位制中“加加速度”的单位应是m/s2
B.j值为零的运动一定是匀速直线运动
C.该汽车启动后做匀变速直线运动
D.该汽车启动后j值的大小为0.5
解析：由题意知，“加加速度”可表示为j＝，故国际单位制中“加加速度”的单位应是m/s3，A错误；j值为零代表加速度保持不变，物体的运动可能为匀变速运动，也可能为匀速直线运动，B错误；由a与时间t的变化关系a＝3－0.5t可知，该汽车加速度随时间均匀变化，故该汽车做的不是匀变速直线运动，C错误；由a＝3－0.5t可知，j＝＝－0.5 m/s3，故该汽车启动后j值的大小为0.5 m/s3，D正确.
B级·能力提升练
8.民间赛龙舟是我国端午节的一项重要活动，如图所示是某地举行的500 m直道龙舟比赛情形，下列说法正确的是（　B　）
A.龙舟速度的变化量越大，其加速度一定越大
B.全程中获得第一名的龙舟平均速度一定最大，但到达终点时的速度不一定最大
C.以龙舟为参考系，岸上站立的观众是静止的
D.研究队员的划桨动作时，可将队员看成质点
解析：根据a＝可知加速度a由速度的变化量Δv和速度发生改变所需要的时间Δt共同决定，虽然Δv大，但Δt更大时，a可以很小，故A错误；获得第一名的龙舟，用时最少，平均速度一定最大，但到达终点时的速度不一定最大，B正确；以龙舟为参考系，岸上站立的观众是运动的，C错误；研究队员的划桨动作时，队员的身体形态不能忽略，故不可将队员看成质点，D错误.故选B.
9.（2025·辽宁沈阳重点高中联考）关于速度、速度的变化量和加速度，正确的说法是（　C　）
A.物体运动时，速度的变化量越大，它的加速度一定越大
B.速度很大的物体，其加速度一定不为零
C.某时刻物体的速度为零，其加速度可能很大
D.加速度很大时，运动物体的速度一定很快变大
解析：由加速度定义式a＝可知，速度的变化量大，但是时间可以很长，此时加速度很小，A错误.如高速匀速飞行的战机，虽然速度很大，但速度不发生变化，加速度为零，B错误.即将发射的子弹，速度为零但是加速度不为零，而且加速度很大，C正确.加速度很大，说明速度变化很快，但是加速度和初速度方向关系不知道，无法确定速度变大还是变小，D错误.
10.（多选）如图甲所示，火箭发射时，速度能在10 s内由0增加到100 m/s；如图乙所示，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来，下列说法中正确的是（　BD　）
A.10 s内火箭的速度改变量为10 m/s
B.2.5 s内汽车的速度改变量为－30 m/s
C.火箭的速度变化比汽车的速度变化快
D.火箭的加速度比汽车的加速度小
解析：火箭发射时，速度能在10 s内由0增加到100 m/s，可知10 s内火箭的速度改变量为100 m/s，故A错误；因108 km/h＝30 m/s，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来，可知2.5 s内汽车的速度改变量为Δv＝0－v0＝－30 m/s，故B正确；火箭的加速度为a1＝＝ m/s2＝10 m/s2，汽车的加速度为a2＝＝ m/s2＝－12 m/s2，可知汽车的加速度大小为12 m/s2，所以火箭的加速度比汽车的加速度小，即火箭的速度变化比汽车慢，故C错误，D正确.
11.如图所示，弹丸和足球的初速度均为v1＝10 m/s，方向向右.设它们分别与木板作用的时间都是0.1 s，那么：
（1）弹丸击穿木板后速度大小变为7 m/s，求弹丸击穿木板时加速度大小及方向；
（2）足球与木板作用后反向弹回的速度大小为7 m/s，求足球与木板碰撞反弹时的加速度大小及方向.
答案：（1）30 m/s2　方向与初速度方向相反
（2）170 m/s2　方向与初速度方向相反
解析：（1）令弹丸初速度方向为正方向，则知弹丸的初速度为v1＝10 m/s，末速度为v2＝7 m/s，根据加速度的定义知，此过程中弹丸的加速度a1＝＝ m/s2＝－30 m/s2，负号表示加速度的方向与初速度的方向相反.
（2）令足球初速度方向为正方向，则知足球的初速度为v1＝10 m/s，末速度为v'2＝－7 m/s，根据加速度的定义知，此过程中足球的加速度a2＝＝ m/s2＝－170 m/s2，负号表示加速度的方向与初速度的方向相反.
第2讲　匀变速直线运动的规律
素养目标　1.能从真实的物理情境中构建匀变速直线运动、自由落体运动和竖直上抛运动模型.（物理观念） 2.会用运动学基本公式解决实际问题.（科学思维） 3.能应用推论、逆向思维法、比例法等分析较复杂的物理问题.（科学思维）
@一、匀变速直线运动规律的应用
一、匀变速直线运动规律的应用
考题1　（2024·山东卷）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L.木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2.Δt2∶Δt1为（　A　）
A.（－1）∶（－1）
B.（－）∶（－1）
C.（＋1）∶（＋1）
D.（＋）∶（＋1）
解析：木板在光滑斜面上做初速度为0的匀加速直线运动，根据x＝at2有：L＝a、2L＝a、3L＝a，且Δt1＝t2－t1、Δt2＝t3－t1，解得Δt2∶Δt1＝（－1）∶（－1），A正确.
考题2　（2024·全国甲卷）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声.已知声速v0＝340 m/s，求
（1）救护车匀速运动时的速度大小；
（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离.
答案：（1）20 m/s
（2）680 m
解析：（1）匀速运动时的速度大小
v＝at1＝2×10 m/s＝20 m/s.
（2）设停止鸣笛前匀速运动的时间为t3，则有
a＋vt3＝v0（t2－t1－t3），
代入数据解得t3＝29 s，
则停止鸣笛时救护车距出发处的距离为L＝a＋vt3＝680 m.
1.匀变速直线运动
（1）定义：沿着一条直线，且　加速度不变　的运动.
（2）分类
2.匀变速直线运动的基本规律
如图所示，汽车沿水平路面做匀加速直线运动，则： （1）速度公式：　v＝v0＋at　. （2）位移公式：　x＝v0t＋at2　. （3）速度位移关系式：　v2－＝2ax　
深化1　　运动学公式中符号的规定
（1）一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值.
（2）若v0＝0，一般以a的方向为正方向.
深化2　　重要推论
（1）物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：＝＝.
（2）任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
（3）位移中点的速度＝.
深化3　　初速度为0的匀加速直线运动的5个推论
（1）以时间等分
（2）以位移等分
深化4　　运动学公式的选择
题目中所涉及的物理量 没有涉及的物理量 适宜选用公式
v0、v、a、t x v＝v0＋at
v0、a、t、x v x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t v2－＝2ax
v0、v、t、x a x＝t
深化5　　解决匀变速直线运动的一般步骤
思维模型　能够建立匀变速直线运动模型，分析实际生活中问题.
角度1　基本公式的应用
例1　一辆汽车正沿直线公路匀速行驶，驾驶员突然发现前方有危险，经过一定的反应时间后开始刹车，刹车过程中汽车做匀减速运动，直至停下.从驾驶员发现前方有危险时开始，下列关于汽车的运动图像正确的是（　C　）
解析：从驾驶员发现前方有危险时开始，汽车先做匀速运动，后做匀减速运动，故图A不符合要求；从驾驶员发现前方有危险时开始，汽车先做匀速运动，加速度为零，后做匀减速运动，匀减速阶段加速度不变，故图B不符合要求；从驾驶员发现前方有危险时开始，汽车先做匀速运动，此时x－v2图像是一条平行于x轴的线段，汽车后做匀减速运动，根据动力学公式v2－＝2ax，可得x＝－，可知此时x－v2图像是一条倾斜的直线段，故图C符合要求；汽车做匀减速运动阶段，汽车的加速度不变，故图D不符合要求.故选C.
