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椭圆及其性质默写
知识点一 椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
坐标范围
离心率
共焦点椭圆方程
共离心率椭圆方程
点和椭圆的关系
切线方程
替换法则：
切点弦所在的直线方程
通径
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长
①椭圆上到中心距离最小的点是 其值为 ，到中心距离最大的点是 其值为 ．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是 最大值为 最小值为
知识点二 椭圆焦点三角形有关的结论
与角度有关的结论：
1．过焦点的直线与 所成的角有关：（注意焦点在y轴上也可以使用，但略有不同）
（1） ， ， ， ，
（2） ，
（3）设，则 ，
2．顶角有关：
（4） ，
（5） ， ，
（二）焦半径的坐标式：(左加右减，上加下减)
已知B点坐标，则 ， ，
（三）仿垂径定理
1. AB为相交弦，若M为AB的 ，则
2.若AB两点关于 ，M为椭圆上任意一点，则
（四）距离和差的最值
（1）若点A在椭圆内，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（2）若点B在椭圆外，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（五）椭圆的其他定义
1.
2.
3.
（1） （2） （3）
双曲线性质
双曲线方程
在平面内，到两个定点、的距离 等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的 ，两焦点的距离叫作双曲线的 ．
标准方程
图形
焦点坐标
顶点坐标
范围
离心率
渐近线方程
点和双曲线 的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长
通径 通径（过焦点且 于的弦）是同支中的最 弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则 焦点三角形中一般要用到的关系是 ①定义： ②面积公式： ③余弦定理：
等轴双曲线 方程可设为：
2．双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为 ；顶点到两条渐近线的距离为 ;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是 ；
性质3： 仿垂径定理：
（1）若M为AB中点，则
若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
性质4：双曲线的焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为 ，即圆心在直线 上；
3. 双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为：
点在双曲线外，则切点弦所在直线方程：
双曲线的轨迹方程
（1）
（2）
（3）
双曲线的四个特征三角形及坐标
抛物线性质
图形
标准方程
焦点
准线方程
通径
常见结论：
1、点与抛物线的关系。
（1）在抛物线内（含焦点）：
（2）在抛物线上：
（3）在抛物线外：
2、的几何意义。
为 到 的距离，即焦准距，越大，抛物线开口 ．
3、切线方程和切点弦方程。
若为切点，抛物线的切线方程为： 。
若点在抛物线外，则切点弦方程为 。
4、抛物线焦点三角形。
（1）. 焦点弦与对称轴所成角有关的结论：
① ， ，
②
③
（2）. 坐标有关的结论：
① ， ，
②若焦点在轴上，则 ； ；
③若焦点在轴上，则 ； ；
（3）. 抛物线的交点弦。
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
①弦长公式：
②
③直线AB的方程为：
④抛物线中的直线的两点式方程:
若抛物线方程，设点，则直线的方程:
若抛物线方程为，设点，则直线的方程:
5、焦点弦的其他性质。
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）
（2）
（3）
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椭圆及其性质
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
知识点二 椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
坐标范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
共焦点椭圆方程
共离心率椭圆方程
点和椭圆 的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，将椭圆方程中换为，换为
切点弦所在的直线方程
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
其他性质：
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点其值为b，到中心距离最大的点是长轴的两个端点其值为a．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．
知识点三 椭圆焦点三角形有关的结论
与角度有关的结论：
1．过焦点的直线与长轴所成的角有关：（注意焦点在y轴上也可以使用，但略有不同）
（1），，，
补充一下怎么区分上面两个公式，两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。同时当为锐角时，较小，较大。当为钝角时，较大，较小。
（2）
强调一下，上述三个公式反映的是过焦点的直线的倾斜角（或斜率）与焦半径长度（或直线弦长）之间的关系，角度唯一确定了长度，同理已知长度也可以快速求解出直线倾斜角。
（3）设，则
反映的是焦半径比值的应用，当题目已知焦半径比值，则务必要联想到此公式。
2．顶角有关：
（4）
（5），
（二）焦半径的坐标式：(左加右减，上加下减)
已知B点坐标，则，
（三）仿垂径定理
1.直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则
2.若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
（四）距离和差的最值
（1）如图，若点A在椭圆内，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（2）如图，若点B在椭圆外，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（五）椭圆的其他定义
与大圆B内切，与小圆A外切的第三个圆的圆心P的轨迹方程为椭圆．
圆内一定点B与圆上任一点C，即BC的垂直平分线与半径AC的交点P的轨迹方程为椭圆。
过圆内一定点B做半径AC的平行线与另一半径AD的交点P的轨迹方程为椭圆。
（1） （2） （3）
双曲线性质
双曲线方程
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令， 令，
点和双曲线 的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
2．双曲线的其他性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
性质3： 仿垂径定理：
（1）直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则
若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
性质4：双曲线的焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为，即圆心在直线上；
3. 双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，则切点弦所在直线方程：为双曲线外
双曲线的轨迹方程
圆外一定点B与圆上一点C，BC的垂直平分线与半径所在直线AC的交点P为双曲线。
如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为与定圆A外切，与定圆B内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
（1） （2） （3）
5.双曲线的四个特征三角形
抛物线及其性质
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二 抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
顶点
焦点
离心率
准线方程
通径
常见结论：
1、点与抛物线的关系。
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、的几何意义。
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
3、切线方程和切点弦方程。
若在曲线上，过该点的抛物线的切线方程为。
若点在抛物线外，则过该点的切点弦方程为。
4、抛物线焦点三角形。
（1）. 焦点弦与对称轴所成角有关的结论：
① ，，
两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。
② ,2P是过焦点，且垂直于x轴的线段的长度（类似椭圆的通径，所以过焦点的线段中通径是最短的）
③
（2）. 坐标有关的结论：
①，，
②
③
（3）. 抛物线的交点弦。
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
①弦长公式：
②
③直线AB的方程为
④抛物线中的直线的两点式方程:
过抛物线上两点的直线方程常运用设点法表示，记点,于是直线的方程:
, 即.
结论：若抛物线方程为，设点，则直线的方程:
.
若抛物线方程为，则直线的方程:.
5、焦点弦的其他性质。
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
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