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第1讲 定比点差的认识
在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．
定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念。
一、定比分点
若，则称点为点的定比分点．若，点在线段上，此时称点为内分点；若，点在线段的延长线上，此时称点为外分点．
①点在线段上（） ②点在线段的延长线上（）
③点在线段的反向延长线上（）
补充定义：当时，对应的定比分点可以认为是无穷远点.
二、定比点差法原理
1．线段定比分点向量公式及坐标公式
已知（一定要以内分点P为公共点位于中间，AB为两端），设，则．即内分点P坐标用线段两端点坐标表示。
2．“定比点差法”的由来
（1）椭圆中，若点在椭圆上，且点满足，则由点差法可得：，将，得：，再于是得：，
整理得，
又，
即-------①（和定比分点坐标公式形式保持一致）．
（2）双曲线中，若点在双曲线上，且点满足，则同理可得：，
整理得，
即--------②．
（3）抛物线中，若点在抛物线上，且点满足，则于是有，变形得，即------③．
说明：1.上述表达式①、②、③的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当时，“定比点差法”即为“点差法”．
上述表达式①、②、③的形式与的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理.
（一）应用定比点差法求点的坐标
【例1】已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】如图，延长交椭圆于点，由对称性得，则．
设，则，
又，由点在椭圆上，则
于是有，即，联立，解得，则．
对比直线和曲线联立方程的核心思想是“设而不求”，借助韦达定理表示出两个交点的横（纵）坐标之间的和与积的关系，通常使用这种方法，交点坐标大部分也是求不出来的。
由上述例题可知，定比点差法它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，①代点、②扩乘、③作差，可以求出两个交点的横坐标，尤其是遇到成比例的条件时，定比点差法更能够发挥其作用。
定比点差和联立方程的相同点在于，联立方程中斜率k决定了交点的横（纵）坐标，而定比点差法中参数决定了交点的横（纵）坐标，区别在于联立方程中是，而定比点差则是。所以定比点差法的优势在于，它能够求解出两个交点的横坐标，从而可以直接计算与交点坐标有关的斜率，坐标的对称等问题，而不需要借助韦达定理。
变式1 过点的直线l交椭圆E：于A、B两点，若，求的取值范围．
【详解】设，，因为，，
由向量关系得：①，②
将A，B代入椭圆方程为
两式相减得，
将①②代入得③
对比①③得： ，解得，
由得，解得，所以的取值范围为．
（二）应用定比点差法求离心率
【例2】椭圆，过其左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求椭圆的离心率．
【解析】设，由得，由得由点在椭圆上，则两式作差得，
，联立，得
，又，于是有，整理得，两边都除以，得，解得或，又．
（三）应用定比点差法求直线方程
【例3】 已知椭圆，的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程．
【解析】由，得．设，得，又，由点在椭圆上，得两式作差得，联立，解得，又，解得直线的方程为或．
【例4】已知椭圆C：，过点，椭圆上有四个动点，与交于点.如图所示. 若点的坐标为，求直线的斜率.

【解析】设，则，设，，，，设直线的斜率为，则，；将，代入椭圆方程中，
，即；
：；
即：；
同除：
，则，代入上式得：
，化简为.......③
同理将，代入椭圆方程中，可得..④
将③—④得：；
将，，即，代入上式：
，即：
，即
则，
变式2 已知椭圆：，椭圆上有四个动点，，，，且与相交于点，若直线与的斜率均为时，求直线的斜率.
【答案】
【详解】设，，，，，
设， 则有，即，
由在椭圆上，故，在椭圆上，故有，
化简得，
由，即有，则有，
由直线与的斜率均为，故，
则有，同理可得，
故直线，即有，即，则.
变式3 已知椭圆C：的焦点坐标为和，若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.
【解析】设，，，，，
因为，所以，即，又，都在椭圆上，
所以，，即，
②-①得，即……③，
又，同理得……④
④-③得，所以.