角度2　平均速度公式的应用
例2　（2024·北京卷）一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2 s停止，汽车的制动距离为（　B　）
A.5 m B.10 m C.20 m D.30 m
解析：汽车做末速度为零的匀减速直线运动，则有x＝t＝10 m，B正确.
角度3　位移差公式的应用
例3　（2025·辽宁鞍山模拟）如图所示为一辆无人送货车正在做匀加速直线运动.某时刻起开始计时，在第一个4 s内位移为9.6 m，第二个4 s内位移为16 m，下列说法正确的是（　C　）
A.计时时刻送货车的速度为0
B.送货车的加速度大小为1.6 m/s2
C.送货车在第1个4 s末的速度大小为3.2 m/s
D.送货车在第2个4 s内的平均速度大小为3.6 m/s
解析：根据匀变速直线运动推论可得加速度大小为a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2，B错误；根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该段内的平均速度可知，送货车在第1个4 s末的速度大小为v1＝＝ m/s＝3.2 m/s，C正确；根据v＝v0＋at可得，计时时刻送货车的速度为v0＝v1－aT＝3.2 m/s－0.4×4 m/s＝1.6 m/s，A错误；送货车在第2个4 s内的平均速度大小为＝＝ m/s＝4 m/s，D错误.
角度4　初速度为零的匀变速直线运动比例式的应用
例4　（2025·广东深圳市红岭中学月考）（多选）四个水球可以挡住一颗子弹！如图所示，相同的4个装满水的薄皮气球水平固定排列，子弹射入水球中并沿水平线做匀变速直线运动，恰好能穿出第4个水球，气球薄皮对子弹的阻力忽略不计，子弹重力忽略不计.以下说法正确的是（　BCD　）
A.子弹在每个水球中的速度变化量相同
B.子弹依次穿过每个水球所用的时间之比为（2－）∶（－）∶（－1）∶1
C.子弹依次进入每个水球时的速度之比为2∶∶∶1
D.子弹穿出第3个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
解析：子弹做匀减速直线运动，通过相同位移的时间逐渐增大，所以子弹在每个水球中运动的时间不同，而加速度相同，由Δv＝at知，子弹在每个水球中的速度变化量不同，故A错误；子弹的运动可看作反向的初速度为0的匀加速直线运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等位移的时间之比为1∶（－1）∶（－）∶（2－），则子弹依次穿过每个水球所用的时间之比为（2－）∶（－）∶（－1）∶1，故B正确；子弹的运动可看作反向的初速度为0的匀加速直线运动，根据x＝at2可得从静止开始连续通过相等的位移所用时间之比为1∶∶∶2，根据v＝at可知逆向子弹依次进入每个水球时的速度之比为1∶∶∶2，则子弹依次进入每个水球时的速度之比为2∶∶∶1，故C正确；子弹恰好能穿出第4个水球，则根据B项分析知子弹穿过第4个水球的时间与子弹穿过前3个水球所用的时间相同，则子弹穿出第3个水球时的瞬时速度即为中间时刻的速度，与全程的平均速度相等，故D正确.
角度5　逆向思维处理减速问题
例5　具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动主动刹车.某汽车以28 m/s的速度匀速行驶时，前方50 m处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊通过道路前1 m处停车.汽车开始“主动刹车”后第4 s内通过的位移大小为 （　B　）
A.0 B.1 m C.2 m D.3 m
解析：令x1＝50 m，x2＝1 m，汽车的刹车时间为t，刹车时的加速度大小为a，把刹车过程逆向处理，则有＝2a（x1－x2），t＝，联立解得a＝8 m/s2，t＝3.5 s，所以汽车开始“主动刹车”后第4 s内通过的位移大小为3～3.5 s内通过的位移大小，有x4＝aΔt2，解得x4＝1 m，故B正确.
@二、自由落体运动和竖直上抛运动
二、自由落体运动和竖直上抛运动
考题3　（2024·广西卷）让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，取g＝10 m/s2，则（　B　）
A.v1＝5 m/s B.v1＝10 m/s
C.v2＝15 m/s D.v2＝30 m/s
解析：自由落体运动的加速度与质量无关，根据v＝gt得v1＝10 m/s，v2＝10 m/s，B正确.
考题4　（2023·广东卷）铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置.在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度.随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动.取竖直向上为正方向.下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是（　D　）
解析：铯原子团仅受重力，加速度为g且竖直向下，C错误，D正确.在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故斜率不变，图线应是一条倾斜的直线，A、B错误.
1.自由落体运动
运动条件 物体只受　重力　作用； 由　静止　开始下落
运动性质 初速度为零的　匀加速　直线运动
运动规律 速度公式：　v＝gt　； 位移公式：　h＝gt2　； 速度位移公式：　v2＝2gh　
2.竖直上抛运动
（1）运动性质
取初速度的方向为正方向，全过程为初速度为v0、加速度大小为g的　匀变速　直线运动.
（2）基本规律
深化1　　自由落体运动的三个常用关系
（1）从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶….
（2）从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt.
（3）连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2.
深化2　　竖直上抛运动的主要特性
对称性 （1）速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向. （2）时间对称：上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等
多解性 当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性
深化3　　竖直上抛运动的两种研究方法
分段法 将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段
全程法 将全过程视为初速度为v0、加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性.习惯上取v0的方向为正方向，则v＞0时，物体正在上升；v＜0时，物体正在下降.h＞0时，物体在抛出点上方；h＜0时，物体在抛出点下方
思维模型　能够利用自由落体运动和竖直上抛运动的模型分析实际生活中的相关问题.
角度1　自由落体分析计算
例6　（2025·广东深圳调研）如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏.游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒.已知支架顶部距离地面2.3 m，圆棒长0.4 m，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围AB，上边界A距离地面1.1 m，下边界B距离地面0.5 m.不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
（1）圆棒下落到A点所用的时间t1；
（2）圆棒通过AB所用的时间t；
（3）结合轨迹反应时间（判断棒下落轨迹的时间）和握棒反应时间（棒经过某点的时间）应用自由落体运动知识简要分析在A点和B点接棒各自的优缺点.
答案：（1）0.4 s
（2）0.2 s
（3）见解析
解析：（1）圆棒底部距离A点的高度
h1＝2.3 m－0.4 m－1.1 m＝0.8 m
圆棒做自由落体运动下落到A点，有h1＝g
代入数据解得t1＝0.4 s.
（2）圆棒通过AB的过程即圆棒底部到达A点和圆棒顶端离开B点这一过程
圆棒顶端到达B点，下落的高度为h2＝2.3 m－0.5 m＝1.8 m
由h2＝g得t2＝＝0.6 s
则圆棒通过AB的时间t＝t2－t1＝0.2 s.
（3）A点握棒的优点：圆棒下落到A点时速度较小，通过A点所用的时间稍长，如果握棒反应时间较长，也利于抓住圆棒；
A点握棒的缺点：圆棒下落到A点所用时间较短，若反应速度较慢，很容易错过抓棒机会；
B点握棒的优点：圆棒下落到B点所用时间较长，即使反应速度较慢，也有足够的反应时间做好抓棒准备，可以提高抓棒的成功率；
B点握棒的缺点：圆棒下落到B点时速度较大，通过B点所用的时间较短，如果握棒反应时间较长，很难抓住圆棒.
角度2　竖直上抛运动的两种解法
例7　某航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器.试飞时飞行器从地面上由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，运动4 s后到达离地面高40 m处，此时飞行器上有一螺丝脱落（不计螺丝受到的空气阻力）.取g＝10 m/s2.求：
（1）飞行器匀加速直线运动的加速度大小；
（2）螺丝脱落后继续上升的高度；
（3）螺丝从脱落到落回地面的总时间.
