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13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 第2课时 直角三角形的性质与判定
1.掌握直角三角形两锐角互余的性质（重点）；
2.能够利用直角三角形两锐角互余这一性质求解直角三角形相关计算题（重点）；
3.利用两锐角互余判定三角形是直角三角形（难点）.
如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
思考：由此，你可以推断出直角三角形具有什么性质？
解：在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，
由三角形内角和定理，得
∠A +∠B+∠C=180°，
所以∠A +∠B=90°.
C
A
B
注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.
归纳 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
几何语言：在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90°.
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
　
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E.
比较∠CAE与∠DBE的大小.
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °－∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE=90 °－∠BED.
∴∠CAE=∠DBE.
∵∠AEC=∠BED，
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
则下列结论不一定成立的是(　　)
A．∠1＋∠2＝90°　 B．∠3＝60°　　
C．∠2＝∠3　　 D．∠1＝∠4
B
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
A
B
C
A
B
C
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
C
A
B
归纳 直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.　
几何语言：∵在△ABC中，∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形．
　
注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
A
C
B
D
E
(
(
1
2
∵ ∠1=∠2，
∴∠1+∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
例2 如图，∠C=90 °，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中， ∠2+∠A=90 °.
如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B=90°.
∵∠1=∠B，
∴∠BAD+∠1=90°，
∴∠BAC=90°.
∴△ABC是直角三角形.
1. 如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余角有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)
A．120° B．90° C．60° D．30°
D
3.给定下列条件，不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6
C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
D
解：方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
4.（1）如图1，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
图 1
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图2，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
图 2
5.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
直角三角形的性质
直角三角形的性质与判定
直角三角形的判定
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形.　

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