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定值问题
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
【题型一】斜率有关的定值
【例1】已知椭圆C：，过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【详解】直线过点，设直线的方程为，再设，，，，
由，消得：，，
，，
为定值．
【例2】已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值．
【详解】由题意知，，，设直线的方程为，，，，
联立，得，，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．
变式1 已知椭圆，点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【题型二】 向量数量积定值
【例3】己知椭圆C：，若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
【详解】设，，则，，
由得：，
则，，；
直线方程为：，，；
同理可得：，又，，，
，
为定值.
变式2 已知椭圆，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
变式3 已知椭圆C：，设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【题型三】 面积为定值
【例4】已知椭圆C :，过椭圆外一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，，记，的斜率分别为，，且．求证：的面积为定值．
（参考公式：过椭圆上一点，的切线方程为
【详解】设，，，，则，．
因为，过点，，，方程为．
由，可得，△，
．
，的面积为定值．
变式4 已知椭圆C:，若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，的斜率且，试探究的面积是否为定值．
课后作业
已知椭圆M：，若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
如图，椭圆E：，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
已知椭圆C：，设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．
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定值问题
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
【题型一】斜率有关的定值
【例1】已知椭圆C：的两个焦点，过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【详解】直线过点，设直线的方程为，再设，，，，
由，消得：，，
，，
为定值．
【例2】已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值．
【详解】由题意知，，，设直线的方程为，，，，
联立，得，，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．
变式1 已知椭圆，点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【详解】设直线的方程为，，，，．
联立，消去，整理得，△，整理得：．
则，，，，
直线，的斜率分别为，，，
，
为定值2．
【题型二】 向量数量积定值
【例3】己知椭圆C：，若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
【详解】设，，则，，
由得：，
则，，；
直线方程为：，，；
同理可得：，又，，，
，为定值.
变式2 已知椭圆，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
【详解】设直线的方程为，．代入，整理可得．
解得，于是，直线的斜率为．
，直线的方程为．由，解得
（定值）．
变式3 已知椭圆C：，设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【详解】当切线的斜率不存在时，其方程，将代入椭圆的方程：得，设，，，，
又，，所以，同理可得，也有，
当切线的斜率存在时，设方程为：，设，，，，
直线与圆相切，所以，即，联立，
整理可得：，，，
，所以，所以是直角三角形，．
综上所述：．
【题型三】 面积为定值
【例4】已知椭圆C :，过椭圆外一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，，记，的斜率分别为，，且．求证：的面积为定值．
（参考公式：过椭圆上一点，的切线方程为
【详解】设，，，，则，．
因为，过点，，，方程为．
由，可得，△，
．
，的面积为定值．
变式4 已知椭圆C:，若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，的斜率且，试探究的面积是否为定值．
【详解】设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，
设，，，，可得，，
，
，到直线的距离为，
所以的面积为，
由，可得，即为，
可得，化为，所以，
故的面积为定值1．
课后作业
已知椭圆M：，若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【解析】当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，所以，所以，
设，则，，
因为，所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立得，即，
，所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
如图，椭圆E：，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】2
【详解】由题设知，直线的方程为，代入，
得，
由已知△，设，，，，，则，，
从而直线与的斜率之和：
．
已知椭圆C：，设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．
【解析】证明：由直线与椭圆相交于、两点，设，，，，
联立，消可得，
△，则，
则，，
而，
点在椭圆上，代入椭圆方程：，
整理可得：，满足△，
设到直线的距离为，则，
，
平行四边形的面积为定值
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