答案：（1）5 m/s2
（2）20 m
（3）（2＋2） s
解析：（1）由匀变速运动的公式h0＝at2，代入数据得a＝5 m/s2.
（2）螺丝脱落时的速度v1＝at＝5×4 m/s＝20 m/s，之后螺丝做竖直上抛运动，继续向上运动的位移h1＝＝ m＝20 m.
（3）解法一（分段法）：螺丝从脱落到最高点的时间t1＝＝ s＝2 s
设螺丝从最高点落到地面的时间为t2，有h0＋h1＝g，解得t2＝2 s，则螺丝从脱落到落回地面的总时间为（2＋2） s.
解法二（全程法）：设竖直向上为正方向，由位移时间关系式h＝v0t＋gt2，代入数据有－40 m＝20 m/s·t－×10 m/s2·t2，
解得t1＝（2＋2） s，t2＝（2－2） s（舍去）.
@三、匀变速直线运动的多过程问题
三、匀变速直线运动的多过程问题
考题5　（2024·广西卷）如图所示，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d＝0.9 m，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行.现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1＝0.4 s，从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2＝0.5 s.求该同学：
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒.
答案：（1）1 m/s2
（2）4
解析：（1）设该同学经过1号锥筒时速度大小为v0，加速度大小为a，由匀变速直线运动规律可知
d＝v0t1－a
2d＝v0（t1＋t2）－a（t1＋t2）2
联立解得v0＝2.45 m/s，a＝1 m/s2.
（2）设该同学停下时经过的位移大小为x，根据匀变速直线运动规律有v2－＝2ax
解得x＝＝3.001 25 m＝3.33d＜4d
可知最远能经过4号锥筒.
深化1　　解答多过程运动问题的基本思路
画草图 分清各阶段运动过程，画出运动情境草图
找关系 找出交接处的速度与各阶段间的位移—时间关系
列方程 列出各运动阶段的运动方程，联立求解
深化2　　解题关键
多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键.
例8　（2022·全国甲卷）长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）.已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（　C　）
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
解析：由题可知，列车加速和减速的加速度大小为定值，要使列车通过隧道的时间最短，应以允许的最大速度通过，已知列车长为l，速率为v0，此速率大于允许通过的最大速率v，则列车进隧道前先减速，减速时间t1＝；在隧道内匀速运动的时间t2＝；列车尾部出隧道后立即加速到v0，加速时间t3＝；则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝＋，A、B、D错误，C正确.故选C.
@限时跟踪检测（二）　匀变速直线运动的规律
A级·基础对点练
题组一　匀变速直线运动规律的应用
1.（2025·黑龙江大庆实验中学期末）一可视为质点的小球在水平面上由静止开始做匀加速直线运动，经过时间t，通过与出发点相距x1的A点，再经过时间t，到达与出发点相距x2的B点，则小球通过A点的瞬时速度不能表示为（　C　）
A. B.
C. D.
解析：对于初速度为0的匀加速直线运动有x1＝at2，x2＝a（2t）2，又v＝at，三式联立可得v＝＝＝，故C符合题意.
一题多解：初速度为0的匀加速直线运动，在前t内和前2t内的位移之比为1∶4，则x2＝4x1，结合平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可得A点的速度为v＝＝＝；也可考虑逐差法，根据x2－x1－x1＝at2得a＝，则v＝at＝，A、B、D正确，不符合题意.故选C.
2.（2025·吉林延边二中检测）一列火车正在做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，第1分钟内，发现火车前进了180 m，第6分钟内，发现火车前进了360 m.则火车的加速度大小为（　A　）
A.0.01 m/s2 B.0.06 m/s2
C.0.6 m/s2 D.1.8 m/s2
解析：这道题考查位移不连续的位移差公式.对第1段和第6段位移列位移差公式x6－x1＝（6－1）aT2，解得a＝ m/s2＝0.01 m/s2，所以选A.
3.（2025·湖北部分重点中学高三第一次联考）2023年9月，武汉“光谷光子号”空轨正式运营，它是目前国内唯一一条悬挂式单轨线路，是为了打造生态大走廊而规划的旅游线路.假设一列空轨列车从“高新四路站”出发，途中做匀加速直线运动先后经过A、B、C三点，BC间的距离是AB的2倍.列车头经过A点的速度为2 m/s，在BC段的平均速度是AB段平均速度的2倍，则列车头经过C点的速度为（　A　）
A.10 m/s B.8 m/s
C.6 m/s D.4 m/s
解析：由题意，设列车在AB段的位移大小为s，运动时间为t，则有＝＝.在BC段，则有'＝＝，其中'＝2，求得t'＝t，vB＝vC－4 m/s，可知B为AC段的时间中点，根据匀变速直线运动时间中点速度公式，可得vB＝，联立解得vC＝10 m/s.故选A.
题组二　自由落体运动和竖直上抛运动
4.在一根细线不同位置处分别绑上四个螺母，把细线竖直拉起，四个螺母在离地面的不同高度处，从静止释放后，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，螺母依次碰到地面.下列各图中，能反映出刚开始运动时各螺母相对地面的位置的是（　C　）
解析：先分析题中情境含义：四个螺母每隔相等时间落地，则四个螺母从下到上在空中运动时间之比为1∶2∶3∶4.可将螺母的运动逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，四个螺母的位移之比为1∶4∶9∶16.所以从下到上，四个螺母离地高度之比为1∶4∶9∶16，C正确.
5.如图所示，在空中将小球P从a点竖直向上抛出的同时，将小球Q从c点由静止释放，一段时间后Q在a点正下方的b点时追上P，此过程中两小球均未落地且未发生碰撞.若a、b两点间的高度差为h，c、a两点间的高度差为2h.不计空气阻力，重力加速度为g，两小球均可视为质点，则小球P相对抛出点a上升的最大高度为（　B　）
A. B. C. D.h
解析：Q做自由落体运动，有3h＝gt2，解得t＝；小球P从抛出到与Q相遇，取向下为正方向，有h＝－vot＋gt2，解得v0＝，则P上升的最大高度为hm＝＝，故选B.
题组三　匀变速直线运动的多过程问题
6.（2025·湖南邵阳一模）一质点从A点做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动，经过时间t后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为a2，又经过2t的时间到达C点.已知AC的距离为AB的距离的2倍，则a1与a2的大小之比可能为（　A　）
A. B. C. D.
解析：如图所示，设AB＝x，以从A到B方向为正方向，从A到B有x＝a1t2，vB＝a1t，若C点在A点右侧，从B到C有x＝vB·2t－a2（2t）2，解得＝，若C点在A点左侧，从B到C有－3x＝vB·2t－a2（2t）2，解得＝，综上所述，a1与a2的大小之比可能为、，故选A.
7.小明是学校的升旗手，国歌响起时他拉动绳子开始升旗，国歌结束时国旗恰好停在旗杆顶端.若国旗从A点由静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度0.4 m/s，然后以最大速度匀速直线运动，最后做匀减速直线运动恰好到达顶端B点.已知国旗经过4 s匀加速达到最大速度，国歌从响起到结束的时间是46 s，A至B的高度H＝17.2 m，如图所示.
（1）求国旗上升过程的平均速度（保留三位有效数字）；
（2）求匀加速运动的加速度a1及上升高度h；
（3）求国旗匀速运动的时间.
答案：（1）0.374 m/s
（2）0.1 m/s2　0.8 m
（3）40 s
解析：（1）国旗上升过程的平均速度＝≈0.374 m/s.
（2）加速度a1＝＝0.1 m/s2，上升高度h1＝t1＝0.8 m.
（3）因为H＝t1＋vt2＋t3，t1＋t3＝t－t2＝46 s－t2，得国旗匀速运动的时间t2＝40 s.
