阿波罗尼斯圆及其应用微专题 同步讲义--北师大版(2019)数学选必修1(含解析)

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阿波罗尼斯圆及其应用微专题 同步讲义--北师大版(2019)数学选必修1(含解析)

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§1 阿波罗尼斯圆认识
1、阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点,设点在同一平面上且满足,当且时,点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.(时点的轨迹是线段的中垂线)
2、阿波罗尼斯圆的证明
【定理1】设.若(且),则点的轨迹方程是,其轨迹是以为圆心,半径为的圆.
证明:由及两点间距离公式,可得,
化简可得①,
(1)当时,得,此时动点的轨迹是线段的垂直平分线;
(2)当时,方程①两边都除以得,化为标准形式即为:
,∴点的轨迹方程是以为圆心,半径为的圆.
阿波罗尼斯圆的另一种形式:
【定理2】为两已知点,分别为线段的定比为的内外分点,则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为.
证明:以为例.如图,设,,则,
.过作的垂线圆交于两点,由相交弦定理及勾股定理得,于是.
同时在到两点距离之比等于的圆上,而不共线的三点所确定的圆是唯一的,圆上任意一点到两点的距离之比恒为.同理可证的情形.
3、阿波罗尼斯圆的相关性质
由上面定理2的证明可得如下的性质:
性质1:当时,点B在圆内,点A在圆外;当时,点A在圆内,点B在圆外.
性质2:因,故是圆的一条切线.
若已知圆及圆外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.
性质3:所作出的阿波罗尼斯圆的直径为,面积为.
性质4:过点作圆的切线(为切点),则分别为的内、外角平分线.
性质5:阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点,如图所示,是的内分点,是的外分点,此时必有平分,平分的外角.
证明:如图①,由已知可得(且),,又,
平分.由等角的余角相等可得,平分的外角.
性质6:过点作圆不与重合的弦,则AB平分.
证明:如图,连结,由已知(且),又,平分.
平分.
【例1】已知两定点,,如果动点满足,则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.
【答案】
【详解】设,由题设得:,
∴,故的轨迹是半径为的圆,
∴图形的面积等于.
变式1 在平面直角坐标系中,是两定点,点是圆:上任意一点,满足:,则的长为.
【答案】
【详解】由于是两定点,不妨就假设在轴上
如图所示:设,

∴,
∴,
即,

与表示同一个圆.
∴∴或
∴.
变式2 若满足条件,则面积的最大值为__________.
【答案】
【详解】设,则,由余弦定理可得
由三角形任意两边之和大于第三边得,解得,即
当时,面积取最大值
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点与两个定点,的距离之比为(,且),那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点,间的距离为,动点满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:由题意,设,,
因为,所以,即,
所以点P的轨迹为以为圆心,半径为的圆,
因为,其中可看作圆上的点到原点的距离的平方,
所以,
所以,即的最大值为,
【例3】在平面直角坐标中,已知点,若直线上存在点使得,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】设
则,
因为,
所以有,
同时平方,化简得,
故点的轨迹为圆心在(0,0),半径2为的圆,
又点在直线上,
故圆与直线必须有公共点,
所以,解得.
变式3 已知是平面上两个定点,平面上的动点满足,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为______.
【答案】
【详解】不妨设,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则 ,

