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直线的方程
知识点一 直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二 直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于轴的直线
斜截式 不含垂直于轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
两条直线的位置关系
知识点一 两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在．
知识点二 三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
【方法技巧与总结】
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2．点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5．过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
6．平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
7．垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
8．过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
圆的方程
知识点一 基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
直线与圆、圆与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系判断
几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
知识点二 两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
圆的轨迹
动点P与两定点A,B所形成的为定值，则点P为圆轨迹，特别是当时点P为以线段AB为直径的圆轨迹，原因是同弦所对的圆周角相等。
动点P到两定点A,B的距离，满足，则点P为圆轨迹，该圆名叫阿波罗尼斯圆。
动点P与两定点A,B所形成的数量积为定值，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
【例1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【答案】11
【详解】设，，则，
即，则的轨迹为以为圆心，半径的圆，
根据题意知两圆有交点，圆心距，故，解得，故的最大值为.
故答案为：.
【例2】点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 .
【答案】
【详解】将动直线整理为，
联立，可得，所以动直线过定点.
又，所以点在以为直径的圆上运动，
设，则，
，即.
故答案为：
变式1 已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2 已知，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（多选题）已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当最小时，直线的方程为
C．若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是
D．定点到动直线BC距离最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A：当越小时的值越大，所以当的长度无限大时，无限接近，
所以无限接近，故A错误；
对于B： 因为，即，
所以最小时，就是最小，
又因为，所以最小时，最小，
因为当是点到直线的距离时最小，最小值为，
此时，则，所以，由，解得，即，
又，所以以为圆心为半径的圆的方程为，
由与相减即可得到，即直线的方程为，故B正确．
对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设，
因为曲线上总存在点，使得，所以，
因此，又因为在中，，
所以，即，解得，
因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确；
对于D：由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为 ，
可知 两点在以为直径的圆上，设，则为直径的圆的方程为，
和相减可得直线的方程，即，即，
由于，故由，得，所以直线恒过定点，
所以定点到动直线BC距离最大值为，故D正确．
故选：BCD
变式3（多选题）点为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，且为圆的直径时，的面积最大值为3
B．从点向圆引两条切线，切点为，线段的最小值为
C．为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得
D．当时，的最大值为
变式4（多选题）已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．四边形的面积取值范围是
D．当的坐标为时，的方程为
【例4】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，由，得，
整理得，即，即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2.
因为圆上存在点满足，所以圆C与圆E有公共点，
所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：
【例5】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________
【详解】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
故答案为：.
变式5 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式6（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
【例6】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值是 。
变式7 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 。
变式8已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______.
【答案】
【详解】如图所示，设是线段的中点，则，
因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，，
整理得，
故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
故，
又由圆的弦长公式可得
.
故答案为：
【例8】已知点，，圆 ()上存在唯一的点，使，则实数的值是 .
【答案】或
【详解】设，则，
因为，整理得，即，所以点的轨迹方程为，
又因为圆上存在唯一的点符合题意，所以两圆内相切，
因为圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径，
可得或，解得或，又，所以实数的值为或.
故答案为：或.
变式9 （多选题）已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点坐标为
B．当直线与直线平行时，
C．动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
D．的取值范围为
课后作业
1．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若圆上存在两点A、B，使得，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为__________．
4．已知在平面直角坐标系中，，圆，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是____.
5．已知中，，若边的中线为定长2，则顶点C的轨迹方程为______.
6．由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为________．
7．已知直线与圆相交于A，B两点，点P为的中点，则点P轨迹的长度为______.
8．已知直线和相交于点P，则点P的轨迹方程为________．
9．已知点为圆：的弦的中点，点的坐标为，且，则的最小值为_______.
10．在平面直角坐标系中，已知直线∶和圆∶，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
（1）若，求点坐标；
（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；
（3）设线段的中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.
11．已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.
12．设定点，动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
13．如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．
14．已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R，若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
15．已知为圆上的动点，，为定点，
（1）求线段中点M的轨迹方程；
（2）若，求线段中点N的轨迹方程.
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直线的方程
知识点一 直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二 直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于轴的直线
斜截式 不含垂直于轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
两条直线的位置关系
知识点一 两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在．
知识点二 三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
【方法技巧与总结】
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2．点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5．过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
6．平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
7．垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
8．过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
圆的方程
知识点一 基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
直线与圆、圆与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系判断
几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
知识点二 两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
圆的轨迹
动点P与两定点A,B所形成的为定值，则点P为圆轨迹，特别是当时点P为以线段AB为直径的圆轨迹，原因是同弦所对的圆周角相等。
动点P到两定点A,B的距离，满足，则点P为圆轨迹，该圆名叫阿波罗尼斯圆。
动点P与两定点A,B所形成的数量积为定值，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
【例1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【答案】11
【详解】设，，则，
即，则的轨迹为以为圆心，半径的圆，
根据题意知两圆有交点，圆心距，故，解得，故的最大值为.