B级·能力提升练
8.（2025·辽宁大连模拟）如图为大连星海湾大桥上的四段长度均为L的等跨连续桥梁，汽车从a处开始做匀减速直线运动，恰好行驶到e处停下.汽车通过ab段的平均速度为v1，汽车通过de段的平均速度为v2，则满足（　B　）
A.1＜＜2 B.3＜＜4
C.2＜＜3 D.4＜＜5
解析：将汽车从a到e的匀减速直线运动，看作反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀变速直线运动的推论可得，汽车经过de段和ab段所用的时间之比为1∶（2－），所以＝＝＝2＋≈3.73，所以3＜＜4，故A、C、D错误，B正确.
9.苹果从7.5 m高处的树上坠落，正下方恰好有人双手将苹果接住并以接住前速度大小继续向下做匀减速运动，到地面时速度恰好减为零.已知苹果被人接住时离地面大概1.5 m，苹果可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则苹果做匀减速运动的加速度大小为（　B　）
A.80 m/s2 B.40 m/s2
C.10 m/s2 D.4 m/s2
解析：苹果下落的运动可分为两个阶段，先是自由落体运动，下落高度为6 m，然后减速了1.5 m到速度为0，根据运动学公式得，下落阶段2gh1＝v2，设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段0－v2＝－2ah2，苹果向下做匀减速运动的加速度大小为a＝40 m/s2，故选B.
10.（2025·山东青岛中学期中）如图所示，在离地面高H处以v0＝10 m/s的速度竖直向上抛出一个小球（可视为质点），地面上有一长L＝5 m的小车，其车头M距离抛出点的正下方s＝4 m，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做a1＝2 m/s2的匀加速直线运动.已知小球落地前最后1 s内下落的高度为25 m，忽略空气阻力及小车的高度.（重力加速度取g＝10 m/s2）
（1）求小球抛出点离地面的高度H；
（2）试分析小车能否接住小球；
（3）当小车车尾N到达抛出点正下方时，便立即做加速度大小恒为a2、方向与此时速度方向相反的匀变速直线运动，为了让小车接住小球，试确定加速度大小a2的范围.
答案：（1）40 m
（2）不能，计算见解析
（3）12 m/s2≤a2≤22 m/s2
解析：（1）由＝可得最后一秒的平均速度为25 m/s，
由＝可知落地前0.5 s的瞬时速度＝25 m/s.
根据速度公式v＝v0＋at可得落地速度v地＝30 m/s
由H＝可得H＝40 m.
（2）小球做上抛运动所用时间为t0＝＝1 s，下落需要的时间t＝＝3 s，小车车头到达抛出点正下方所用时间为t1，则s＝a1，解得t1＝2 s，小车车尾到达抛出点正下方所用时间为t2，则s＋L＝a1，解得t2＝3 s，由于t2＜t＋t0，故不能接住小球.
（3）小车车尾到达抛出点正下方速度为v＝a1t2＝6 m/s，为了让小车接住小球，小车必须反向向左运动，找到两个临界条件：①小车车尾刚好接住小球；②小车车头刚好接住小球.则小车车尾刚好接住小球时，从小车车尾刚好到达抛出点正下方到小球落进小车这段时间内的位移x＝v（t0＋t－t2）－a（t0＋t－t2）2＝0，解得a＝12 m/s2，当小车车头刚好接住小球，则从小车车尾刚好到达抛出点正下方到小球落进小车这段时间内的位移x'＝v（t0＋t－t2）－a'（t0＋t－t2）2＝－L，解得a'＝22 m/s2，故12 m/s2≤a2≤22 m/s2.
专题一　运动图像问题
素养目标　1.掌握x－t图像、v－t图像、a－t图像及v－x图像.（物理观念） 2.会应用图像的特点分析x－t、v－t图像的物理意义.（科学思维） 3.运用物理图像对物体的运动进行描述和分析.根据运动学的规律，对追及、相遇问题进行分析、推理.（科学思维）
@一、运动学常规图像的理解和应用
一、运动学常规图像的理解和应用
考题1　（2024·新课标卷）一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（　C　）
解析：质点做直线运动，同一时刻只能对应一个位置或一个速度，选项A、B、D不符合这个特点，C正确.
考题2　（2024·河北卷）篮球比赛前，常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性.某同学拍摄了该过程，并得出了篮球运动的v－t图像，如图所示.图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是（　A　）
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
解析：篮球由静止开始下落，由题图可知，第1段过程速度v为负，说明规定向上为正方向，题图中a点到d点之间图线表示篮球从某一高度由静止下落到被地面反弹反向运动至速度为0的过程，当向上的速度为0时，篮球上升的高度达到最大，由于下落的过程，v－t图线与横轴所围图形的面积更大，则a点比d点更高，A正确.
深化1　　x－t图像与v－t图像的比较
项目 x－t图像 v－t图像
图像举例
坐标轴 纵轴表示位移x，横轴表示时间t 纵轴表示速度v，横轴表示时间t
图线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
截距 纵轴截距表示初位置 纵轴截距表示初速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移大小
交点 表示物体相遇 表示速度相等
拐点 表示速度方向改变 表示加速度方向改变
深化2　　对运动图像的两点提醒
（1）x－t图像和v－t图像只能描述直线运动，图像不是物体运动的轨迹.
（2）分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系.
角度1　x－t图像
例1　（2025·八省联考陕西、山西、青海、宁夏卷）2024年8月，我国运动员获得第33届奥运会男子100 m自由泳冠军.比赛所用标准泳池的长度为50 m，下列与该运动员实际运动过程最接近的位移—时间（x－t）图像是（　C　）
解析：根据题意标准泳池的长度为50 m，我国运动员获得第33届奥运会男子100 m自由泳冠军，可知运动员最后的位移为零，所以位移先增大后减小，离出发点最远处位移为50 m，只有C选项满足.故选C.
角度2　v－t图像
例2　（2024·甘肃卷）小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”站到“兰州大学”站的v－t图像如图所示，此两站间的距离约为（　C　）
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
解析：在v－t图像中，图线与时间轴所围图形的面积表示位移，则两站间的距离为x＝×20 m＝1 430 m，C正确.
训练　（2025·八省联考河南卷）某运动员参加百米赛跑，起跑后做匀加速直线运动，一段时间后达到最大速度，此后保持该速度运动到终点.下列速度—时间（v－t）和位移—时间（x－t）图像中，能够正确描述该过程的是（　B　）
解析：因为v－t图像的斜率表示加速度，由速度与时间关系可知v＝at，则匀加速阶段为一条倾斜直线，匀速阶段为一条平行于时间轴的直线，故A错误，B正确；根据位移与时间的关系x＝at2，则x－t图像在匀加速阶段为开口向上的抛物线，匀速阶段为一条倾斜直线，故C、D错误.故选B.
@二、运动学非常规图像的理解和应用
二、运动学非常规图像的理解和应用
考题3　（2023·湖北卷）（多选）t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按如图所示的正弦曲线变化，周期为2t0.在0～3t0时间内，下列说法正确的是（　BD　）
A.t＝2t0时，P回到原点
B.t＝2t0时，P的运动速度最小
C.t＝t0时，P到原点的距离最远
D.t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
解析：将题中a－t图像转化为如图所示的v－t图像，可以看出0～3t0时间内，质点P一直沿着正方向运动，t＝2t0时P未回到原点，A错误.t＝2t0时，P的运动速度最小，B正确.t＝3t0时，P到原点的距离最远，C错误.t＝t0时P的运动速度与t＝t0时相同，D正确.
深化　　对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量关系来分析图像、截距、面积的含义.
图像 类型 图像 重要信息
－t 图像 由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵截距为初速度v0
v2－x 图像 由v2－＝2ax得v2＝＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为
a－x 图像 根据v2－＝2ax知，图像与横轴所围面积表示
v－x 图像 对匀变速直线运动，由v2－＝2ax可得v＝或x＝v2－
角度1　对－t图像的理解
例3　一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始的质点的－t图像（x为位移），可以推知（　B　）
A.质点做匀减速运动
B.加速度的大小是1 m/s2
C.t＝2 s时的速度是1 m/s
D.t＝2 s时位移是3 m
解析：由题意可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速直线运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，代入数据得v2＝3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移x2＝4 m，故D项错误.故选B.
