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13.2 与三角形有关的线段
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
1.掌握三角形中三条重要的线段的概念；
2.了解三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的定义和特征（重点）；
3.会用工具准确画出三角形的中线、角平分线与高（难点）.
定义 图示
线段中点
角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
A
B
把一条线段分成两条相等的线段的点
O
B
A
C
与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、角平分线、高.
定义：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
C
B
A
E
F
思考：你能找出△ABC的另两条边上的中线吗？
知识点1 三角形的中线
可以发现，这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
G
注意 重心一定在三角形内.
D
C
B
A
被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？
如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，
证明：△ABD和△ACD的面积相等.
D
C
B
A
E
归纳 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形.
解：如图，过点A作AE⊥BC，
因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以BD=CD= BC.
所以△ABD的面积为 BD﹒AE，
△ACD的面积为 CD﹒AE，
所以△ABD和△ACD的面积相等.
例 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，求△ACD的周长.
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)－(AC+CD+AD)
=AB －AC.
∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，
∴△ACD的周长为25－6=19(cm).
如图，△ABC中，AB=10,AC=8，D是BC的中点，连接AD，若
△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）
A.16 B.18 C.20 D.22
D
定义：画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线.
D
B
C
A
E
F
知识点2 三角形的角平分线
O
可以发现，三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
思考：你能找出△ABC的另两条边上的角平分线线吗？
定义：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高.记作AD⊥BC于点D.
知识点3 三角形的高
A
B
C
D
注意：三角形的高是一条垂线段
三角形高的画法：用三角板过某一顶点向其对边或对边所在的直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高.
A
B
C
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
E
F
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
用同样的方法，你能画出直角三角形和钝角三角形各条边上的高吗？
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
观察图形，不同三角形的三条高各有什么特点？
三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部
三条高的交点 三条高交于三角形内部 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
例2 下列图形中，AD是△ABC的高的是（ ）
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
归纳 判断一条线段是否为三角形的高的方法：一看顶点：三角形的高一定过顶点；二看垂足：三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上.
如图，在钝角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，下列说法中，
正确的是(　　)
A．线段CD是△ABC的AC边上的高
B．线段CD是△ABC的AB边上的高
C．线段AD是△ABC的BC边上的高
D．线段AD是△ABC的AC边上的高
B
1.以下说法错误的是（ ）
A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D.一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点
A
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
3.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm.△ABD的面积为 a cm2，
（1）S△ABC = ______cm2；
（2）△ABD与△ACD的周长之差为_____cm.
2a
2
4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：
（1）BE =（ ）= （ ）；
（2）∠BAD=（ ）= （ ）；
（3）∠AFB=（ ）=90°；
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠AFC
B
C
D
E
A
F
解：因为AE为中线，
所以 BC=2BE=16.
因为AF为高，
所以∠AFB=∠CFA=90°.
所以△ABC的面积为 ×16×7=56.
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
三角形的中线
三角形的中线、角平分线、高
三角形的高
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形.
三角形的角平分线

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