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定点问题
【题型一】直线恒过定点问题的四种解法：
找k与b的关系（首选）：先设出所证直线方程的斜截式，即，再通过题中的条件找到 与 的函数关系（即），再带入直线方程中，转化为只含一个未知数 （斜率）的方程，即可找到定点。
根据两点求直线方程法：分别把直线上两个点坐标求出来，用含有单一变量的参数k（斜率）表示出点坐标，然后根据点斜式写出直线方程，方程中由于只含一个参数，那么就可以找到定点。
求定点坐标法（必须有对称轴）：主要是结合图像的对称性，定点都会在圆锥曲线的对称轴上，若发现定点为x轴上的点，则设出定点坐标再根据题中条件求出 的值，即可找到定点，
4. 找特殊点法：根据动直线的特殊情况，求出定点坐标。然后再去再证明，过该定点的所有直线都成立。
方法一：找k与b的关系
【例1】设分别是椭圆:，的左 右焦点，设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【详解】设直线的方程为，
联立可得，所以，
又，
，
化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；.当时满足方程中，
故直线经过轴上定点.
变式1 如图，已知椭圆上顶点为，右焦点为，直线与圆相切，其中．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点的动直线与椭圆相交于，两点，且，证明：动直线过定点，并且求出该定点坐标．
变式2已知椭圆上，右顶点为，若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
方法二：求直线方程法
【例2】已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点.
【详解】解法一：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，
整理得：，解得：或
将代入直线可得：，所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：，
整理可得：
整理得：，所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．
解法二：找(2)设.
若，设直线的方程为，由题意可知.
由于直线的方程为，所以.
直线的方程为，所以，可得.
由于，故，可得，
即.①
将代入得.，所以.
代入①式得.，解得(舍去)，.
故直线的方程为，即直线过定点.，若，则直线的方程为，过点.
综上，直线过定点.
变式3 在平面直角坐标系中，椭圆C的方程为，设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
变式4 已知双曲线C:的右焦点，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．证明：直线必过定点，并求出此定点的坐标．
方法三：求定点坐标（基于图形的对称性）
【例3】已知椭圆的标准方程为，过点．右焦点为，设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【详解】由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
变式5 已知椭圆的方程为，设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围，并证明直线与轴相交于定点．
变式6 已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点．设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点．
方法四：找特殊点
【例4】已知椭圆E：，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【详解】，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
【题型二】圆恒过定点
【例5】已知椭圆C：，已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．
由，可得，，则以为直径的圆的方程为．
（2）当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．
由，可得，，则以为直径的圆的方程为．
显然以上两圆都经过点．
（3）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为．
联立消去，得，
设，，，，则，．
所以．所以①，
因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，②
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，
综上可知，以为直径的圆过定点．
变式7 抛物线的方程为，过焦点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
变式8 已知椭圆C：，如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．
课后作业
1.已知双曲线的方程为，设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
平面直角坐标系中，椭圆，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．设直线不经过，且与相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：过定点．
椭圆C：的左、右焦点分别为、，右顶点为，若直线与椭圆相交于、两点、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
已知椭圆：，若点为椭圆上异于，的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
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圆锥曲线定点
一、直线恒过定点问题的四种解法：
找k与b的关系（首选）：先设出所证直线方程的斜截式，即，再通过题中的条件找到 与 的函数关系（即），再带入直线方程中，转化为只含一个未知数 （斜率）的方程，即可找到定点。
根据两点求直线方程法：分别把直线上两个点坐标求出来，用含有单一变量的参数k（斜率）表示出点坐标，然后根据点斜式写出直线方程，方程中由于只含一个参数，那么就可以找到定点。
求定点坐标法（必须有对称轴）：主要是结合图像的对称性，定点都会在圆锥曲线的对称轴上，若发现定点为x轴上的点，则设出定点坐标再根据题中条件求出 的值，即可找到定点，
4. 找特殊点法：根据动直线的特殊情况，求出定点坐标。然后再去再证明，过该定点的所有直线都成立。
方法一：找k与b的关系
【例1】设分别是椭圆的左 右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
（1）由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，
的横坐标为.当时，，即.
又直线的斜率为，所以，
即，即
则，解得或（舍去），
即.
（2）解：已知是椭圆的上顶点，则，
由（1）知，解得，
所以，椭圆的方程为，
设直线的方程为，
联立可得，
所以，
又，
，
化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；.
当时满足方程中，
故直线经过轴上定点.
变式1如图，已知椭圆上顶点为，右焦点为，直线与圆相切，其中．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点的动直线与椭圆相交于，两点，且，证明：动直线过定点，并且求出该定点坐标．
【详解】（Ⅰ）椭圆上顶点为，右焦点为，，
则直线的方程为，圆的圆心为，半径为，
由直线和圆相切的条件可得，解得（负的舍去），则椭圆的方程为；
（Ⅱ）证明：，从而直线与坐标轴不垂直，
由，可设直线的方程为，得到直线的方程为，
将代入椭圆的方程中，并整理得，解得或，
可得的坐标为，，即，，
将上式中的换成，同理可得，，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得直线的方程为，
则直线过定点．
变式2已知椭圆上，右顶点为，若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【详解】由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为（），，，．
联立得．
．∴，，
∵直线与直线斜率之积为．∴，
∴． 化简得，
∴， 化简得，解得或．
当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得（）．
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．
综上所述：直线过定点．
方法二：求直线方程法
【例2】已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点.
