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直线与圆的取值范围
知识点一 圆上动点有关的最值
已知圆，，，，为圆上任一点，设。
求取值范围。 求的范围。
求的范围。 求的范围。
求的范围。 求的范围。
知识点二 直线与圆相交
直线过点且与圆交于两点。
求圆心到直线的距离的最大值。
求的取值范围。
求的最大值。2
知识点三 直线与圆相离
为直线上任一点，过点做圆的两条切线，切点为。（所有的最大（小）值均当时取到）
求的最小值。 求的最小值。
求的最小值。 求的最大值。
求的最小值。
圆的其他定义
【定义一】动点P与两定点A,B所形成的为定值，则点P为圆轨迹，特别是当时点P为以线段AB为直径的圆轨迹，原因是同弦所对的圆周角相等。
【定义二】动点P到两定点A,B的距离，满足，则点P为圆轨迹，该圆名叫阿波罗尼斯圆。
【定义三】动点P与两定点A,B所形成的数量积为定值，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
【定义四】若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
【定义五】若为定点，满足,则的轨迹还是圆。
直线与圆的最值练习
【题型一】 斜率，倾斜角的范围
【例1】已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为点和在直线的两侧，所以，解得，所以，设直线倾斜角为，所以，所以，所以.
故选：B
【例2】过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
【详解】当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为或，
所以或，所以或.
综合得实数的取值范围是.
故选：D.
变式1经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是______；的斜率的取值范围是_______．
变式2已知两点，，已知，求直线的倾斜角的范围.
【题型二】 直线型
【例3】已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
B． C．6 D．5
【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为．
故选：A
变式3 已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【题型三】求线段，弦长，点到直线距离的最值
【例4】直线：与圆：所截得的弦长的范围为
【详解】直线：过定点A（2,5）落在圆C内.
显然当l经过圆心C时，弦长最大，为直径6；
当l⊥AC时，弦长最小，此时：.
由垂径定理得：弦长为.
故弦长的范围为.故答案为：.
【例5】已知直线：与圆相交于A B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．4
【详解】∵过定点，且点在圆上，故设，，，、
因为M是线段AB的中点，则，，
∵在圆上，∴，化简得.
∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
∵圆心到直线的距离，∴点到直线的最小距离是.
【例6】若平面内两定点，P为圆上一点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】，
则有，
所以的最大值为．故答案为：．
变式4 平面直角坐标系中，已知，在两坐标轴上分别有动点、，且，是的中点，则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式5 已知正三角形的边长为，在平面中，动点P，M满足，M是的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式6 已知圆：交直线于，两点，则对于，线段长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【题型四】求切线有关的最值
【例7】已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【详解】圆C：的标准方程为 ，圆心，半径，
点P在直线l：上，设，则易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，
方程为：，
即，与圆C的方程相减，
得到弦AB所在直线的方程为：，
则圆心C到直线AB的距离，
当时，取得最大值，
由勾股定理，d取得最大值时，取得最小值，且．
故选：B
【例8】已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【详解】由，得最小时，最小，
而，所以故选：A.
【例9】已知圆：，过点的直线交圆于，，过点，的圆的切线交于点，则的最小值为（ ）
B． C． D．
【详解】如图，过点的直线交圆于，，过点，的切线交于点，
当，，三点共线且与垂直时，取得最小值，
，
，即的直线方程为，
，，
和为等腰直角三角形，
．
故选：B
变式7 已知圆：．设是直线：上的动点，是圆的切线，为切点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
变式8 已知圆：，直线：，P为上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
变式9过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【题型五】点到直线的距离
【例10】已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
如图所示，显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，故选：D
【例11】已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍．
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为＝．故答案为：．
【例12】若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】将圆的方程化为标准形式得圆,
所以圆心坐标为,半径为
因为圆上存在到直线的距离等于1的点，
所以圆心到直线的距离满足,即,解得:
故选:A
变式10 已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
变式11若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【题型六】求面积的最值
【例13】已知P是圆上的动点，，，则的面积的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【详解】根据题意，点，
则直线AB的方程为，即，且
圆，即，其圆心为，半径，
所以圆心到直线AB距离
则圆上的动点P到直线AB的距离最大值为，
面积的最大值；
故选：C.
【例14】已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点做圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【详解】因为，所以，当最小时，最小．
的最小值为，所以，解得或，
又直线与圆相离，所以，所以．
故选：A．
变式12 如图是直线在第一象限内的动点，过作圆的两条切线，切点为，直线交坐标轴正方向于两点，则面积的最小值是（ ）
B．1 C． D．2
变式13 已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】存在一点使得...成立，求参数的范围（转化为两个轨迹有交点问题）
【例15】已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
B． C． D．
【详解】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：
，即的最小值为，故选:B.
【例16】已知圆:，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】试题分析：过作圆切线交圆于，根据圆的切线性质，有反过来，如果，则圆上存在一点得
故若圆上存在一点，使，则
又解得，取值范围是，选A
【例17】已知圆:，圆:．若圆存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于、两点，且满足，则半径的取值范围是（ ）
A．[5，55] B．[5，50] C．[10，50] D．[10，55]
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆:的圆心为，半径为.