故动点的轨迹为圆,由恒成立,则
变式4 已知射线与直线,圆分别交于两点,若线段上存在点(不含端点),使得对于圆上任意一点都满足,则的最大值为 。
【答案】.
【例4】在平面直角坐标系中,已知圆,,动点在直线上,过点分别作圆的切线,切点分别为,若满足的点有且只有两个,则实数的取值范围是________.
【答案】.
【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y),则
∵PB=2PA,,
∴(x 4)2+y2=4(x2+y2),
∴x2+y2+=0,圆心坐标为,半径为,
∵动点P在直线x+y b=0上,满足PB=2PA的点P有且只有两个,
∴直线与圆x2+y2+=0相交,
∴圆心到直线的距离,∴,
即实数的取值范围是.
变式5 在平面直角坐标系中,已知圆:,圆:,动点在直线:上(),过分别作圆,的切线,切点分别为,,若满足的点有且只有一个,则实数的值为______.
【答案】.
【详解】由题意得:,,设,如下图所示
∵PA、PB分别是圆O,O1的切线,∴∠PBO1=∠PAO=90°,
又∵PB=2PA,BO1=2AO,∴△PBO1∽△PAO,∴,
∴,∴,整理得,
∴点P(x,y)的轨迹是以为圆心、半径等于的圆,
∵动点P在直线:上(),满足PB=2PA的点P有且只有一个,
∴该直线l与圆相切,
∴圆心到直线l的距离d满足,即,解得或,
又因为,所以.
变式6古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,已知点,,圆,在圆上存在点满足,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设,因为点,,,
所以即,
所以,可得圆心,半径,
由圆可得圆心,半径,
因为在圆上存在点满足,
所以圆与圆有公共点,
所以,整理可得:,
解得:,
所以实数的取值范围是,
故选:D.
§2 阿波罗尼斯圆的逆用
当题目给了阿氏圆和一个定点,我们可以通过下述方法快速找到另一个定点,便于计算,令圆O与直线OA相交于M,N两点设点E为OA上一点,且满足,由阿氏圆定理,,则,∴①
同理,∴②
由①②消OA得:,即,即,由①②消R得:,
因此,满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上,且或.
【例1】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题,已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A,B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】①当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0).
若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2×+;
若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2×+.
②当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),如图,
连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=,|OK|=2,
所以.
因为∠MOK=∠AOM,
所以△MOK∽△AOM,则,
所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.
易知|MB|+|MK|≥|BK|,
所以|MB|+|MK|的最小值为|BK|.
因为B(1,1),K(-2,0),
所以(2|MA|+|MB|)min
=|BK|=.
又<1+<4,所以2|MA|+|MB|的最小值为.
变式1 古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前262~公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆和,点,为圆上动点,则的最小值为_______.
【答案】
【详解】令,则.
由题意可得圆是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且
设点C坐标为,则
整理得
由题意得该圆的方程为,
所以,解得
所以点C的坐标为,所以,
因此当点M、C、B在同一条直线上时,的值最小,且为,
故最小为.
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆、点和点,M为圆O上的动点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设,令,则,
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆,且,
设点,则,
整理得:,
比较两方程可得:,,,即,,点,
当点M位于图中的位置时,的值最大,最大为.
变式2 已知圆C:,定点P是圆C上的动点,,O是坐标原点,则的最小值为______.
【答案】
【详解】设动点,由,得,
整理得,即点的轨迹方程为:,
又因为圆上有且仅有一个点满足,
所以两圆相切,
圆的圆心坐标为,半径为2,
圆C:的圆心坐标为,半径为,两圆的圆心距为3,
当两圆外切时,,得,因为,故舍去,
当两圆内切时,,,得.
课后练习
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名,他发现:“平面内到两个定点,的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,,动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)若曲线和无公共点,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)设,因为,,动点满足,
所以,
化简得,即,
所以曲线的方程为,
(2)曲线的圆心为,半径为4,
的圆心为,半径为,
因为曲线和无公共点,
所以两圆外离或内含,
所以或,
所以或,
所以或,
所以的取值范围为
2.古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262—前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知,,圆上有且仅有一个点P满足,则r的取值为( )
A.1 B.5 C.1或5 D.不存在
【答案】C
【详解】设点P
∵即
整理得:
∴点P的轨迹为以为圆心,半径的圆,
∵圆的为圆心,半径的圆
由题意可得:或
∴或
3.已知点P是圆上的动点,,O为坐标原点,则的最小值为______.
【答案】10
【详解】假设,使得,
则,
从而可得,
从而可知圆心坐标为,
所以,,解得,即.
所以

