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§1 阿波罗尼斯圆认识
1、阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2、阿波罗尼斯圆的证明
【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
阿波罗尼斯圆的另一种形式：
【定理2】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
3、阿波罗尼斯圆的相关性质
由上面定理2的证明可得如下的性质：
性质1：当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
性质2：因，故是圆的一条切线．
若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
性质4：过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
性质6：过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
【例1】已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.
【答案】
【详解】设，由题设得：，
∴，故的轨迹是半径为的圆，
∴图形的面积等于.
变式1 在平面直角坐标系中，是两定点，点是圆：上任意一点，满足：，则的长为.
【答案】
【详解】由于是两定点，不妨就假设在轴上
如图所示：设，
，
∴，
∴，
即，
，
与表示同一个圆.
∴∴或
∴.
变式2 若满足条件，则面积的最大值为__________．
【答案】
【详解】设，则，由余弦定理可得
由三角形任意两边之和大于第三边得，解得，即
当时，面积取最大值
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，设，，
因为，所以，即，
所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，
所以，
所以，即的最大值为，
【例3】在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【详解】设
则，
因为，
所以有，
同时平方，化简得，
故点的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，
又点在直线上，
故圆与直线必须有公共点，
所以，解得.
变式3 已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】
【详解】不妨设，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ，
设
故动点的轨迹为圆，由恒成立，则
变式4 已知射线与直线，圆分别交于两点，若线段上存在点（不含端点），使得对于圆上任意一点都满足，则的最大值为 。
【答案】.
【例4】在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．
【答案】.
【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则
∵PB=2PA，，
∴(x 4)2+y2=4(x2+y2)，
∴x2+y2+=0，圆心坐标为,半径为，
∵动点P在直线x+y b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴直线与圆x2+y2+=0相交，
∴圆心到直线的距离，∴，
即实数的取值范围是.
变式5 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有一个，则实数的值为______.
【答案】.
【详解】由题意得：，，设，如下图所示
∵PA、PB分别是圆O，O1的切线，∴∠PBO1=∠PAO=90°，
又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，
∴，∴，整理得，
∴点P（x，y）的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，
∵动点P在直线：上（），满足PB=2PA的点P有且只有一个，
∴该直线l与圆相切，
∴圆心到直线l的距离d满足，即，解得或，
又因为，所以．
变式6古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，因为点，，，
所以即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
§2 阿波罗尼斯圆的逆用
当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴①
同理，∴②
由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：，
因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或．
【例1】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
变式1 古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前262~公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆和，点，为圆上动点，则的最小值为_______.
【答案】
【详解】令，则.
由题意可得圆是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且
设点C坐标为，则
整理得
由题意得该圆的方程为，
所以，解得
所以点C的坐标为，所以，
因此当点M、C、B在同一条直线上时，的值最小，且为，
故最小为.
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两方程可得：，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
变式2 已知圆C：，定点P是圆C上的动点，，O是坐标原点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】设动点，由，得，
整理得，即点的轨迹方程为：，
又因为圆上有且仅有一个点满足，
所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为2，
圆C：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，因为，故舍去，
当两圆内切时，，，得．
课后练习
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【详解】（1）设，因为，，动点满足，
所以，
化简得，即，
所以曲线的方程为，
（2）曲线的圆心为，半径为4，
的圆心为，半径为，
因为曲线和无公共点，
所以两圆外离或内含，
所以或，
所以或，
所以或，
所以的取值范围为
2．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
【答案】C
【详解】设点P
∵即
整理得：
∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，
∵圆的为圆心，半径的圆
由题意可得：或
∴或
3.已知点P是圆上的动点，，O为坐标原点，则的最小值为______．
【答案】10
【详解】假设，使得，
则，
从而可得，
从而可知圆心坐标为，
所以，，解得，即．
所以
．
即的最小值为10．
4．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________
【答案】
【详解】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
5．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为，动点满足， 求的最小值．
【答案】
【详解】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则、，设点，
因为，即，整理可得，
即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则，
当点为线段与圆的交点时，取得最小值，
所以，.
§3 阿波罗尼斯圆与向量
【例1】已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数__________.
【答案】4
【详解】设点,因为点是直线上的动点,故.
由得,化简得.
依题意可知,直线与圆至多有一个公共点,
所以,解得或.所以最小正整数.
【例2】已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为________.
【答案】
【详解】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点，
所以，同理，
取点，则，又因，
所以，
所以，即，
所以，
由三角形的三边关系知.
变式1已知向量满足，则的取值范围是_______.
【答案】
【详解】因为，所以，设，，， ，
即，点在单位圆上，
因为 ，
设，
即，故，
所以 ，
如图，（1）当三点共线，即点在处时，取最小值.
因为，所以，
（2）当位于处时，取最大值，，
因为，
即 ，
所以，当且仅当取等号，
综上，.
变式2 在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【答案】
【详解】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，设，
则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为
【例3】 已知，，点D满足，设，若恒成立，则的最大值为______________．
【答案】4
【详解】延长AB至点F，使得,取AC的中点E，连接EF，
则,
,
点D在EF上，过点A作于点G，
由“边角边”公理可得：，
，
，且恒成立，
，
设，根据面积法知：
，
当且仅当时等号成立，
，
变式3 在中，，，点满足，则的最小值为______.
【答案】
【详解】，
令，，
则，
因为，
所以在直线上，从而当时最小，
在中，，，，
由余弦定理得，
又，
得.