角度2　对v－x图像的理解
例4　汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果.实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h.根据如图所示的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于（　A　）
A.4∶3 B.3∶4
C.3∶2 D.2∶3
解析：根据v2＝2ax得a＝，因为初速度相等时，刹车的距离之比为3∶4，则平均加速度之比a有∶a无＝4∶3，故A正确.
角度3　对v2－x图像的理解
例5　a、b两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动.如图甲所示是a做匀加速直线运动的x－t图像，如图乙所示是b做匀减速直线运动的x－v2图像.则下列说法正确的是（　B　）
甲　乙
A.t＝1.25 s时两物体速度相等
B.前1 s内两物体间距离一直在变大
C.t＝0时刻，a的速度为2 m/s，b的速度为8 m/s
D.a的加速度大小为4 m/s2，b的加速度大小为8 m/s2
解析：a做匀加速直线运动，由位移时间公式可知xa＝v0at＋a1t2，将题图甲中数据代入公式可得v0a＝0，a1＝4 m/s2；b做匀减速直线运动，由速度位移公式v2－＝2ax，可得x＝v2－，则乙中图像斜率为，纵轴的截距为－，由此可得v0b＝8 m/s，a2＝－4 m/s2.t＝1.25 s时，va＝a1t＝5 m/s，vb＝v0b＋a2t＝3 m/s，A错误；代入公式可得t＝1 s时，va1＝vb1＝4 m/s，由于a加速，b减速，且0～1 s内，a的速度始终小于b的速度，故两物体间距离一直在变大，B正确；由以上分析可知，t＝0时刻，a的速度为0，加速度大小为4 m/s2，b的速度为8 m/s，加速度大小为4 m/s2，C、D错误.
角度4　对a－x图像的理解
例6　（2025·安徽亳州模拟）放在水平面上的物体，在水平力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图像如图所示.下列说法中正确的是 （　B　）
A.0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做减速直线运动
B.位移为x1时，物体的速度大小为
C.位移为x2时，物体的速度达到最大
D.物体的最大速度为
解析：0～x2过程中加速度不变，所以物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中加速度方向不变，依然与速度同向，故物体仍做加速直线运动，位移为x3时，物体的速度达到最大，A、C错误；由位移与速度公式可得2a0x1＝，解得位移为x1时，物体的速度大小为v1＝，B正确；由位移与速度公式可得＝ax，故a－x图像的面积表示，则物体在位移为x3时，有a0＝，则最大速度为vm＝，D错误.
@限时跟踪检测（三）　运动图像问题
A级·基础对点练
题组一　运动学常规图像的理解和应用
1.（2023·江苏卷）电梯上升过程中，某同学用智能手机记录了电梯速度随时间变化的关系，如图所示.电梯加速上升的时段是（　A　）
A.从20.0 s到30.0 s
B.从30.0 s到40.0 s
C.从40.0 s到50.0 s
D.从50.0 s到60.0 s
解析：因电梯上升，由速度—时间图像可知，电梯加速上升的时间段为20.0 s到30.0 s.故选A.
2.（多选）甲、乙、丙三个质点在同一直线上运动的x－t图像如图所示，其中质点丙的图线为抛物线，则下列说法正确的是（　AD　）
A.甲、乙两质点均做匀速直线运动，且速度大小相等
B.甲质点做匀加速直线运动，乙质点做匀减速直线运动，两者的加速度大小相等
C.在t＝5 s时，甲、乙两质点相距最近
D.丙质点做匀加速直线运动
解析：x－t图像中图线在某点的切线的斜率表示在该点的瞬时速度，斜率的正负表示速度方向，由题图可知甲、乙两质点的速度大小相等、方向相反，且两质点均做匀速直线运动，A正确，B错误；由题图可知，在t＝5 s时，甲、乙位移之差最大，故两质点相距最远，C错误；丙的图线为开口向上的抛物线对称轴右侧的一部分，根据匀加速直线运动的位移—时间图像规律可知，丙做匀加速直线运动，D正确.
3.某个量D的变化量为ΔD，ΔD与发生这个变化所用时间Δt的比值叫作这个量的变化率.关于“加速度的变化率”，下列说法正确的是（　D　）
A.“加速度的变化率”的单位是m/s2
B.“加速度的变化率”为零的运动是匀速直线运动
C.若加速度与速度同向，且a－t图像如图所示，则物体的速度在减小
D.若加速度与速度同向，a－t图像如图所示，已知物体在t＝0时速度为5 m/s，则第2 s末的速度大小为7 m/s
解析：由题意可知加速度的变化率为，所以其单位是＝m/s3，A说法错误；加速度的变化率为零表示加速度不变，所以“加速度的变化率”为零的运动是匀变速直线运动，B说法错误；若加速度与速度同向，由题图可知，物体做加速度减小的加速运动，物体的速度在增大，C说法错误；若加速度与速度同向，由题图知，物体在0～2 s内速度的变化量Δv＝＝2 m/s，已知物体在t＝0时速度为5 m/s，则第2 s末的速度大小vt＝v0＋Δv＝5 m/s＋2 m/s＝7 m/s，D说法正确.
4.（2025·清远高三教学质量检测）2024年巴黎奥运会女子3米跳板跳水决赛，中国选手夺得金牌，中国队在该项目上取得十连冠.图甲所示是运动员触水瞬间照片.图乙所示是某同学分析该运动员离开跳板开始计时画出的v－t图像，图像中仅0～t2段为直线.不计空气阻力，则图甲对应的时刻应为（　B　）
A.t1 B.t2 C.t3 D.t4
解析：根据题意，运动员先做竖直上抛运动，到达最高点速度为零，即t1时刻到达最高点，接下来做自由落体运动，图线的斜率不变，当运动员与水面接触时，受到向上的水的阻力，加速度开始减小，但加速度仍然向下，速度增大，所以运动员与水面接触的时刻为t2，当阻力增大到与重力相等时，运动员的速度达到最大，之后阻力大于重力，运动员开始做减速运动，直到最低点速度减为零.故选B.
题组二　运动学非常规图像的理解和应用
5.（2025·广西南宁二模）小明到汽车站时，汽车已经沿平直公路驶离车站.假设汽车司机听到呼喊后立即刹车，汽车做匀减速直线运动，小明同时以4 m/s的速度匀速追赶汽车.已知汽车开始刹车时距离小明12 m，汽车在刹车过程中的－t图像（x为t时间内的位移）如图所示，则小明追上汽车所用时间为（　C　）
A.4 s B.6 s
C.7 s D.8 s
解析：根据匀变速直线运动公式有x＝v0t－at2，变形可知＝v0－at，结合图像的斜率与截距可知v0＝8 m/s，a＝ m/s2＝1 m/s2，解得a＝2 m/s2，汽车停止的时间为t0＝＝4 s，根据位移关系可知vt－（v0t－ at2）＝L，解得t＝6 s＞t0，则小明在汽车停止后才追上汽车，t0时间内小明和汽车的位移分别为x1＝vt0＝16 m、x2＝t0＝16 m，此后小明还需运动12 m才能追上汽车，所用时间为t'＝＝3 s，则共用时t总＝t0＋t'＝7 s，C正确.