故答案为：.
【例2】点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 .
【答案】
【详解】将动直线整理为，
联立，可得，所以动直线过定点.
又，所以点在以为直径的圆上运动，
设，则，
，即.
故答案为：
变式1 已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取，则，同理可得，，
所以，，所以满足条件的点一定在的外接圆上，
的外接圆半径为，
所以，的外接圆圆心为，且，
要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有公共点，
则，即，又，
解得．
故选：C．
变式2 已知，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，因此过定点,
因为点在动直线上的射影为，所以点轨迹为以为直径的圆，即，从而,（为坐标原点）
故选B
【例3】（多选题）已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当最小时，直线的方程为
C．若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是
D．定点到动直线BC距离最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A：当越小时的值越大，所以当的长度无限大时，无限接近，
所以无限接近，故A错误；
对于B： 因为，即，
所以最小时，就是最小，
又因为，所以最小时，最小，
因为当是点到直线的距离时最小，最小值为，
此时，则，所以，由，解得，即，
又，所以以为圆心为半径的圆的方程为，
由与相减即可得到，即直线的方程为，故B正确．
对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设，
因为曲线上总存在点，使得，所以，
因此，又因为在中，，
所以，即，解得，
因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确；
对于D：由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为 ，
可知 两点在以为直径的圆上，设，则为直径的圆的方程为，
和相减可得直线的方程，即，即，
由于，故由，得，所以直线恒过定点，
所以定点到动直线BC距离最大值为，故D正确．
故选：BCD
变式3（多选题）点为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，且为圆的直径时，的面积最大值为3
B．从点向圆引两条切线，切点为，线段的最小值为
C．为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得
D．当时，的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于选项A，当为直径时，显然当时，
的面积取得最大值，所以A正确；
对于选项B，设，则，所以越大，越小，
显然当点P在处时，最大，
此时，即，选项B正确；
对于选项C，由上可知当点P在处时，且为切线时，最大，
此时，即，
所以不存在符合的点，故选项C不正确；
对于D选项，设的中点D，则，
所以点D在以M为圆心，为半径的圆上，易知，
设小圆半径为，则，则的最大值为，
故D正确．
故选：ABD
变式4（多选题）已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．四边形的面积取值范围是
D．当的坐标为时，的方程为
【答案】AC
【详解】 对于A选项，连接，，因为，为圆的切线，所以，，，，
所以，所以，故A正确；
对于B选项，，有当最小时，最大，即最大，
当时，此时最小，，所以，
可得，即，故B错误；
对于C，四边形的面积，又，
又，所以,所以，即四边形的面积得取值范围是，故C正确；
对于D，设，，利用圆的切线方程，得到切线，，
将代入可得，，，所以过，两点的直线为，故D错误.
故选：AC.
【例4】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，由，得，
整理得，即，即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2.
因为圆上存在点满足，所以圆C与圆E有公共点，
所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：
【例5】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________
【详解】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
故答案为：.
变式5 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，由，所以，
化简得，所以曲线的轨迹为圆，圆心，半径，
点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为点，，连接，
如图，由题意得若圆上存在两点使，即只需，
因为都是过点的切线，所以，，
所以，所以，
所以，在中，
化简得，即，故C项正确.
故选：C.
变式6（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
【答案】BCD
【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
整理得，而点的轨迹方程为，
于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，
射线是的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，
则，整理得，又，
联立解得或，D正确.
故选：BCD
【例6】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值是 。
变式7 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 。
变式8已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令其中为的中点，以为相邻两边构造平行四边形，则，，
则，所以，
以为圆心，2为半径作圆，为原点，为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，
又因为①，
②，
①-②得，所以，
这样点也在圆上，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：C.
【例7】已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______.
【答案】
【详解】如图所示，设是线段的中点，则，
因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，，
整理得，
故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
故，
又由圆的弦长公式可得
.
故答案为：
【例8】已知点，，圆 ()上存在唯一的点，使，则实数的值是 .
【答案】或
【详解】设，则，
因为，整理得，即，所以点的轨迹方程为，
又因为圆上存在唯一的点符合题意，所以两圆内相切，
因为圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径，
可得或，解得或，又，所以实数的值为或.
故答案为：或.
