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圆锥曲线中的面积
知识点一 焦点三角形面积
椭圆 的焦点三角形面积，
双曲线 的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上).
直线过焦点的面积为：
，注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数；
；
知识点二 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)
，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，
如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离)
直线方程：
，适合边角已知的题型；
拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；如图，点在轴上，直线交轴于点，
（1）当是在轴异侧时，
（2）当是在轴同侧时，
注意: 不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.
同理：若点在轴类似可得.
【题型一】求三角形面积
【例1】已知双曲线：，斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
【详解】
【详解】设直线：，，，
联立，则，所以，；
解得或（舍去），所以，
：，令，得，
所以的面积为
变式1 已知椭圆C：，直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．
【例2】已知抛物线：的焦点，（为原点）和都是半径为1的圆．若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
【答案】依题意可设：，即．
∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，∴，解得，．
联立，消去可得．∴．
∴，．∴．
∴．
变式2 已知椭圆E：，过右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.
【例3】已知椭圆：，过的直线l与椭圆交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程.
【答案】
【详解】依题意，设直线l的斜率为，则直线l的方程为，
设，，
联立，消y得，，
可得：①，②，
由，，，
，整理得③，
由①③得，，代入②，解得，
直线l的方程为或
变式3 已知方程：，点、，过点的直线交轨迹于、（位于第一象限）两点，若，求直线的方程.
【例4】已知椭圆， 为左右焦点.直线交椭圆于 两点，且.
若，斜率之积为，求证：的面积为定值.
【详解】设，由，
则，由，
，
，，即，
，
整理得：
所以
又O到AB的距离
，
所以为定值.
变式4 已知椭圆方程C：，过点椭圆上一点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值 请说明理由．
知识点三 范围问题
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，可以通过找特殊的位置确定最值．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求取值范围问题的常用方法
构建所求几何量的单一变量的函数表达式，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，通常会用到基本不等式的公式。
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）；
（2），当且仅当时，等号成立；
（3），当且仅当时等号成立；
（4），当且仅当时，等号成立；
(5)，
当且仅当时等号成立；
【题型二】三角形面积最值问题（利用双勾函数/基本不等式求最值）
【例5】已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
【详解】由题意，设直线的方程为，联立，整理可得：，
设，，，，则，，
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以
由，，，，则，
将，代入上式并整理得，
则，化简可得，解得：，或，
因为直线不过点，所以，故所以直线恒过点，．
故
设，则在，上单调递增，
当时，，所以的面积的最大值为．
【例6】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．
以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，
记动点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ）
【详解】（1）由题意可知：，则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以曲线C的方程为.
（2）①联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，则，为定值；
②由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，可得，
因为，则，可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值.
变式5 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点．求面积的最大值及此时直线的方程．
变式6 已知椭圆，设为坐标原点，圆的切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
【例7】已知椭圆的左右焦点分别为，直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
【答案】
【详解】由题意，,设直线的方程为,，
则直线的方程为，，
联立消去得，所以
所以所以，
同理联立消去得，所以，
所以所以，即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为.
变式7 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【题型三】四边形面积最值问题
【例8】已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．
【详解】①当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；
②当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点，
直线轴，，四边形的面积；
③当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，，
联立直线与椭圆，消去可得，
则，．
则弦长，
设，，，，联立直线与抛物线，
消去可得，则，
由抛物线的定义，弦长，
由于，则四边形的面积，
令，则，即，
可知当时，即直线斜率时，四边形面积有最小值8；
综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8．
变式8 已知椭圆，已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值．
【例9】已知椭圆：，设点，，若点，是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
【答案】3
【详解】设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，，，
由椭圆对称性可知：，
又，所以为平行四边形，又，
所以，，则，且，，三点共线，
所以四边形的面积为，
由题意知直线斜率不为0，设直线：，，，
联立，消去，得，
易知，则，，
所以，
又，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，
而点到直线的距离为，
所以，
令，则，，
所以，
又，则，
所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为3.
变式9 椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，．当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围．
【题型四】面积的比值
【例10】已知椭圆，设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围．
【详解】当直线的斜率存在时，设直线，，，，，
由消去，得，
所以△，即，
所以，，
因为点在以为直径的圆上，所以，即，
所以，所以，
化简得，经检验满足△成立，所以线段的中点，，
①当时，，此时，
②当时，射线所在直线方程为，
由，消去，得，，
所以，所以，所以，．
综上，的取值范围为，．
【例11】已知点，双曲线的方程，已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.
【答案】
【详解】因为，所以，又，所以， 设直线，
联立，可得，所以，解得.