6.（2025·江苏连云港调研）L4级自动驾驶属于“高度自动驾驶”，除了某些特殊情况一般无需人类干预.如图所示，一辆L4级无人驾驶汽车在测试过程中速度随位移变化的图像为开口向左的抛物线的一部分.下列说法正确的是（　D　）
A.汽车做匀加速直线运动
B.汽车做匀变速曲线运动
C.x＝0时汽车的速度大小为2 m/s
D.图示过程中汽车的加速度大小为0.5 m/s2
解析：根据速度与位移关系式有v2＝2ax＋，由于速度随位移变化的图像为开口向左的抛物线的一部分，则a＜0，且保持不变，则汽车做匀减速直线运动，当x＝0时，有v0＝4 m/s，故A、B、C错误；由题图可知，当v＝0时，x＝16 m，则有＋2ax＝0，解得a＝－0.5 m/s2，即汽车的加速度大小为0.5 m/s2，故D正确.
7.（2025·河北唐山一模）A、B两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示，A物体做匀速直线运动，速度大小为v0.B物体的速度与位移关系图像为过原点开口向右的抛物线.两图像交点坐标为（x1，v0），下列说法正确的是（　A　）
A.出发后，A、B两物体相遇时B物体的速度大小为2v0
B.A、B两物体在距坐标原点x1处相遇
C.B物体在x1处的加速度a＝
D.B物体做加速度减小的加速运动
解析：B物体的速度与位移关系图像为过原点开口向右的抛物线，故速度与位移满足关系v2＝2ax，因此B物体做匀加速直线运动，D错误；由题图知A物体做速度为v0的匀速直线运动，B物体做初速度为0的匀加速直线运动，B图线过点（x1，v0），把此数据代入v2＝2ax，可得B物体的加速度为a＝，假设两物体经过时间t相遇，根据相遇时位移相同，有v0t＝at2，解得t＝，此时B物体的速度vB＝at＝2v0，A正确，C错误；根据A物体做匀速直线运动，可得两物体相遇时的位移为x＝v0t＝4x1，B错误.
B级·能力提升练
8.（2025·绵阳高中诊断性考试）从地面以一定的初速度竖直向上抛出一物体，竖直方向有空气阻力，则下列位移—时间图像和速度—时间图像描写的运动可能与该物体运动过程情况相符的是（　A　）
解析：由于竖直方向有空气阻力，可知物体运动过程的机械能逐渐减小，可知经过同一位置时，下落过程的速度一定小于上升过程的速度，则物体上升过程的平均速度一定大于下落过程的平均速度，物体上升过程所用时间小于下落过程所用时间，根据s－t图像的切线斜率绝对值表示速度大小，上升过程做减速运动，所以s－t图像的切线斜率逐渐减小，下落过程做加速运动，所以s－t图像的切线斜率逐渐增大，故A正确，B错误；上升过程做减速运动，下落过程做加速运动，上升过程和下落过程速度方向相反，且回到初位置时的速度小于抛出时的初速度，故C、D错误.故选A.
9.（2025·黑龙江齐齐哈尔模拟）A、B两辆汽车同时同地沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方（v2）随位移（x）的变化规律如图所示，下列说法正确的是（　B　）
A.汽车A的加速度大小为6 m/s2
B.汽车B的加速度大小为1.5 m/s2
C.汽车B在x＝4 m处的速度大小为12 m/s
D.汽车A、B在x＝4 m处相遇
解析：根据匀变速直线运动的速度—位移关系式v2－＝2ax，整理得v2＝＋2ax，即v2－x图像的斜率k＝2a，纵截距为，由题图可知，2aA＝ m/s2＝－6 m/s2，2aB＝ m/s2＝3 m/s2，解得aA＝－3 m/s2，aB＝1.5 m/s2，故A错误，B正确；汽车B在x＝4 m处的速度大小为＝2aBx，解得v4＝2 m/s，故C错误；由题图可知，在0～4 m内，A的速度始终大于B的速度，所以两车不会在x＝4 m处相遇，故D错误.
10.（2025·南充高考适应性考试）如图（a）所示，为了测试智能汽车自动防撞系统的性能，智能汽车在水平面匀速直线前行，通过激光雷达和传感器检测到车头正前方26 m处有静止障碍物时，系统立即自动控制汽车，使之做加速度大小为a1的匀减速直线运动，并向驾驶员发出警告，驾驶员在此次测试中未进行任何操作，汽车继续前行至某处时自动触发“紧急制动”，即在切断动力系统的同时提供阻力使汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动，最终该汽车恰好没有与障碍物发生碰撞.全程汽车速度的平方随位移变化的图像如图（b）所示.
（1）测试汽车在两个阶段的加速度a1、a2分别为多大？
（2）测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为多少？
答案：（1）1 m/s2　4 m/s2
（2）4 s
解析：（1）根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有v2－＝2ax
可知图像的斜率k＝2a
解得a1＝－1 m/s2，a2＝－4 m/s2
所以测试汽车在两个阶段的加速度大小分别为1 m/s2、4 m/s2.
（2）汽车做加速度大小为a1的匀减速直线运动所用时间t1＝＝ s＝2 s
汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动所用时间t2＝＝ s＝2 s
故测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为t＝t1＋t2＝2 s＋2 s＝4 s.
专题二　追及、相遇问题
素养目标　1.掌握处理追及、相遇问题的方法和技巧.（物理观念） 2.会在图像中分析追及、相遇问题.（科学思维） 3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及、相遇的综合问题.（科学思维）
追及、相遇问题
考题1　（2021·海南卷）（多选）甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间（x－t）图像和速度—时间（v－t）图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是 （　BC　）
解析：甲、乙同一时刻从同一位置出发，t0前能再次相遇，说明t0前存在位移相等的时刻，反映到x－t图像中就是图线有交点，反映到v－t图像中就是图线与时间轴所围的“面积”相等，即位移相等.A项图中，甲、乙在t0时刻之前图线没有交点，即两人在t0时刻之前不能再次相遇，A错误；B项图中，甲、乙在t0时刻之前图线有交点（同一时刻到达同一位置），即两人在t0时刻之前能再次相遇，B正确；C项图中，甲、乙在t0时刻之前图线与时间轴所围的“面积”有相等的时刻，即两人能再次相遇，C正确；D项图中，t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，故两人不能再次相遇，D错误.
考题2　（2024·湖南卷）（多选）如图所示，光滑水平面内建立直角坐标系xOy.A、B两小球同时从O点出发，A球速度大小为v1、方向沿x轴正方向，B球速度大小为v2＝2 m/s、方向与x轴正方向夹角为θ.坐标系第一象限中有一个挡板L，与x轴夹角为α.B球与挡板L发生碰撞，碰后B球速度大小变为1 m/s，碰撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同，且分别位于法线两侧.不计碰撞时间和空气阻力，若A、B两小球能相遇，下列说法正确的是 （　AC　）
A.若θ＝15°，则v1的最大值为 m/s，且α＝15°
B.若θ＝15°，则v1的最大值为 m/s，且α＝0°
C.若θ＝30°，则v1的最大值为 m/s，且α＝0°
D.若θ＝30°，则v1的最大值为 m/s，且α＝15°
解析：设O点到挡板上碰撞点P的距离为x1，A、B两小球在Q点相遇，B与挡板碰撞后的位移为P、Q之间的距离x2，A的位移为O、Q之间的距离x3，如图所示，在△OPQ中，∠O＝θ，∠Q＝θ＋2α，∠P＝π－2θ－2α，由正弦定理得＝＝，小球B碰撞前的速度大小v2＝2 m/s，碰撞后的速度大小v'2＝1 m/s，则小球A、B从出发到相遇的时间t＝＋，则小球A的速度v1＝，联立解得v1＝，将θ＝15°、α＝15°代入验证得v1＝ m/s，A正确；同理可知C正确，B、D错误.
深化1　　二者距离变化与速度大小的关系
（1）无论v甲增大、减小或不变，只要v甲＜v乙，甲、乙间的距离就不断增大.
（2）若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变.
（3）无论v甲增大、减小或不变，只要v甲＞v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小.
深化2　　分析思路
可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”：
（1）一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点.
（2）两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.
深化3　　常用分析方法
（1）情境归纳分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.
（2）函数分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况.