变式9 （多选题）已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点坐标为
B．当直线与直线平行时，
C．动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为直线，可化为，
由，解得，所以过定点，故A正确；
对于B，当直线与直线平行时，因为直线的斜率为，
所以直线的斜率也为时，则，解得：，
此时，即与直线平行，故B项正确；
对于C，圆心到直线的距离为，则，解得，
设的中点为，，为的中点，，
点在圆上，，，
，即，化简可得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；
对于D，点到圆心的距离为，在圆内，
的取值范围为，
的取值范围为，故D项正确.
故选：ABD.
课后作业
1．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】设，，，由得，即，
由题意可知，MN为Rt△AMB斜边上的中线，所以,
则
又由，则，可得，化简得，
∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3，
∵M在圆C3内，∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离，
即，故选A．
3．若圆上存在两点A、B，使得，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为__________．
【答案】3
【详解】对于点P，若圆上存在两点A，B使得，
只需由点P引圆的两条切线所夹的角不小于即可，
当正好是时，圆心到点P的距离，故动点P在以为圆心，半径为1与2的圆环内运动，
由到原点的距离为5，所以P点到原点距离的最小值为
故答案为：3
4．已知在平面直角坐标系中，，圆，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是____.
【答案】
【详解】设，由可得，
整理可得，故P点的轨迹是圆，
根据题意知圆与圆有公共点，
又两圆圆心距，
所以应满足，即，解得.
故答案为：
5．已知中，，若边的中线为定长2，则顶点C的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】设，则边的中点，因为，所以，整理得.又因为当C点在直线上时，不能组成三角形，故，
即顶点C的轨迹方程为.
故答案为：
6．由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为________．
【答案】
【详解】设点的坐标为，则，因为，所以，
所以，即，所以即为所求轨迹方程.
故答案为:
7．已知直线与圆相交于A，B两点，点P为的中点，则点P轨迹的长度为______.
【答案】
【详解】联立，消去得：，
由，得，
设，，，，，则，，
消去 得：，即，
因为，所以
则点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆在的部分，其长度为 ，
故答案为：．
8．已知直线和相交于点P，则点P的轨迹方程为________．
【答案】
【详解】设，由直线和相交于点P，可得，化简得，当时，直线过点，直线不过点，故点P的轨迹方程为．
故答案为:
9．已知点为圆：的弦的中点，点的坐标为，且，则的最小值为_______.
【答案】-1
【详解】设，
，
， ，，即，
， .则的最小值为-1.
故答案为：-1
10．在平面直角坐标系中，已知直线∶和圆∶，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
（1）若，求点坐标；
（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；
（3）设线段的中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）若，则四边形为正方形，则到圆心的距离为，
∵在直线上，设故，解得，故；
（2）设，若圆上存在点，使得，
过作圆的切线，，∴，∴，
在直角三角形中，∵，
∴，即，∴，
∴，解得，
∴点横坐标的取值范围为：；
（3）设，则以为直径的圆的方程为
化简得，与联立，可得所在直线方程：，
联立，得，
∴的坐标为，可得点的轨迹为：，
圆心，半径.其中原点为极限点（也可以去掉）.
由题意可知，∴.∴.
∴线段的最大值为.
11．已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）根据题意，圆的圆心为（0，0），半径为r，
则圆心到直线l的距离，
若直线截圆所得的弦长为，
则有，解可得，则圆的方程为；
（2）直线l1的方程为，即，
则有，解得，即P的坐标为（1，1），
点在圆上，且，为线段的中点，则，
设MN的中点为Q（x，y），
则，即，
化简可得：即为点Q的轨迹方程.
12．设定点，动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【答案】圆，除去两点和
【详解】设，，根据中点公式得到：，
由，得,
当共线时，不构成平行四边形
此时 得到两点和
故答案为圆，除去两点和
13．如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．
【答案】（或）.
【详解】以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设点.
由已知，得.
因为两圆的半径均为1，所以，
则，即，
所以点的轨迹方程为（或）.
14．已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.，若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【答案】
【详解】设点，当直线斜率存在时，，又，，
即，化简可得：；
当直线斜率不存在时，显然中点的坐标为也满足上述方程.
故点的轨迹方程为：.
15．已知为圆上的动点，，为定点，
（1）求线段中点M的轨迹方程；
（2）若，求线段中点N的轨迹方程.
【答案】（1） (x－1)2＋y2＝1；（2）
【详解】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为.
∵点在圆上，∴. 故线段中点的轨迹方程为
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，连结，则，所以，
所以. 故中点的轨迹方程为
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