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13.3 三角形的内角
13.3.1 第1课时 三角形的内角和
1.学习和掌握三角形的内角和定理（重点）；
2.理解三角形内角和定理的推导、验证过程（难点）；
2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题（难点）.
你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法.从这个操作心得中，你能发现证明的思路吗
如图，∠B，∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l. 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系.
已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，过点A作直线l，使得l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠2=∠4，（两直线平行，内错角相等）
同理∠3=∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1+∠4+∠5=180°.（平角定义）
则∠1+∠2+∠3=180°.（等量代换）
你能想出来其他的证明方法吗？
方法二 证明：过点C作直线l，使得l // AB，延长BC.
∵l // AB，
∴∠2=∠A， ∠3=∠B.
∵∠1，∠2，∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
则∠ACB+∠A+∠B=180°.
归纳 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
作辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=20°.
在△ADB中，∠B=75°，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=85°.
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，
由AD//BE，得∠BAD +∠ABE =180°，
∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°.
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB= 180°-60°-30°=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，
从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
1．在△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A的度数为（ ） A．44° B．34° C．54° D．64°
．
A
2.一个三角形三个内角的度数之比为1:3:5，则最小的角的度数为（ ）
A.20° B.30° C.40° D.60°
A
3.如图，在△ABC中，∠ACB=68°，∠1=∠2，则∠BPC=_____.
112°
4.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？
解：在△ACD中 ，∠CAD ＝30°，∠D ＝90°.
∴ ∠ACD =180°－30°－90°=60°.
在△BCD中∠CBD =45°，∠D＝90°.
∴ ∠BCD = 180°－90°－45°=45°.
∴ ∠ACB = ∠ACD －∠BCD = 60°－45°＝15°
三角形内角和定理
三角形的内角和
应用
三角形的内角和等于180°
证法
作平行线，转化为一个平角或同旁内角互补

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