两个圆的圆心距为.
如图：因为，可得的最大值为直径，此时，.
当半径扩大到55时，此时圆上只有一点到的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足，故选：A.
变式14 已知点为圆外一点，圆上存在点使得，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
变式15 已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式16 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】PM ± PN的最值
【例18】已知点，点M是圆上的动点，点N是上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由条件可知的最大值是，
，
,
所以的最大值是.
故选：A
【例19】已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标为，半径为3，
∴若与关于x轴对称，则，即，
由图易知，当三点共线时取得最小值，
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：D.
变式17 已知﹐圆，点M，N分别是圆C1，圆C2的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是
变式18 已知圆的方程为，直线：恒过定点，若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例20】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
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直线与圆的取值范围
知识点一 圆上动点有关的最值
已知圆，，，，为圆上任一点，设。
求取值范围。 求的范围。
求的范围。 求的范围。
求的范围。 求的范围。
知识点二 直线与圆相交
直线过点且与圆交于两点。
求圆心到直线的距离的最大值。
求的取值范围。
求的最大值。2
知识点三 直线与圆相离
为直线上任一点，过点做圆的两条切线，切点为。（所有的最大（小）值均当时取到）
求的最小值。 求的最小值。
求的最小值。 求的最大值。
求的最小值。
圆的其他定义
【定义一】动点P与两定点A,B所形成的为定值，则点P为圆轨迹，特别是当时点P为以线段AB为直径的圆轨迹，原因是同弦所对的圆周角相等。
【定义二】动点P到两定点A,B的距离，满足，则点P为圆轨迹，该圆名叫阿波罗尼斯圆。
【定义三】动点P与两定点A,B所形成的数量积为定值，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
【定义四】若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
【定义五】若为定点，满足,则的轨迹还是圆。
直线与圆的最值练习
【题型一】 斜率，倾斜角的范围
【例1】已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为点和在直线的两侧，所以，解得，所以，设直线倾斜角为，所以，所以，所以.
故选：B
【例2】过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
【详解】当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为或，
所以或，
所以或.
综合得实数的取值范围是.
故选：D.
变式1经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是______；的斜率的取值范围是_______．
【详解】由条件作出线段, 连结, 如图，显然当直线的斜率不存在时，不满足条件.
,
过点作，使得与轴平行，满足条件.
将直线绕点沿逆时针旋转到与重合的过程中，满足与线段有公共点，此时直线的斜率由0增大到
将直线绕点沿顺时针旋转到与重合的过程中，满足与线段有公共点，此时直线的斜率由0减少到
所以满足条件的直线的斜率的范围是
由，且，可得或故答案为：；
变式2已知两点，，已知，求直线的倾斜角的范围.
【详解】因为实数，所以当时，直线的斜率不存在，倾斜角,
当时，直线的斜率，所以倾斜角，
综上可得直线的倾斜角.
【题型二】 直线型
【例3】已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为．故选：A
变式3 已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆：经过点，．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距．如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为．
故选：C．
【题型三】求线段，弦长，点到直线距离的最值
【例4】直线：与圆：所截得的弦长的范围为
【详解】直线：过定点A（2,5）落在圆C内.
显然当l经过圆心C时，弦长最大，为直径6；
当l⊥AC时，弦长最小，此时：.
由垂径定理得：弦长为.
故弦长的范围为.
故答案为：.
【例5】已知直线：与圆相交于A B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．4
【详解】∵过定点，且点在圆上，故设，，，、
因为M是线段AB的中点，则，，
∵在圆上，∴，化简得.
∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
∵圆心到直线的距离，∴点到直线的最小距离是.
故选：A.
【例6】若平面内两定点，P为圆上一点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】，
则有，
所以的最大值为．
故答案为：．
变式4 平面直角坐标系中，已知，在两坐标轴上分别有动点、，且，是的中点，则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】不妨设点、分别在、轴上，
设点，则、，
所以，，化简得，
即点的轨迹为圆，该圆的半径为，
由圆的几何性质可得.
故选：D.
变式5 已知正三角形的边长为，在平面中，动点P，M满足，M是的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】以的中点O为坐标原点，边所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，∵，∴，∴.∵.点P的轨迹方程为.易知，
设，则，解得
∴，即，
∴点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，
∴，∴.
故选：B.
变式6 已知圆：交直线于，两点，则对于，线段长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】由圆：，
知该圆的半径，圆心在单位圆上，
∵原点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为，
由可知，当取最大值时，线段长度的最小值为，
故选：C．
【题型四】求切线有关的最值
【例7】已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【详解】圆C：的标准方程为 ，圆心，半径，
点P在直线l：上，设，则易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，
方程为：，即，与圆C的方程相减，
得到弦AB所在直线的方程为：，
则圆心C到直线AB的距离，
当时，取得最大值，
由勾股定理，d取得最大值时，取得最小值，且．
故选：B
【例8】已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【详解】由，得最小时，最小，
而，所以
故选：A.