①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ＜0，说明追不上或不能相遇.
（3）图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图像中画出，然后利用图像分析、求解相关问题.
思维模型　追及、相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置.追及、相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例.
角度1　情境分析法
例1　（2025·山东泰安期中）A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s.当B车运动至A车前方L＝7 m处时，B车刹车并以a＝－2 m/s2的加速度开始做匀减速直线运动.求：
（1）从该时刻开始计时，A车追上B车需要的时间；
答案：（1）8 s
解析：（1）假设A车追上B车时，B车还没停止运动，设t'时间内A车追上B车，如图所示
根据题意，A车追上B车，需要通过位移xA＝xB＋L
A车的位移是xA＝vAt'
B车的位移是xB＝vBt'＋at'2
联立解得t'＝7 s
但B车停下来所用时间tB＝＝ s＝5 s
比较t'和tB可知，A车是在B车停止运动后才追上B车的，因此7 s不是A车追上B车的时间，设A车追上B车的时间为t，即xA＝vAt
B车实际运动时间应为tB，即xB＝vBtB＋a
联立解得t＝8 s.
（2）在A车追上B车之前，二者之间的最大距离.
答案：（2）16 m
解析：（2）在A车追上B车之前，当二者速度相等时，二者之间有最大距离Δxmax，设此时两车运动时间为t0，有vA＝vB＋at0
代入数据解得t0＝3 s
则此时A的位移x'A＝vAt0
B的位移x'B＝vBt0＋a
故二者之间的最大距离Δxmax＝x'B＋L－x'A
联立解得Δxmax＝16 m.
训练1　甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是（　D　）
A.从出发到相遇，甲的位移为6 m
B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
解析：由x＝v0t＋at2可得甲从出发到相遇的位移为8 m，A错误；2 s相遇时甲的速度由v＝v0＋at可得v甲＝6 m/s，同理可得v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲，可知2 s后乙的速度始终大于甲，不会再次相遇，B错误；由x＝v0t＋at2可得从出发到相遇，甲、乙的位移分别为x甲＝8 m，x乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为x乙－x甲＝2 m，C错误；分析可知甲、乙速度相等的时刻相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确.
角度2　函数分析法
例2　（2025·天津一中模拟）一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案：（1）5 m/s2
（2）1 m/s2
解析：（1）设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距
d'＝d－（v汽－v自）t'＝10 m
从汽车刹车开始计时，自行车的位移为x自＝v自t
汽车的位移为x汽＝v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d'
代入数据整理得at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2，则汽车的加速度大小至少为5 m/s2.
（2）设自行车的加速度为a'，同理可得x'汽＝x'自＋d'
其中x'汽＝v汽t－at2，x'自＝v自t＋a't2
整理得（a'＋2）t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a'－80≤0
解得a'≥1 m/s2，则自行车的加速度至少为1 m/s2.
训练2　（2025·广东汕头质检）某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶.求：
（1）赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
（2）赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
（3）追上之前两车的最大距离.
答案：（1）6 m/s
（2）20 s　40 m/s
（3）225 m
解析：（1）赛车出发3 s末的瞬时速度大小为v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
（2）设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝a1，
解得t2＝20 s，此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s.
（3）Δx＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2
当t＝＝ s＝5 s时，Δx有极值，相距最远，将t＝5 s代入解得Δxmax＝225 m.
角度3　图像法
例3　甲、乙两车在一条平直的公路上同向行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图（a）所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图（b）所示.下列说法正确的是（　D　）
A.甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2 m/s2
B.乙车做匀速直线运动，速度大小为5 m/s
C.t＝6 s时甲车追上乙车
D.甲、乙两车相距最近为2 m
解析：v－t图像的斜率的绝对值表示加速度大小，所以甲车做匀变速直线运动的加速度大小为a＝ m/s2＝1 m/s2，选项A错误；x－t图像的斜率的绝对值表示速度大小，所以乙车做匀速直线运动，速度大小为v＝ m/s＝4 m/s，选项B错误；由于甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，且甲在后面追乙，所以当两车速度相等时距离最小，若此时甲车未追上乙车，则之后也不可能追上乙车，设经过时间t甲、乙速度相等，则有v＝v0－at，解得t＝6 s，此时两车之间的距离为Δx＝vt＋x0－（v0t－at2）＝2 m，故C错误，D正确.
训练3　A、B两个物体（可以看作质点）沿x轴正方向运动，其中A物体从坐标原点由静止开始运动，它的位置坐标随时间的变化关系如图1所示（曲线为抛物线，原点为抛物线的顶点），B物体从x0＝12 m处开始运动，速度—时间图像如图2所示.下列说法中正确是（　C　）
A.B的加速度大于A的加速度
B.相遇前A、B距离最大时，A的速度为8 m/s
C.在t＝6 s时，A、B相遇
D.A、B可能相遇两次
解析：设A的加速度为a1，由题图1可知，A做初速度为零的匀加速直线运动，由x＝a1t2，解得a1＝3 m/s2；设B的加速度为a2，由题图2可知，v＝v0＋a2t，v0＝4 m/s，解得a2＝1 m/s2，所以a1＞a2，A错误；当A、B速度相等时，A、B距离最大，即vA＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝2 s，vA＝6 m/s，B错误；当A、B相遇时，位移关系为xA＝xB＋x0，xA＝a1，xB＝v0t2＋a2，联立解得t2＝6 s，C正确；A追上B时A的速度大于B的速度，且A的加速度大于B的加速度，所以A、B只能相遇一次，D错误.
@限时跟踪检测（四）　追及、相遇问题
A级·基础对点练
题组一　情境分析法
1.一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为（　A　）
A.21.6 km/h B.18 km/h
C.16 km/h D.12 km/h
解析：轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝，t＋22 m＝v货t＋120 m，解得v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误.
2.（2025·重庆巴蜀中学模拟）A、B两列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s，当B车发现A车时就立刻刹车.已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1 800 m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定.为保证两列车不相撞，则能见度至少要达到（　A　）
A.800 m B.1 000 m C.1 200 m D.1 600 m
解析：B车以30 m/s的初速度刹车减速到0位移为1 800 m，由速度位移公式v2－＝2ax，代入数据可得B车的加速度a＝－0.25 m/s2.两车不相撞的临界情况是B车追上A车时，速度恰好相等，这种情况下有vB＋at＝vA，代入数据求得t＝80 s，A车位移xA＝vAt＝800 m，B车位移xB＝vBt＋at2＝1 600 m，二者的位移差为d＝｜xA－xB｜＝800 m.故为保证两车不相撞，能见度至少要达到800 m，A正确.
一题多解：作出A、B两车的v－t图像如图所示，两车不相撞，临界状态是共速时相遇，即交点时相遇，从图像可以求出二者相遇时经过的时间为80 s，图中阴影三角形的面积表示共速时二者的位移差，即能见度的最小值d＝×80×（30－10） m＝800 m，故A正确.
题组二　函数分析法
3.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为（　B　）
A.s B.2s C.3s D.4s
解析：两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝，刹车位移为s＝，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x＝v0t＝，所以x＝2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为Δx＝x＋s－s＝x＝2s，故B正确，A、C、D错误.
4.（2025·山东潍坊联考）一辆值勤的警车停在平直的公路边，当警员发现从他身边经过的以15 m/s匀速行驶的货车有货物坠落迹象时，决定前去提醒.经过2 s后警车启动，并以3 m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度不能大于21 m/s，则警车（　B　）
A.启动后7 s末与货车间距离最大
B.与货车间的最大距离67.5 m
C.在达到最大速度前能追上货车
D.启动后15 s末追上货车
解析：当两车速度相等时，两车间的距离达到最大，即at1＝v货，解得t1＝ s＝5 s，所以当警车启动后5 s末两车间的距离达到最大，A错误；两车间的最大距离为xm＝x货－x警＝v货（t0＋t1）－a＝15×7－×3×52 m＝67.5 m，B正确；根据速度—时间关系可得t2＝＝ s＝7 s，此时货车的位移为x'货＝v'（t0＋t2）＝15×9 m＝135 m，警车的位移为x'警＝a＝×3×72 m＝73.5 m＜x'货，由此可知，当警车速度达到最大时，还未追上货车，C错误；当警车追上货车时，两物体的位移相等，即v货（t＋t0）＝a＋vm（t－t2），代入数据解得t＝17.25 s，所以当警车启动后17.25 s末追上货车，D错误.