【详解】解法一：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：，所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：，
整理可得：
整理得：，所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
解法二：找(2)设.
若，设直线的方程为，由题意可知.
由于直线的方程为，所以.
直线的方程为，所以，可得.
由于，故，可得，
即.①
将代入得.，所以.
代入①式得.，解得(舍去)，.
故直线的方程为，即直线过定点.，若，则直线的方程为，过点.
综上，直线过定点.
变式3 在平面直角坐标系中，椭圆C的方程为，设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
【详解】依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，
整理得：，所以，且
因为点是椭圆上一点，即，则，
所以，即
因为
，
所以，此时，
故直线：恒过x轴上一定点．
变式4已知双曲线C:的右焦点，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．证明：直线必过定点，并求出此定点的坐标．
【详解】设设过的弦所在的直线方程为：，，，，，
则有中点，，联立直线与双曲线的方程：整理可得：，
因为弦与双曲线有两个交点，所以，，
所以，所以，；
当时，将的坐标中的换成，同理可得的坐标，，
①当直线不垂直于轴时，直线的斜率，
将代入方程可得直线，化简可得，
所以直线恒过定点；
②当直线垂直于轴时，可得，直线也过定点；
当时，垂直于轴，则的中点与重合，为轴，的中点为与重合，此时为轴，显然过
当的斜率为0时，则的坐标为原点，此时与轴垂直，这时的中点为与重合，此时直线为轴,也过点；
综上所述直线恒过定点．
方法三：求定点坐标（基于图形的对称性）
【例3】已知椭圆的标准方程为，过点．右焦点为，设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【详解】由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
变式5 已知椭圆的方程为，设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围，并证明直线与轴相交于定点．
【详解】由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．
代入椭圆方程，可得．①
由△，得，
又不合题意，直线的斜率的取值范围是：，，．
设点，，，，则，．
直线的方程为．
令，得．
将，代入整理，得．②
由①得，
代入②整理，得．
直线与轴相交于定点．
变式6 已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点．设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点．
【详解】（1）由题意可设直线的方程为，联立椭圆方程，
可得，
设，，，，由题设可得，，
可得，，可得直线的方程为，
令，可得，
故直线过轴上的定点，．
方法四：找特殊点
【例4】已知椭圆E：，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【详解】，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
【题型二】圆恒过定点
【例5】已知椭圆C：，已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．
【详解】当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．
由，可得，，则以为直径的圆的方程为．
当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．
由，可得，，则以为直径的圆的方程为．
显然以上两圆都经过点．
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为．
联立消去，得，
设，，，，则，．
所以．所以①，
因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，②
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，
综上可知，以为直径的圆过定点．
变式7 抛物线的方程为，过焦点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
【解析】设直线的方程为，，，则，．
得，同理得，
得，．，
则，
则，因此，以线段为直径的圆经过点．
变式8 已知椭圆C：，如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．
【解析】以为直径的圆过定点．
证明如下：设，，则，，且，即，
，直线方程为：，，
直线方程为：，，
以为直径的圆为，
或通过求得圆心，得到圆的方程．
即，
，，
令，则，解得．
以为直径的圆过定点．
课后作业
1.已知双曲线的方程为，设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，设，，，，
则由，得，即，解得，不符合题意，故直线的斜率存在．
不妨设直线的方程为，代入，
整理得，△．
设，，，，则，
由，得，即，
整理得，
，
整理得：，即，
或．
当时，直线的方程为，经过定点；
当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意．
综上，直线过定点．
平面直角坐标系中，椭圆，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．设直线不经过，且与相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：过定点．
【详解】证明：①当斜率不存在时，设，，，
直线与直线的斜率的和为，，
解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；
②当斜率存在时，设，，，，，，
联立，整理，得，，①
直线与直线的斜率的和为，
②
①代入②得，，此时△，存在，使得△成立，
直线的方程为，当时，，过定点．
椭圆C：的左、右焦点分别为、，右顶点为，若直线与椭圆相交于、两点、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【详解】证明：设，，，，将代入椭圆方程得．
（6分）
，，，
为直径的圆过点，，
右顶点为，，，，，
，
或都满足△，（9分）
若直线恒过定点不合题意舍去，
若直线恒过定点．（12分）
已知椭圆：，若点为椭圆上异于，的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【详解】设直线的方程为：，，则过原点的直线且与直线平行的直线为
因为是直线，的交点，所以，，
因为直线与椭圆联立：，整理可得：，
可得，，即，，因为，
直线的方程为：，联立，解得：，，
由题意可得，设，，所以，，，，
由题意可得以线段为直径的圆过点，所以，所以，，，
可得，①，
要使①成立，，解得：，，或，，
所以的坐标或．
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