总结：通过以上例题我们可以看出尤其是遇到成比例的条件时，定比点差法更能够发挥其作用。而且一定要设成，以坐标轴上的定点P为内分点，曲线上的两个交点A，B为两端。接下来我们讲解一下使用定比点差的条件的其他特征。
第2讲 调和定比分点
一、调和定比分点
若且，则称调和分割，根据定义，那么也调和分割（其中在线段内，称为内分点，在线段外，称为外分点）．
二、调和定比分点的性质
【性质1】在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上的两点．若存在调和分割，即满足，，则一定有．
证明：由已知点在椭圆或双曲线上，设．首先，则由定比分点坐标公式可得
又，则由定比分点坐标公式可得
当时，将代入曲线，有，
②得到③
③和①作差整理可得：
，将前式代入整理得．
【性质2】在抛物线中，设为抛物线上的两点．若存在调和分割，即满足，，则一定有．
证明：设，由，得，
由，得，
又，①—②得：，
即，
．
★结论：定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．
调和定比点差结论：
在椭圆、双曲线或抛物线中，设为椭圆或双曲线上的两点．若存在两点，满足，，则一定有（注意左侧A点（不含的）横坐标是，右边B点（含的）横坐标是））
★注意：引入调和定比点差只是加快了求出交点坐标的过程，只能在客观题使用，解答题还是要按之前的定比点差的过程来写求出交点坐标，两种方法得出的交点坐标结论是一样的。
题型一、定比点差法证明直线过定点问题
【例1】已知过点的直线与椭圆交于两点，为点关于轴的对称点，求证：直线过定点．
【解析】解法一（定比分点）：设，直线 与轴交于点，由题知，由向量共线定理，设，得，于是有即，则两式相减于是有，将上述定比点差的结论带入式子中得：，得，故直线过定点．
★规律：通常直线恒过的定点为调和点列的外分点。
解法二（调和定比分点）：设，，直线与轴交于点，由题知，设，设外分点，满足，则。则
，则，，，，直线与轴交于点，则三点共线，，即，化简得：
，（这个时候分子可以约掉，则不需要将纵坐标转化为横坐标）
则，得，故直线过定点．
★从上述例题来看三点共线同样也是使用定比点差解题的特征，可以用来证明直线过定点。
变式1已知椭圆，点，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．
【详解】设，，则，
设AC与x轴的交点为，，，
由定比分点公式坐标公式得：；，
即①，②，③，④，
由②④得⑤
∵点A、B在椭圆上，得，
两式相减得，
将①②代入上式得⑥
∵点A、C在椭圆上，得，将③④代入上式同理可得⑦
对比⑤⑥⑦得，故直线AC恒过定点．
【例2】已知椭圆E：，斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，点，直线AM与椭圆E交于点C，直线BM与椭圆E交于点D，求证：直线CD恒过定点．
【解析】设，，(注意AB的位置，基于对称性的设法，原因是AB同在一条直线，CD在同一条直线，所以设向量的时候，AB都在左边，CD都在右边。如果弄混了后续的计算基本算不出)
，，，，
由于，，则
又，，
两式相减得③，
①②式代入③式，整理得，
由，解得，同理可得，
设：，
，
则，，即：，过定点．
这道题由于定点不在X轴上，定点的纵坐标不为0，不能像前一道题直接带入之后互相抵消，所以只能设出直线方程，利用直线方程将纵坐标y转化为横坐标x。
★两条直线交于同一点也是定比点差解题的特征
变式2已知椭圆M：斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
【解析】设，，则调和外分点，
，，，，
则；
同理设，则，
三点共线，则，则，即，
由于分子的纵坐标没办法约掉，必须借助直线转化为横坐标，设直线
化简得：
即：，再将坐标带入得：，
故
【例3】已知椭圆，过点，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足．
（1）若直线的方程为，求的值；
（2）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【解析】（1）由直线的方程为，可得而，
设，因为，
可得，
从而，
于是，所以，
由，整理得，可得，
所以．
（2）显然直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，，可得，
由，可得，
所以，从而，同理，
又，∴——①，
联立，得，
则——②，
且——③
③代入①得，∴，（满足②）
故直线的方程为，所以直线恒过定点．
变式3 已知椭圆C：，直线与轴正半轴和轴分别交于点，与椭圆分别交于点，各点均不重合且满足．若，证明：直线恒过定点．
【解析】设，
．
由，得，．
∵点在椭圆上，，整理得．
同理，由可得．
为方程的两不相等实数根，．
．又．∴直线恒过定点．
题型二、定比点差法证明点在定直线上（极线结论）
【例4】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．
【解析】 解法一：设，即，，设，，，由于，，
又，两式相减得
---③
①②式代入③式，---④
又由于，，
⑤⑥式代入④式，，即点在定直线上．
解法二：设，即，，设，， ，则，
于是有由点在椭圆上，则于是有，即，故点在定直线上．
变式4已知双曲线E：的中心为原点，左 右焦点分别为 ，离心率为，且过点，，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点 ，在线段上取异于点 的点，满足，证明点恒在一条定直线上．