课后练习
1．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【详解】如图，设，则，
则，
又，
∴．
∵满足的点恰有两个，
∴关于的方程在区间上有两个不同的实数根．
设，
则函数在区间上有两个不同的零点，
∴，解得．
2．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.
【答案】
【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.
因为，
所以
因为点P 在圆上，故
所以，故的最小值为.
故答案为：，
§4 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________.
【答案】
【详解】如图所示：延长与的延长线交于点，
则，
故轨迹方程为.
取点，则，，故，
，当共线时等号成立.
故答案为：；
【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
【答案】 ##
【详解】设点，，
∴.
抛物线的焦点为点，由题意知，，
∴.
故答案为：；.
变式1古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为___________．则的最小值为____________．
【答案】；
【详解】设，由题意，即，整理得．
因为圆可以看作把圆向左平移两个单位得到的，那么点平移后变为，所以根据阿氏圆的定义，满足，
结合抛物线定义，
（当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号），此时，
故的最小值为．
（当且仅当M，Q，F三点共线时等号成立），
根据光学的最短光程原理，我们从C点发出一束光，想让光再经过F点，光所用的时间一定是最短的，由于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。
而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到，当过点M的切线与的角平分线垂直，即当过点M的圆的切线与直线平行且离直线近时，取得最小值，此时切线方程为，联立可得，此时，
所以.
【例3】阿波罗尼斯（古希腊数学家，公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（，且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆，，为椭圆的长轴端点，，为椭圆的短轴端点，动点满足，面积的最大值为6，面积的最小值为1，则椭圆的方程为_________
【答案】
【详解】设，，．
动点满足，
则，化简得
面积的最大值为8，面积的最小值为1，
，，解得，，
椭圆的方程为
变式2 在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】解：由题意，设，，
因为
即
两边平方整理得：
所以圆心为，半径
因为的面积的最大值为3
所以，解得：
因为椭圆的离心率
即，所以
由得：
所以面积的最小值为：
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§1 阿波罗尼斯圆认识
1、阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2、阿波罗尼斯圆的证明
【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
阿波罗尼斯圆的另一种形式：
【定理2】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
3、阿波罗尼斯圆的相关性质
由上面定理2的证明可得如下的性质：
性质1：当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
性质2：因，故是圆的一条切线．
若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
性质4：过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
性质6：过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
【例1】已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.
【答案】
【详解】设，由题设得：，
∴，故的轨迹是半径为的圆，
∴图形的面积等于.
变式1 在平面直角坐标系中，是两定点，点是圆：上任意一点，满足：，则的长为.
变式2 若满足条件，则面积的最大值为__________．
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，设，，因为，所以，
即，所以点P的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
因为，其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，所以，
所以，即的最大值为，
【例3】在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【详解】设
则，
因为，所以有，
同时平方，化简得，故点的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，
又点在直线上，故圆与直线必须有公共点，
所以，解得.
变式3 已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．
变式4 已知射线与直线，圆分别交于两点，若线段上存在点（不含端点），使得对于圆上任意一点都满足，则的最大值为 。
【例4】在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．
【答案】.
【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则
∵PB=2PA，，∴(x 4)2+y2=4(x2+y2)，
∴x2+y2+=0，圆心坐标为,半径为，
∵动点P在直线x+y b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+=0相交，
∴圆心到直线的距离，∴，
即实数的取值范围是.
变式5 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有一个，则实数的值为______.
变式6平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
§2 阿波罗尼斯圆的逆用
当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴①
同理，∴②
由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：，
因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或．
【例1】已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．
因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
变式1 已知圆和，点，为圆上动点，则的最小值为_______.
【例2】已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两方程可得：，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
变式2 已知圆C：，定点P是圆C上的动点，，O是坐标原点，则的最小值为______．
课后练面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.
2．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
3.已知点P是圆上的动点，，O为坐标原点，则的最小值为______．
4．已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________
5．若平面内两定点、间的距离为，动点满足， 求的最小值．
§3 阿波罗尼斯圆与向量
【例1】已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数__________.
【答案】4
【详解】设点,因为点是直线上的动点,故.
由得,化简得.
依题意可知,直线与圆至多有一个公共点,
所以,解得或.所以最小正整数.
【例2】已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为________.
【答案】
【详解】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点，
所以，同理，
取点，则，又因，
所以，所以，即，
所以，
由三角形的三边关系知.
变式1已知向量满足，则的取值范围是_______.
变式2 在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【例3】 已知，，点D满足，设，若恒成立，则的最大值为______________．
【答案】4
【详解】延长AB至点F，使得,取AC的中点E，连接EF，
则,
,
点D在EF上，过点A作于点G，
由“边角边”公理可得：，
，
，且恒成立，
，
设，根据面积法知：
，
当且仅当时等号成立，
，
变式3 在中，，，点满足，则的最小值为______.
课后练习
1．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是__________．
2．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.
§4 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________.
【答案】
【详解】如图所示：延长与的延长线交于点，
则，
故轨迹方程为.
取点，则，，故，
，当共线时等号成立.
故答案为：；
【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
【答案】 ##
【详解】设点，，
∴.
抛物线的焦点为点，由题意知，，
∴.
故答案为：；.
变式1在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为___________．则的最小值为____________．
【例3】椭圆，，为椭圆的长轴端点，，为椭圆的短轴端点，动点满足，面积的最大值为6，面积的最小值为1，则椭圆的方程为_________
【答案】
【详解】设，，．
动点满足，
则，化简得
面积的最大值为8，面积的最小值为1，
，，解得，，
椭圆的方程为
变式2 已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.
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