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1.4.1角平分线的性质
湘教版·八年级数学下册
复习导入
一
思考：
(1)角平分线的定义是怎样的
探究新知一
一
一：折一折
把∠AOB的纸片对折OA和OB边重合，然后展开，这条折痕所在的射线为这个角的________
二：量一量
重合后，再将纸片折叠，使O点在落在OA边上，再展开得到两边折痕，量一量这两条边折痕以及分别与∠AOB两边OA，OB形成的夹角度数
平分线
已知：OC平分∠AOB，点P在 OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证：PD=PE
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
证明：∵OC平分∠AOB , ∴ ∠1=∠2
∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO= 90°.
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO
∠1=∠2
OP=OP（公共边）
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD= PE.
A
D
O
P
C
E
B
图1-26
1
2
总结归纳
角平分线上的点到角的两边的距离相等
几何语言：
∵ OC平分∠AOB且PD⊥OA， PE⊥OB
∴PD=PE
(角平分线上的点到角两边的距离相等）
A
D
O
P
C
E
B
1
2
A
C
O
P
D
B
1（怀化中考）：如图所示所示,OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB,
垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
B
小试牛刀
一
2.△ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是__________
A
B
C
D
∟
3
探究新知二
一
角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线的性质定理:
那么：
如果：
一个点在角的平分线上
这个点到角的两边的距离相等
角的内部
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD=PE
求证：点P在∠AOB的平分线上
证明：如图1-27，过点O，P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO= 90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP
PD=PE
∴Rt△PDO≌Rt△PEO （HL）
.∴∠1=∠2
∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
D
E
P
C
1
2
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB, PD＝PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上
(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
总结归纳
P
A
D
O
C
E
B
例题解析
一
如图 ∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
(1)求证: 点B在∠ADC的平分线上;
(2)求证: BD平分∠ABC.
3
4
【教材P23】
证明：（1）在△ABC中，
∵∠l=∠2，∴BA = BC.
又BA⊥AD， BC⊥CD，
∴点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵BA=BC，BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)
∴∠3=∠4
∴BD平分∠ABC.
3
4
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F， BD=CD. 求证: AB=AC.
证明：∵AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD=CD，
∴ Rt△BED≌Rt△CFD（HL)
∴∠B=∠C. ∴AB=AC (等角对等边).
变式练习
一
如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离
公路和铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的位置
(比例尺为1∶20000).
解：
500÷20000=0.025m,
0.025m=2.5cm
图上距离为2.5cm.
E
F
C
P
点P即为所求．
问题解决
一
【教材P26】
1.角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
课堂小结
一

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