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圆中定点定值取值范围问题
【题型一】直线恒过定点问题的四种解法
找k与b的关系（首选）：先设出所证直线方程的斜截式，即，再通过题中的条件找到 与 的函数关系（即），再带入直线方程中，转化为只含一个未知数 （斜率）的方程，即可找到定点。
根据两点求直线方程法：分别把直线上两个点坐标求出来，用含有单一变量的参数k（斜率）表示出点坐标，然后根据点斜式写出直线方程，方程中由于只含一个参数，那么就可以找到定点。
【例1】已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析；定点.
【解析】(1)设圆的标准为，把代入得，
故圆的标准方程为．
(2)证明：当直线n斜率不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，，
，即，
点在圆上，
，
联立，，舍去，
当直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，
①
联立方程，
，，
代入①，得，
化简得或，
若，则直线过，与题设矛盾， 舍.
直线n的方程为：，所以且，所以；所以过定点．
【例2】已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当点M的轨迹上存在点Q，使，求实数m的取值范围；
(3)当时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且．求证：直线AB恒过定点．（其中，分别为直线PA与直线PB的斜率）．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【详解】(1)设M（x，y），，则①，
又因为M是EF的中点，所以，则，
代入①式整理得，
即点M的轨迹方程为圆O：．
(2)由（1）知点M的轨迹方程为圆O：，
由题意，圆O上存在点Q，使，
等价于直线或与圆O有交点，
由对称性可知点O到直线与距离相等，
∴点O到直线的距离小于等于半径1，即，解得，
又，故实数m的取值范围是．
(3)证明：时，P（1，0），
∵，设，则，
则直线PA：，PB：，
联立，得，
则，得，．
∴．同理可得．
则．
∴直线AB的方程为．
方法一：当时，直线方程为，当时，直线方程为．
联立，解得，．∴直线AB恒过定点．
方法二：直线AB方程即为，即，
∴直线AB恒过定点．
变式1 已知O为坐标原点，过点P(1，2)且斜率为1的直线截圆O所得的弦长为．
(1)求圆O的方程．
(2)若点Q(1，0)在斜率为k的直线l上，且直线l与x轴不重合，直线l与圆O交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得∠ONA=∠ONB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2 平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【题型二】定值
【例3】已知圆M的方程为．
(1)求过点与圆M相切的直线l的方程；
(2)过点作两条相异直线分别与圆M相交于A，B两点，若直线的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)或；(2)定值为，理由见解析.
【解析】(1)显然当l的斜率不存在时，不符合题意；设，直线与圆相切，
由圆心到直线l距离，解得或．
当时，直线l的方程为，当时，直线l的方程为，
所以直线l的方程为或．
(2)由题意可设
由可得，
设，则，所以，
，同理，
因为，所以，
所以为定值．
【例4】已知圆C的圆心在直线上，且过A（6，0）和B（1，5）两点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P（0，1）的直线l与圆C交于M，N两点：
①求弦MN中点Q的轨迹方程；
②求证为定值.
【答案】(1)；(2)①；②详见解析.
【解析】(1)设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
(2)①为弦中点，
，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：；
②设，则
，
当直线l斜率不存在时，由，
解得或，∴，
当直线l斜率存在时可设直线l为，由，
可得，
,
∴，
∴，
综上，，故为定值.
变式3 在平面直角坐标系xOy中，设圆的圆心为M．
(1)求过点且与圆M相切的直线的方程；
(2)若过点且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，设直线OA、OB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
变式4 已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．
(1)若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；
(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
【题型三】 取值范围
【例5】在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆的圆心，过原点的直线与圆相交于两点两点均不在轴上)．求面积的最大值．
【答案】
【详解】由直线与圆相交于两点，直线的斜率必定存在，设直线的方程为，
由圆心到直线的距离为，
可得，
设的面积为，
有，
设，可得，
有
，
可得当时，，，
故面积的最大值为．
【例6】 已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
【答案】(1)；(2)，最大值为.
【解析】(1)圆化为标准方程为：.则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为，所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
变式5已知圆.
(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；
(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
变式6 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b、c，的面积为S，若.
(1)求证：；
(2)若，P为内一点，且，求的取值范围.
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圆中定点定值取值范围问题
【题型一】直线恒过定点问题的四种解法
找k与b的关系（首选）：先设出所证直线方程的斜截式，即，再通过题中的条件找到 与 的函数关系（即），再带入直线方程中，转化为只含一个未知数 （斜率）的方程，即可找到定点。
根据两点求直线方程法：分别把直线上两个点坐标求出来，用含有单一变量的参数k（斜率）表示出点坐标，然后根据点斜式写出直线方程，方程中由于只含一个参数，那么就可以找到定点。
【例1】已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析；定点.
【解析】(1)设圆的标准为，把代入得，
故圆的标准方程为．
(2)证明：当直线n斜率不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，，
，即，
点在圆上，
，
联立，，舍去，
当直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，
①
联立方程，
，，
代入①，得，
化简得或，
若，则直线过，与题设矛盾， 舍.
直线n的方程为：，所以且
所以.