题组三　图像法
5.（2025·重庆第八中学检测）一运动员将静止的足球沿边线向前踢出，足球获得12 m/s的初速度，同时该运动员沿边线向前追赶足球，速度v随时间t的变化规律如图所示.已知足球停下时该运动员刚好追上足球，则足球的加速度大小与运动员加速阶段的加速度大小之比为（　B　）
A.4∶3 B.3∶4
C.4∶5 D.7∶9
解析：设运动员加速时间为t1，追上时两者位移相等，即v－t图像与t轴所围面积相等，有×12×t2＝×8×t1＋8×（t2－t1），解得t2＝2t1，则加速度之比＝＝＝，故选B.
6.（多选）如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54 km/h.当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是（　BC　）
A.A车运动的加速度大小为1 m/s2
B.t＝3.5 s时，两车的速度相同
C.A车追上B车的最短时间为7.2 s
D.两车相遇两次
解析：由匀变速直线运动规律可知x＝v0t＋at2，由题图乙可知，当t＝2 s时x＝10 m，当t＝5 s时x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误；由题图乙可知B车匀速运动的速度vB＝ m/s＝10 m/s，由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正确；A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由vmax＝v0＋at0，可知A车的加速时间t0＝6 s，A车追上B车满足vBt＝v0t0＋a＋vmax（t－t0），解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C正确，D错误.
7.我国是世界上电动汽车生产大国，电动汽车与人工智能相结合，是未来自动驾驶技术趋势.在测试一款电动汽车的自动驾驶功能时，挑选两辆汽车a和b在同一直线路段进行测试，测试开始时两辆汽车并排同时启动，两车运动的v－t图像如图所示，则下列说法正确的是（　D　）
A.两车启动后b在前，a在后，a追赶b
B.相遇前，两车之间的最大距离为v0t0
C.a在前t0时间内的平均速度比b在前2t0时间内的平均速度大
D.a、b两车在（2＋）t0时刻相遇
解析：两车启动后，由于a的速度一开始大于b的速度，所以a在前，b在后，b追赶a，故A错误；根据v－t图像可知，2t0时刻，两车速度相等，此时为b追上a前两车之间的最大距离，根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移大小，可知相遇前，两车之间的最大距离为Δxmax＝v0t0，故B错误；根据v－t图像可知，a在前t0时间内的平均速度为＝，b在前2t0时间内的平均速度为＝，可知a在前t0时间内的平均速度与b在前2t0时间内的平均速度相等，故C错误；在2t0时刻，两车速度相等，此时两车相距Δxmax＝v0t0，设在经过t时间，b追上a，则有Δxmax＝xb－xa＝v0t＋abt2－v0t，其中b的加速度为ab＝，联立解得t＝t0，则a、b两车在（2＋）t0时刻相遇，故D正确.故选D.
B级·能力提升练
8.（2025·辽宁一模）清晨， 一对父女沿平直公路晨跑，父女俩均以2 m/s的速度匀速运动，女儿在父亲前面8 m处，父亲带着的手机播放音乐，女儿用蓝牙耳机收听；某时刻女儿开始以1 m/s2的加速度匀加速奔跑，速度达到6 m/s后继续匀速运动.若蓝牙耳机连接信号的最大距离为200 m，则女儿开始加速运动多长时间后不能收听到音乐（　D　）
A.25 s B.44 s
C.48 s D.50 s
解析：在两者间距达到200 m后，女儿不能收听到音乐，则t1＝＝4 s，根据s＝（v0＋vm）t1＋vm（t－t1）＋s0－v0t＝200 m，解得t＝50 s，故选D.
9.“边路传中，中路抢点打门”是足球比赛中常见的进攻战术，而这种战术需要球员间有良好的配合.在某次训练中，运动员甲正在沿着边线从A点向B点以5 m/s的速度匀速带球，带至B点后立即将球以20 m/s的速度平行底线向C点踢出（忽略运动员踢球的时间），之后足球以2 m/s2的加速度开始做匀减速运动.运动员乙则一直在D点观察着甲的运动情况，合适的时机出现后，乙开始向C点先以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速运动，当达到10 m/s后开始做匀速直线运动，最终和足球同时到达C点，乙在C点完成射门.已知：AB＝40 m，BC＝36 m，CD＝20 m.求：
（1）运动员乙从D到C的运动时间；
（2）运动员乙需要在甲运动员运动到距离A点多远时出发.
答案：（1）3 s
（2）35 m
解析：（1）乙从D跑至C过程中
加速阶段时间t1＝＝2 s
匀速阶段时间t2＝＝1 s
故乙从D到C运动时间t＝t1＋t2＝3 s.
（2）甲带球至B点时间t3＝＝8 s
球从B运动到C的时间t4为xBC＝v球t4－a球
解得t4＝2 s
则乙开始运动比甲晚的时间为t'＝t3＋t4－t＝7 s
乙开始运动时，甲距离A点的距离为x＝v甲t'＝35 m.
10.边防武警追捕逃犯的过程可以模拟为如下情境.如图所示，B为武警车，车上装有测速仪，测速仪安装有超声波发射和接收装置，已知声速v＝340 m/s，A为逃犯汽车，两者静止且相距335 m，B距边境线5 000 m.某时刻B发出超声波，同时A由静止开始做匀加速直线运动向边境逃窜.当B接收到反射回来的超声波信号时A、B相距355 m，同时B由静止开始做匀加速直线运动追赶A.已知A的最大速度为30 m/s，B的最大速度为40 m/s.问：
（1）A的加速度多大？
（2）B的加速度至少多大才能在境内追上A？
答案：（1）10 m/s2
（2） m/s2
解析：（1）设超声波从发射到追上A车的时间为t1，此段时间A车的位移为x1，超声波从A车反射到被接收装置接收到的时间为t2，此段时间A车的位移为x2，则t1＝t2＝T，
x1∶x2＝1∶3，x1＋x2＝20 m，
解得x1＝5 m，x2＝15 m，
则T＝＝1 s，
解得aA＝＝10 m/s2.
（2）A车加速到最大速度的时间
tA1＝＝3 s，
位移xA1＝tA1＝45 m，
匀速运动到边境线的时间
tA2＝＝154 s，
从A运动开始，若B车在边境线恰好追上A车，则B车运动到边境线的时间
tB＝tA1＋tA2－2T＝155 s，
设B车加速到最大速度的时间为tB1，B车匀速运动到边境线的时间为tB2，
tB1＋tB2＝tB，
tB1＋vBtB2＝5 000 m，
解得tB1＝60 s，
则B车的加速度大小至少为
aB＝＝ m/s2.
实验一　测量做直线运动物体的瞬时速度
素养目标　1.会正确使用打点计时器，学会利用纸带上的点迹求物体的速度和加速度. 2.掌握判断物体是否做匀变速直线运动的方法.
@一、教材原型实验
一、教材原型实验
考题1　（2022·北京卷）某同学利用自由落体运动测量重力加速度，实验装置如图1所示，打点计时器接在频率为50.0 Hz的交流电源上.使重锤自由下落，打点计时器在随重锤下落的纸带上打下一系列点迹.挑出点迹清晰的一条纸带，依次标出计数点1、2、…、8，相邻计数点之间还有1个计时点.分别测出相邻计数点之间的距离x1、x2、…、x7，并求出打点2、3、…、7

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