又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线，
可得，同理可得，
而
，
所以，即，所以.
变式10 设抛物线C:，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点．
（1）证明：：
（2）记，的面积分别为，，若，求直线l的方程．
变式11 已知点在双曲线C：上，如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
课后作业
已知椭圆E：，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为，若，求三角形的面积.
已知双曲线：，动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
3. 已知椭圆，已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
4. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．求面积的最大值．
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圆锥曲线中的面积
知识点一 焦点三角形面积
椭圆 的焦点三角形面积，
双曲线 的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上).
直线过焦点的面积为：
，注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数；
；
知识点二 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)
，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，
如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离)
直线方程：
，适合边角已知的题型；
拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；如图，点在轴上，直线交轴于点，
（1）当是在轴异侧时，
（2）当是在轴同侧时，
注意: 不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.
同理：若点在轴类似可得.
【题型一】求三角形面积
【例1】已知双曲线：，斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
【详解】
【详解】设直线：，，，
联立，则，所以，；
解得或（舍去），所以，
：，令，得，
所以的面积为
变式1 已知椭圆C：，直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．
【答案】
【详解】①若l斜率不存在，易知；
②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得：
，，，
所以
点O到直线l的距离为，
所以，
解之得，，所以l的方程为或，
【例2】已知抛物线：的焦点，（为原点）和都是半径为1的圆．若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
【答案】依题意可设：，即．
∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，∴，解得，．
联立，消去可得．∴．
∴，．∴．
∴．
变式2 已知椭圆E：，过右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.
【答案】与的方程分别为：，
【详解】 ①若或斜率不存在，易知，不符合题意；
②若斜率存在，设，和的方程联立得：
，，，
，
设，同理可得，
所以
解得，，所以与的方程分别为：，，
【例3】已知椭圆：，过的直线l与椭圆交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程.
【答案】
【详解】依题意，设直线l的斜率为，则直线l的方程为，
设，，
联立，消y得，，
可得：①，②，
由，，，
，整理得③，
由①③得，，代入②，解得，
直线l的方程为或
变式3 已知方程：，点、，过点的直线交轨迹于、（位于第一象限）两点，若，求直线的方程.
【答案】.
【详解】，则，则，设点、，则，
若直线与轴重合，则直线与曲线无公共点，
设直线的方程为，联立，可得，
，由韦达定理可得，可得，
，解得.
因为点在第一象限，即，则，所以，故直线的方程为.
【例4】已知椭圆， 为左右焦点.直线交椭圆于 两点，且.
若，斜率之积为，求证：的面积为定值.
【详解】设，由，
则，由，
，
，，即，
，
整理得：
所以
又O到AB的距离
，
所以为定值.
变式4 已知椭圆方程C：，过点椭圆上一点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值 请说明理由．
【答案】面积为定值.
【详解】的面积为定值，理由如下：设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，由题可得，，故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切
得：①
，
，则直线MO的方程为：，
，，由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即
设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为.故
综上：面积为定值．
知识点三 范围问题
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，可以通过找特殊的位置确定最值．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求取值范围问题的常用方法
构建所求几何量的单一变量的函数表达式，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，通常会用到基本不等式的公式。
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）；
（2），当且仅当时，等号成立；
（3），当且仅当时等号成立；
（4），当且仅当时，等号成立；
(5)，
当且仅当时等号成立；
【题型二】三角形面积最值问题（利用双勾函数/基本不等式求最值）
【例5】已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
【详解】由题意，设直线的方程为，联立，整理可得：，
设，，，，则，，
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以
由，，，，则，
将，代入上式并整理得，
则，化简可得，解得：，或，
因为直线不过点，所以，故所以直线恒过点，．
故
设，则在，上单调递增，
当时，，
所以的面积的最大值为．
【例6】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ）
【详解】（1）由题意可知：，
则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线C的方程为.
（2）①联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，则，为定值；
②由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值.
变式5 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点．求面积的最大值及此时直线的方程．
【详解】当直线垂直轴时，直线的方程为，代入椭圆方程可得，
此时，则；
当直线不垂直轴时，设直线方程为，联立，得，
，，
，
令，则，则，
综上：面积的最大值为，此时直线的方程为．
变式6 已知椭圆，设为坐标原点，圆的切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
【详解】设直线的方程：，，，，，
由到直线的距离，即，
联立方程组，消去，整理得，
则△，，，
则，
由，
当且仅当，即，时取等号，
所以，所以面积，
所以面积的最大值．
【例7】已知椭圆的左右焦点分别为，直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
【答案】
【详解】由题意，,设直线的方程为,，
则直线的方程为，，
联立消去得，所以
所以所以，
同理联立消去得，所以，
所以所以，即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为.