【例9】已知圆：，过点的直线交圆于，，过点，的圆的切线交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，过点的直线交圆于，，过点，的切线交于点，
当，，三点共线且与垂直时，取得最小值，
，，即的直线方程为，
，，
和为等腰直角三角形，．
故选：B
变式7 已知圆：．设是直线：上的动点，是圆的切线，为切点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
【详解】如图，连AM，圆M半径为2，则，，
圆心到直线l的距离，从而得，
于是得，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5.
故选：D
变式8 已知圆：，直线：，P为上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【详解】由题设，圆为，由点线距离公式知：到直线l的距离，则直线l与圆相离，如下图示：在中， 的变小过程中在变小，由且，可知也随之变小，又，则也变小，
∴要使的最小值，只需最小即可，
仅当等于到的距离时，最小，
此时，且，∴的最小值为4.
故选：A
变式9 过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【详解】由圆的方程可得：，则圆心为：，半径
又
为圆的切线，则 ，
又
当四边形的面积的取最小值时，最小
又垂直于直线时，最小，
四边形面积的最小值为：
故选：B
【题型五】点到直线的距离
【例10】已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，即，
故选：D
【例11】已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍．
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为＝．
故答案为：．
【例12】若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】将圆的方程化为标准形式得圆,所以圆心坐标为,半径为
因为圆上存在到直线的距离等于1的点，
所以圆心到直线的距离满足,即,解得:
故选:A
变式10 已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
【答案】C
【解析】，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B，
表示点、到直线的距离和的5倍，设弦AB中点，则有
于是得：，
圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，
当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有，
当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得，
又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
圆的圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为60．
故选：C
变式11若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【详解】由题设，且半径，又圆上存在四个点到的距离为，
∴到的距离，可得.
故选：C
【题型六】求面积的最值
【例13】已知P是圆上的动点，，，则的面积的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【详解】根据题意，点，则直线AB的方程为，即，且
圆，即，其圆心为，半径，
所以圆心到直线AB距离
则圆上的动点P到直线AB的距离最大值为，
面积的最大值；
故选：C.
【例14】已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点做圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【详解】因为，所以，当最小时，最小．
的最小值为，所以，解得或，
又直线与圆相离，所以，所以．
故选：A．
变式12 如图是直线在第一象限内的动点，过作圆的两条切线，切点为，直线交坐标轴正方向于两点，则面积的最小值是（ ）
B．1 C． D．2
【详解】设，则，整理得；
同理，，若，
∴，可得，且，即，
∴且，∴当时，有最小.
故选：B
变式13 已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得直线的方程为，圆的圆心，半径为，如图，
又，所以，当取最小值时，取最小值，此时，
可得，，则，解得.
故选：B.
【题型七】存在一点使得...成立，求参数的范围（转化为两个轨迹有交点问题）
【例15】已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：
，即的最小值为.
故选:B.
【例16】已知圆:，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】试题分析：过作圆切线交圆于，根据圆的切线性质，有
反过来，如果，则圆上存在一点得
故若圆上存在一点，使，则
又
解得，取值范围是，选A
【例17】已知圆:，圆:．若圆存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于、两点，且满足，则半径的取值范围是（ ）
A．[5，55] B．[5，50] C．[10，50] D．[10，55]
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆:的圆心为，半径为.
两个圆的圆心距为.
如图：因为，可得的最大值为直径，此时，.
当半径扩大到55时，此时圆上只有一点到的距离为25，而且是最小值，
半径再扩大，就不会满足.故选：A.
变式14 已知点为圆外一点，圆上存在点使得，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【详解】试题分析：圆心为，半径，设圆的参数方程为，所以，，因为长度固定，当为切点时，最大，要存在点使，则需最大角度不小于，所以，整理得，解得，由于在圆外，综上所述.
变式15 已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】的圆心，半径,
圆C上至少存在一点P，使得,
与位置关系为相交,内切或内含,如图所示,则,．故选:B．
变式16 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】圆的方程为，整理得：，即圆是以为圆心，1为半径的圆；
又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
只需圆与直线有公共点即可．
设圆心到直线的距离为，则，即，
．的最小值是．故选：．
【题型八】PM ± PN的最值
【例18】已知点，点M是圆上的动点，点N是上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由条件可知的最大值是，
，
,所以的最大值是.
故选：A
【例19】已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
B．
C． D．
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，
∴若与关于x轴对称，则，即，
由图易知，当三点共线时取得最小值，
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：D.
变式17 已知﹐圆，点M，N分别是圆C1，圆C2的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是
【详解】由题意可知，圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，
要使得取最大值，需的值最大，的值最小.
其中的最大值为,的最小值为
则的最大值为=
所以的最大值为9.
变式18 已知圆的方程为，直线：恒过定点，若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】直线可化为，令解得所以点的坐标为.
设点关于直线的对称点为，
则由,解得,所以点坐标为.
由线段垂直平分线的性质可知，，所以
（当且仅当，，，四点共线时等号成立），所以的最小值为4.
故选:B.
【例20】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．
因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
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