【解析】设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，
则，即，，
设，则，即
由，得，将，，代入，得，将代入，得，所以点恒在定直线上．
变式5 椭圆：的焦点，，过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
【解析】依题可知：直线的斜率存在，设方程为，，
所以，
所以，，
由，设，由，
所以，所以．
题型三、应用定比点差法求解定值问题
【例5】已知过点的直线与双曲线交于两点，与轴交于点，若，求证：为定值．
【解析】设，由，得，由点在双曲线上，则即两式相减得．
【例6】已知椭圆C：，右焦点为F，点在椭圆C上．过点F的直线交椭圆C于M，N两点，交直线于点P，设，，求证：为定值．
【解析】（1）证明：设，，，由于，，
则，即①，
同理可得②，
①-②，得，即，．
★注意：由于题目中定比点差的条件以曲线上的点为内分点，做法上和之前有区别，首先借助向量的关系，曲线上的两个点都用两个定点表示出来，再分别都代入曲线方程中，得到含参数的方程。
变式6 已知椭圆，．过的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，，求证：为定值
【详解】设，，
将两点代入椭圆方程得：…①，…②；
,即，，，
代入①式整理得：…③；
同理由可得：…④；
③④得：…⑤
⑤式对任意恒成立，，解得：，
为定值.
【例7】已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，O为坐标原点．若射线OA上的点P满足，且PB与椭圆交于点Q，求的值．
【解析】（1）设，，，设，
则，则，
由于，则，
整理得，
易知，，又，，即，
代入（*）式得，，解得，则．
变式7已知椭圆：的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两点，其中点在第一象限内，射线，与椭圆的交点分别为，.若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求椭圆的方程.
【解析】设，，则调和外分点，，，，，则；
同理设，则，关于原点对称，
则，即，
化简得：
，
且，，则
化简得：，带入中，得，则
故椭圆方程为：
变式8 如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆E：，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
【详解】法一：设，
由，得，
又椭圆的方程为，所以由，
得 ①， 且 ②，
由②得，，
即，
结合①，得，
同理，有，所以，
从而，即为定值.
法二：设，
由，得，同理，
将坐标代入椭圆方程得，两式相减得
，
即，
同理，，
而，所以，
所以，
所以，
即，所以为定值.
课后作业
1．已知椭圆分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，当为椭圆的上顶点时，有
（1）求椭圆的离心率；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）当为椭圆的上顶点时，满足，根据椭圆的性质，求得，在中利用余弦定理求得，从而求得，即离心率；
（2）设，方法一，通过向量关系表示出，代入到椭圆方程中，与联立，求得，同理求得，从而；方法二，把向量关系直接代入椭圆方程，得到，同理得到，从而；故，又，从而的最大值.
【详解】（1）当为椭圆的上顶点时，
又因为，
所以，
所以，
（2）方法一：设
，
，
又点在椭圆上，则，
，又，
，
，同理用"“代替”，
，
又，所以的最大值为
方法二：设，
，
由得，
即，
，即，
同理，
，
又，
，
又，所以的最大值为
【点睛】方法点睛：求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值.
2．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）
由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.
设，显然，令，，则，则
，，
由得，解得，同理.
联立，得
.
，从而（定值）
（2）
结合图象，不妨设，，，，
由得，
所以或，
代入，有，则，
解得，
又，，，
由，在上均单调递减，
所以在上单调递减，
则.
3．已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明过程见解析；
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且经过点，
所以有；
（2）证明：设直线方程为，，，
由，联立消x得，
所以，，，
由题意知，，均不为．
设，，
由，，A三点共线知与共线，
所以，化简得；
由，，三点共线，同理可得；
由，得，即；
由，同理可得；
所以
，
所以为定值．
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第1讲 定比点差的认识
在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．
定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念。
一、定比分点
若，则称点为点的定比分点．若，点在线段上，此时称点为内分点；若，点在线段的延长线上，此时称点为外分点．
①点在线段上（） ②点在线段的延长线上（）
③点在线段的反向延长线上（）
补充定义：当时，对应的定比分点可以认为是无穷远点.