所以过定点．
【例2】已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当点M的轨迹上存在点Q，使，求实数m的取值范围；
(3)当时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且．求证：直线AB恒过定点．（其中，分别为直线PA与直线PB的斜率）．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【详解】(1)设M（x，y），，则①，
又因为M是EF的中点，所以，则，
代入①式整理得，
即点M的轨迹方程为圆O：．
(2)由（1）知点M的轨迹方程为圆O：，
由题意，圆O上存在点Q，使，
等价于直线或与圆O有交点，
由对称性可知点O到直线与距离相等，
∴点O到直线的距离小于等于半径1，即，解得，
又，故实数m的取值范围是．
(3)证明：时，P（1，0），
∵，设，则，
则直线PA：，PB：，
联立，得，
则，得，．
∴．同理可得．
则．
∴直线AB的方程为．
方法一：当时，直线方程为，当时，直线方程为．
联立，解得，．∴直线AB恒过定点．
方法二：直线AB方程即为，即，
∴直线AB恒过定点．
变式1 已知O为坐标原点，过点P(1，2)且斜率为1的直线截圆O所得的弦长为．
(1)求圆O的方程．
(2)若点Q(1，0)在斜率为k的直线l上，且直线l与x轴不重合，直线l与圆O交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得∠ONA=∠ONB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x2+y2=4；(2)存在；N为(4，0)
【解析】(1)过点P(1，2)且斜率为1的直线方程为y=x+1，圆心(0，0)到直线y=x+1的距离d=，由圆的性质可得，r2=d2+()2=4，所以圆O的方程为x2+y2=4．
(2)由题意知直线l的方程为y=k(x－1)(k≠0)，
N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0，
所以x1+x2=，x1x2=．
若∠ONA=∠ONB，则kAN=-kBN =0，
即=0 2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0 +2t=0 t=4．
所以当点N为(4，0)时，∠ONA=∠ONB．
变式2 平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)；(2)（i）7；（ii）在定直线上
【解析】(1)设圆M的方程为，
则，解得，
所以圆M的标准方程为；
(2)设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
设，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
则
，
所以，
所以点N在定直线上.
【题型二】定值
【例3】已知圆M的方程为．
(1)求过点与圆M相切的直线l的方程；
(2)过点作两条相异直线分别与圆M相交于A，B两点，若直线的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)或；(2)定值为，理由见解析.
【解析】(1)显然当l的斜率不存在时，不符合题意；设，直线与圆相切，
由圆心到直线l距离，解得或．
当时，直线l的方程为，当时，直线l的方程为，
所以直线l的方程为或．
(2)由题意可设
由可得，
设，则，所以，
，同理，
因为，所以，
所以为定值．
【例4】已知圆C的圆心在直线上，且过A（6，0）和B（1，5）两点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P（0，1）的直线l与圆C交于M，N两点：
①求弦MN中点Q的轨迹方程；
②求证为定值.
【答案】(1)；(2)①；②详见解析.
【解析】(1)设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，
圆的标准方程为；
(2)①为弦中点，
，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：；
②设，则
，
当直线l斜率不存在时，由，
解得或，
∴，
当直线l斜率存在时可设直线l为，由，
可得，
,
∴，
∴，
综上，，
故为定值.
变式3 在平面直角坐标系xOy中，设圆的圆心为M．
(1)求过点且与圆M相切的直线的方程；
(2)若过点且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，设直线OA、OB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)或；(2)是定值，.
【解析】(1)由题设，圆，即，半径，
当切线斜率不存在时，是圆M一条切线，
当切线斜率存在时，令切线为，则，解得，此时切线方程为.
综上，所求直线方程为或.
(2)设直线，联立圆整理得：，
所以，即，且，，
又，而，，
所以，即为定值.
变式4 已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．
(1)若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；
(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
【答案】(1)；(2)是，
【解析】(1)法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是．
由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，
所以，
于是有，． ①
因为点P在圆上运动，
所以点P的坐标满足圆的方程，即． ②
把①代入②得．
整理，得＝4．
这就是点M的轨迹E的方程．
法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．
(2)∵l过原点O且不与y轴重合，
∴可设直线l的方程为y＝kx．
联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，
依题意知是上方程的两根，则＝＝．
则＝＝＝故是定值．
【题型三】 取值范围
【例5】在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆的圆心，过原点的直线与圆相交于两点两点均不在轴上)．求面积的最大值．
【答案】
【详解】由直线与圆相交于两点，直线的斜率必定存在，设直线的方程为，
由圆心到直线的距离为，
可得，
设的面积为，
有，
设，可得，
有
，
可得当时，，，
故面积的最大值为．
【例6】 已知圆．
(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
【答案】(1)；(2)，最大值为.
【解析】(1)圆化为标准方程为：.则.
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，
所以所求的直线为：，即.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以
因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.
而的面积：
因为，所以（其中时等号成立）.
所以S的最大值为.
变式5已知圆.
(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；
(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
【答案】(1)见详解；(2)的面积的最大值为，此时直线方程为或.
【解析】(1)转化的方程
可得：，
由，解得，
所以直线恒过点，
由，
故点在圆内，
即直线恒过圆内一点，
所以无论为何值，直线都与圆相交；
(2)由的圆心为，半径，
易知此时直线斜率存在且不为，
故设直线方程，
一般方程为，
圆心到直线的距离，
所以
所以，
令，
可得，当时，
所以的面积的最大值为，
此时由，解得，
解得或，符合题意，
此时直线方程为或.
变式6 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b、c，的面积为S，若.
(1)求证：；
(2)若，P为内一点，且，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)证明：因为，故，
即，由于，
故，则；
(2)由于，结合（1）知，
故由可得，解得 ，
故为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，AC,AB为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，
则,设，
则由可知， ,即 ，
即，由于P为内一点，
故P点的轨迹为圆在三角形内的部分圆弧，
而线段BC方程为 ，联立，解得，
故，则
，
由于，故，即的取值范围为.
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