变式7 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）设，，由抛物线的对称性，不妨设，则，
设，由，得，，
故，，，，
所以，同理可得，
若，则直线，MN过点，
若，则直线，MN过点，
综上，直线过定点；
（2）设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．
由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故，
设T为直线GN与AD的交点，同理可得，所以，
由（1）可得，同理可得，
所以，
当且仅当时等号成立，因此的面积的最小值为8．
【题型三】四边形面积最值问题
【例8】已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．
【详解】①当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；
②当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点，
直线轴，，四边形的面积；
③当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，，
联立直线与椭圆，消去可得，
则，．
则弦长，
设，，，，联立直线与抛物线，
消去可得，则，
由抛物线的定义，弦长，
由于，则四边形的面积，
令，则，即，
可知当时，即直线斜率时，四边形面积有最小值8；
综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8．
变式8 已知椭圆，已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值．
【详解】设直线的方程为，，，，，
则由，联立消可得，，，
因为，所以，所以，
令，所以，所以，
又因为在区间，上单调递增，所以，所以．
所以四边形的面积最大值为．
【例9】已知椭圆：，设点，，若点，是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
【答案】3
【详解】设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，，，
由椭圆对称性可知：，
又，所以为平行四边形，又，
所以，，则，且，，三点共线，
所以四边形的面积为，
由题意知直线斜率不为0，设直线：，，，
联立，消去，得，
易知，则，，
所以，
又，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，
而点到直线的距离为，
所以，
令，则，，
所以，
又，则，
所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为3.
变式9 椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，．当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围．
【答案】
【详解】如图所示，，根据对称性只需考虑，
所以直线的方程为，代入椭圆，得，
则，所以，同理，
因两点在轴上方时，所以，，即，
则，同理，
于是，
而，所以，
于是，所以，
令，所以，
所以，此时的取值范围为．
【题型四】面积的比值
【例10】已知椭圆，设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围．
【详解】当直线的斜率存在时，设直线，，，，，
由消去，得，
所以△，即，
所以，，
因为点在以为直径的圆上，所以，即，
所以，所以，
化简得，经检验满足△成立，所以线段的中点，，
①当时，，此时，
②当时，射线所在直线方程为，
由，消去，得，，
所以，所以，所以，．
综上，的取值范围为，．
【例11】已知点，双曲线的方程，已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.
【答案】
【详解】因为，所以，又，所以， 设直线，
联立，可得，所以，解得.
又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线，
可得，同理可得，
而
，
所以，即，所以.
变式10 设抛物线C:，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点．
(1)证明：：
(2)记，的面积分别为，，若，求直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【详解】（1）如图，设l：，，
联立，消去x得，则，且，
又AM：，令得，同理可得，
所以
，
，故.
（2）由（1）可得：，
，
由，得：，解得，
所以直线l的方程为．
变式11 已知点在双曲线C：上，如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
【答案】
【详解】由直线垂直于，可得直线的斜率为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，则，解得，
可得，
则，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，令，可得，
直线的方程为，令，可得
则
，
所以的面积，
又由，则，
令，
可得函数在上单调递减，且，所以，
所以，即的取值范围为.
课后作业
已知椭圆E：，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为，若，求三角形的面积.
【答案】
【详解】设直线l的方程为，则联立椭圆方程得：，设，
则，则，则，则，
则，解得：或（舍去），所以，当时，此时，直线为，所以，点O到直线l的距离为，
则三角形OPM的面积为，同理，当时，求得三角形OPM的面积为，
综上：三角形OPM的面积为
已知双曲线：，动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
【详解】设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且, 化简得 ,
故由 , 同理可求,,所以
又因为原点到直线的距离,
所以,又由，所以,
故的面积是为定值,定值为
3. 已知椭圆，已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【详解】设点，，，，联立，消去，整理得：，
则△，所以，所以，
所以，，
所以，
到直线的距离为，
所以，
，
由，
当且仅当，即时，取等号，所以，
所以面积的最大值．
4. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．求面积的最大值．
【答案】.
【详解】当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为，
由消去，得，
则有，点，而直线：，同理，
当时，直线MN斜率，
直线：，整理得，直线恒过定点，
当，即时，直线：过点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，，直线：过点，
所以动直线过定点.
，
令，当且仅当取等号，，
函数在上单调递增，，
所以，即时，取得最大值.
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