二、定比点差法原理
1．线段定比分点向量公式及坐标公式
已知（一定要以内分点P为公共点位于中间，AB为两端），设，则．即内分点P坐标用线段两端点坐标表示。
2．“定比点差法”的由来
（1）椭圆中，若点在椭圆上，且点满足，则由点差法可得：，将，得：，再于是得：，
整理得，
又，
即-------①（和定比分点坐标公式形式保持一致）．
（2）双曲线中，若点在双曲线上，且点满足，则同理可得：，
整理得，
即--------②．
（3）抛物线中，若点在抛物线上，且点满足，则于是有，变形得，即------③．
说明：1.上述表达式①、②、③的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当时，“定比点差法”即为“点差法”．
上述表达式①、②、③的形式与的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理.
（一）应用定比点差法求点的坐标
【例1】已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】如图，延长交椭圆于点，由对称性得，则．
设，则，
又，由点在椭圆上，则
于是有，即，联立，解得，则．
对比直线和曲线联立方程的核心思想是“设而不求”，借助韦达定理表示出两个交点的横（纵）坐标之间的和与积的关系，通常使用这种方法，交点坐标大部分也是求不出来的。
由上述例题可知，定比点差法它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，①代点、②扩乘、③作差，可以求出两个交点的横坐标，尤其是遇到成比例的条件时，定比点差法更能够发挥其作用。
定比点差和联立方程的相同点在于，联立方程中斜率k决定了交点的横（纵）坐标，而定比点差法中参数决定了交点的横（纵）坐标，区别在于联立方程中是，而定比点差则是。所以定比点差法的优势在于，它能够求解出两个交点的横坐标，从而可以直接计算与交点坐标有关的斜率，坐标的对称等问题，而不需要借助韦达定理。
变式1 过点的直线l交椭圆E：于A、B两点，若，求的取值范围．
（二）应用定比点差法求离心率
【例2】椭圆，过其左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求椭圆的离心率．
【解析】设，由得，由得由点在椭圆上，则两式作差得，
，联立，得
，又，于是有，整理得，两边都除以，得，解得或，又．
（三）应用定比点差法求直线方程
【例3】已知椭圆，的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程．
【解析】由，得．设，得，又，由点在椭圆上，得两式作差得，联立，解得，又，解得直线的方程为或．
【例4】已知椭圆C：，过点，椭圆上有四个动点，与交于点.如图所示. 若点的坐标为，求直线的斜率.

【解析】设，则，设，，，，
设直线的斜率为，则，；
将，代入椭圆方程中，，即；
：；
即：；
同除：
，则，代入上式得：
，化简为.......③
同理将，代入椭圆方程中，可得..④
将③—④得：；
将，，即，代入上式：
，即：
，即，则，
变式2 已知椭圆：，椭圆上有四个动点，，，，且与相交于点，若直线与的斜率均为时，求直线的斜率.
变式3 已知椭圆C：的焦点坐标为和，若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.
总结：通过以上例题我们可以看出尤其是遇到成比例的条件时，定比点差法更能够发挥其作用。而且一定要设成，以坐标轴上的定点P为内分点，曲线上的两个交点A，B为两端。接下来我们讲解一下使用定比点差的条件的其他特征。
第2讲 调和定比分点
一、调和定比分点
若且，则称调和分割，根据定义，那么也调和分割（其中在线段内，称为内分点，在线段外，称为外分点）．
二、调和定比分点的性质
【性质1】在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上的两点．若存在调和分割，即满足，，则一定有．
证明：由已知点在椭圆或双曲线上，设．首先，则由定比分点坐标公式可得
又，则由定比分点坐标公式可得
当时，将代入曲线，有，
②得到③
③和①作差整理可得：
，将前式代入整理得．
【性质2】在抛物线中，设为抛物线上的两点．若存在调和分割，即满足，，则一定有．
证明：设，由，得，
由，得，
又，①—②得：，
即，
．
★结论：定比点差的原理，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．
调和定比点差结论：
在椭圆、双曲线或抛物线中，设为椭圆或双曲线上的两点．若存在两点，满足，，则一定有（注意左侧A点（不含的）横坐标是，右边B点（含的）横坐标是））
★注意：引入调和定比点差只是加快了求出交点坐标的过程，只能在客观题使用，解答题还是要按之前的定比点差的过程来写求出交点坐标，两种方法得出的交点坐标结论是一样的。
【题型一】定比点差法证明直线过定点问题
【例1】已知过点的直线与椭圆交于两点，为点关于轴的对称点，求证：直线过定点．
【解析】解法一（定比分点）：设，直线 与轴交于点，由题知，由向量共线定理，设，得，于是有即，则两式相减于是有，将上述定比点差的结论带入式子中得：，得，故直线过定点．
★规律：通常直线恒过的定点为调和点列的外分点。
解法二（调和定比分点）：设，，直线与轴交于点，由题知，设，设外分点，满足，则。则
，则，，，，直线与轴交于点，则三点共线，，即，化简得：
