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9.3.1 分式方程
知识回顾
分式的混合运算顺序：
分式的加、减、乘、除乘方混合运算
与分数的混合运算类似，
再乘除，后加减.
也是先乘方，
如果有括号，先进行括号里的运算.
课前热身
1、想一想，这是什么方程？
2、什么叫一元一次方程？
只含有一个未知数(元)，
一元一次方程
未知数的次数都是1，
且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.
解方程：
x
2
1-
x+6
6
=
课前热身
解方程：
x
2
1-
x+3
6
=
解：
去分母，得
6-(x+3)=3x
去括号，得
6-x-3=3x
移项，得
-x-3x=-6+3
合并同类项，得
-4x=-3
系数化为1，得
x=
3
4
那么提速后的速度为 (1+25%)x km/h.
探究新知
为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行的速度.在相距 1600 km 的两地之间运行一列车，速度提高 25% 后，运行时间缩短了 4 小时，你能求出列车提速前的速度吗？
解：设该列车提速前的速度为 x km/h，
根据题意，得
1600
(1+25%)x
1600
x
-
= 4
探究新知
思考：想一想，这两个方程有何异同？
1600
(1+25%)x
1600
x
-
= 4
x
2
1-
x+6
6
=
分式方程
整式方程
探究新知
1600
(1+25%)x
1600
x
-
= 4
x
2
1-
x+6
6
=
分式方程
整式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
以前学过的分母中不含有未知数的方程叫做整式方程.
分式方程与整式方程的区别：
分母中不含未知数的方程是整式方程.
分式方程和整式方程的根本区别
在于分母中是否含有未知数，
分母中含有未知数的方程是分式方程，
对应练习
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
y-3
2
6-
y-2
6
=
(1)
3
4-x
4
x+2
(2)
=
x2
x
1
(3)
=
1
x+2
1
y-3
(5)
=
3y+1
2y-2
+4
(4)
x
a
(6)
-2=x
(a为非零常数)
整式方程
分式方程
分式方程
代数式
分式方程
整式方程
下面我们一起研究下如何解分式方程：
解：
方程两边同乘以最简公分母 (20+x)(20-x) ，得
100(20-x)=60(20+x)
解得
x=5
检验：
左边=
100
20+5
=4
右边=
60
20-5
=4
所以 左边=右边
，
，
所以x=5是原分式方程的解.
把 x=5 代入分式方程中，
60
20-x
100
20+x
=
整式方程
转化
下面我们一起研究下如何解分式方程：
60
20-x
100
20+x
=
整式方程
转化
解分式方程的基本思路：
方程两边同乘最简公分母.
是将分式方程化为整式方程，
具体做法是“去分母”
即
这也是解分式方程的一般方法.
探究新知
x=3 是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，
解方程 ，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
1
3-x
2-x
x-3
=
-2
解：方程两边同乘以最简公分母 (x-3) ，得
2-x=-1-(x-3)
解得
x=3
把 x=3 代入检查时，
方程中分式的分母为零，
分式
所以 x=3 不是原方程的根，
原方程无解.
但不是原方程的根.
无意义，
像x=3这样的根，称为 .
增根
原分式方程出现无意义的分式，
从而整式的方程的根不是分式方程的根，
未知数的取值范围扩大了.
去分母时， 分式方程两边同乘以最简公分母化为整式方程后，
探究新知
解分式方程时常产生增根，
增根是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根.
我们把这样的根叫做增根.
当求得的整式方程的根使原分式的最简公分母为零，
想一想为什么会产生增根？
增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的，
解分式方程时常产生增根，
增根是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根.
探究新知
分式方程的增根必须满足什么的条件？
增根必须满足两个条件
① 增根一定是所化整式方程的根.
② 增根必须是使最简公分母为 0 的根.
解分式方程时可能产生增根，所以必须验根.
看它的值是否为 0，
怎样检验所得整式方程的根是否是原分式方程的解？
把整式方程的根代入最简公分母中，
探究新知
使最简公分母不为 0 的根是原方程的根，
使最简公分母为 0 的根是原方程的增根，
必须舍去.
公分母检验法比较简单，因此被广泛地采用.
这种检验方法叫公分母检验法.
x
3-x
x-1
x+3
=
-2
例 1 解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母 (x+3)(3-x) ，得
(x-1)(3-x)-2(x+3)(3-x)=x(x+3)
解得
x=21
检验：
当 x=21 时，
最简公分母 (x+3)(3-x)
(1)
≠0.
所以 x=21 是原分式方程的根.
例 1 解方程：
4
x2-1
x+1
x-1
=
1
解：
方程两边同乘以最简公分母 (x+1)(x-1) ，得
(x+1)2-4=(x+1)(x-1)
解得
x=1
检验：
当 x=1 时，
最简公分母(x+1)(x-1)
-
(2)
=0.
所以 x=1 是增根.
所以原分式方程无解.
归纳总结
解分式方程的一般步骤：
① 去分母：
② 解这个整式方程.
③ 检验：
在方程的两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.
把整式方程的根代入最简公分母中，看它的值是否为 0，使最简公分母不为 0 的根是原方程的根，使最简公分母为 0 的根，是原方程的增根，必须舍去.
④ 写出原分式方程的根.
简记为：“一化，二解，三检验”.
1、解方程：
巩固练习
x+2
x-6
x
x-4
=
(1)
1
3-x
2-x
x-3
=
(2)
-2
1、解方程：
巩固练习
1
x2-4
4
x2+2x
=
+
(4)
6
x2-2x
1
x
4
x2-2x
=
+
(3)
2
x-2
3、已知关于 x 的分式方程 的解为正数，则 k 的取值范围是( )
巩固练习
x
x-2
-4=
k
2-x
A.-8B.k>-8，且 k≠-2
C.k>-8，且 k≠2
D.k<4，且 k≠-2
B
2、关于 x 的方程 的解是正数，求 a 的取值范围.
巩固练习
2x+a
x-3
= 1
方法总结：
根据分式方程解的范围求字母取值范围的方法：
求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
4、关于 x 的方程 有增根，求 m 的值.
巩固练习
2
x+1
+
5
1-x
=
m
x2-1
方法总结：
增根是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根.
增根必须满足两个条件
① 增根一定是所化整式方程的根.
② 增根必须是使最简公分母为 0 的根.
5、若关于 x 的分式方程 无解，求 k 的值.
巩固练习
2-
1-kx
x-2
=
1
2-x
方法总结：
分式方程无解有两种情况：
① 分式方程所化成的整式方程无解.
② 分式方程有增根.
5、若关于 x 的分式方程 无解，求 k 的值.
巩固练习
2-
1-kx
x-2
=
1
2-x
方法总结：
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
本节课你有什么收获？
一、分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
二、解分式方程的一般步骤：
① 去分母：
② 解这个整式方程.
③ 检验：
在方程的两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.
把整式方程的根代入最简公分母中，看它的值是否为 0，使最简公分母不为 0 的根是原方程的根，使最简公分母为 0 的根，是原方程的增根，必须舍去.
④ 写出原分式方程的根.
简记为：“一化，二解，三检验”.
三、增根
解分式方程时常产生增根，
增根是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根.
增根必须满足两个条件
① 增根一定是所化整式方程的根.
② 增根必须是使最简公分母为 0 的根.
分式方程无解有两种情况：
① 分式方程所化成的整式方程无解.
② 分式方程有增根.

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