，（这个时候分子可以约掉，则不需要将纵坐标转化为横坐标）
则，得，故直线过定点．
★从上述例题来看三点共线同样也是使用定比点差解题的特征，可以用来证明直线过定点。
变式1已知椭圆，点，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．
【例2】已知椭圆E：，斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，点，直线AM与椭圆E交于点C，直线BM与椭圆E交于点D，求证：直线CD恒过定点．
【解析】设，，(注意AB的位置，基于对称性的设法，原因是AB同在一条直线，CD在同一条直线，所以设向量的时候，AB都在左边，CD都在右边。如果弄混了后续的计算基本算不出)
，，，，
由于，，则
又，，
两式相减得③，
①②式代入③式，整理得，
由，解得，同理可得，
设：，
，
则，，即：，过定点．
这道题由于定点不在X轴上，定点的纵坐标不为0，不能像前一道题直接带入之后互相抵消，所以只能设出直线方程，利用直线方程将纵坐标y转化为横坐标x。
★两条直线交于同一点也是定比点差解题的特征
变式2已知椭圆M：斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
【例3】 已知椭圆，过点，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足．
（1）若直线的方程为，求的值；
（2）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【解析】（1）由直线的方程为，可得而，
设，因为，
可得，
从而，
于是，所以，
由，整理得，可得，
所以．
（2）显然直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，，可得，
由，可得，
所以，从而，同理，
又，∴——①，
联立，得，
则——②，
且——③
③代入①得，∴，（满足②）
故直线的方程为，所以直线恒过定点．
变式3 已知椭圆C：，直线与轴正半轴和轴分别交于点，与椭圆分别交于点，各点均不重合且满足．若，证明：直线恒过定点．
【题型二】定比点差法证明点在定直线上（极线结论）
【例4】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．
【解析】 解法一：设，即，，设，，，由于，，
又，两式相减得
---③
①②式代入③式，---④
又由于，，
⑤⑥式代入④式，，即点在定直线上．
解法二：设，即，，设，， ，则，
于是有由点在椭圆上，则于是有，即，故点在定直线上．
变式4已知双曲线E：的中心为原点，左 右焦点分别为 ，离心率为，且过点，，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点 ，在线段上取异于点 的点，满足，证明点恒在一条定直线上．
变式5 椭圆：的焦点，，过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
【题型三】应用定比点差法求解定值问题
【例5】已知过点的直线与双曲线交于两点，与轴交于点，若，求证：为定值．
【解析】设，由，得，由点在双曲线上，则即两式相减得．
【例6】已知椭圆C：，右焦点为F，点在椭圆C上．过点F的直线交椭圆C于M，N两点，交直线于点P，设，，求证：为定值．
【解析】（1）证明：设，，，由于，，
则，即①，
同理可得②，
①-②，得，即，．
★注意：由于题目中定比点差的条件以曲线上的点为内分点，做法上和之前有区别，首先借助向量的关系，曲线上的两个点都用两个定点表示出来，再分别都代入曲线方程中，得到含参数的方程。
变式6 已知椭圆，．过的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，，求证：为定值
【例7】已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，O为坐标原点．若射线OA上的点P满足，且PB与椭圆交于点Q，求的值．
【解析】（1）设，，，设，
则，则，
由于，则，
整理得，
易知，，又，，即，
代入（*）式得，，解得，则．
变式7已知椭圆：的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两点，其中点在第一象限内，射线，与椭圆的交点分别为，.若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求椭圆的方程.
变式8 如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆E：，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
课后作业
1．已知椭圆分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，当为椭圆的上顶点时，有
（1）求椭圆的离心率；
（2）求的最大值．
2．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
3．已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值．
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