即的最小值为10.
4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点A、B,动点P满足(其中是正常数,且),则P的轨迹是一个圆,这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点,P是圆上的动点,则的最小值为____________
【答案】
【详解】如图,在轴上取点,
,,,,
(当且仅当为与圆交点时取等号),
.
5.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为,动点满足, 求的最小值.
【答案】
【详解】以经过、的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,
则、,设点,
因为,即,整理可得,
即,所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
则,
当点为线段与圆的交点时,取得最小值,
所以,.
§3 阿波罗尼斯圆与向量
【例1】已知点,,,点D是直线AC上的动点,若恒成立,则最小正整数__________.
【答案】4
【详解】设点,因为点是直线上的动点,故.
由得,化简得.
依题意可知,直线与圆至多有一个公共点,
所以,解得或.所以最小正整数.
【例2】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则最小值为________.
【答案】
【详解】如图,,设,则向量满足,设,所以点为以为圆心,以为半径的圆上的一点,
所以,同理,
取点,则,又因,
所以,
所以,即,
所以,
由三角形的三边关系知.
变式1已知向量满足,则的取值范围是_______.
【答案】
【详解】因为,所以,设,,, ,
即,点在单位圆上,
因为 ,
设,
即,故,
所以 ,
如图,(1)当三点共线,即点在处时,取最小值.
因为,所以,
(2)当位于处时,取最大值,,
因为,
即 ,
所以,当且仅当取等号,
综上,.
变式2 在平面四边形ABCD中,, ,.若, 则的最小值为____.
【答案】
【详解】如图,以的中点为坐标原点,以方向为轴正向,建立如下平面直角坐标系.
则,,设,
则,,
因为
所以,即:
整理得:,所以点在以原点为圆心,半径为2的圆上.
在轴上取,连接
可得,所以,所以
由图可得:当三点共线时,即点在图中的位置时,最小.
此时最小为
【例3】 已知,,点D满足,设,若恒成立,则的最大值为______________.
【答案】4
【详解】延长AB至点F,使得,取AC的中点E,连接EF,
则,
,
点D在EF上,过点A作于点G,
由“边角边”公理可得:,

,且恒成立,

设,根据面积法知:

当且仅当时等号成立,

变式3 在中,,,点满足,则的最小值为______.
【答案】
【详解】,
令,,
则,
因为,
所以在直线上,从而当时最小,
在中,,,,
由余弦定理得,
又,
得.
课后练习
1.已知等边的边长为2,点在线段上,若满足的点恰有两个,则实数的取值范围是__________.
【答案】.
【详解】如图,设,则,
则,
又,
∴.
∵满足的点恰有两个,
∴关于的方程在区间上有两个不同的实数根.
设,
则函数在区间上有两个不同的零点,
∴,解得.
2.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(且)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系中,,,点满足,则点P的轨迹方程为__________.(答案写成标准方程),的最小值为___________.
【答案】
【详解】设P点坐标为,则由,得,化简得,即.
因为,
所以
因为点P 在圆上,故
所以,故的最小值为.
故答案为:,
§4 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】设双曲线的左右两个焦点分别为、,是双曲线上任意一点,过的直线与的平分线垂直,垂足为,则点的轨迹曲线的方程________;在曲线上,点,,则的最小值________.
【答案】
【详解】如图所示:延长与的延长线交于点,
则,
故轨迹方程为.
取点,则,,故,
,当共线时等号成立.
故答案为:;
【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,,点是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为____;若点为抛物线上的动点,在轴上的射影为,则的最小值为______.
【答案】 ##
【详解】设点,,
∴.
抛物线的焦点为点,由题意知,,
∴.
故答案为:;.
变式1古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262-190年),与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家;他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网络殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.比如在平面直角坐标系中,、,则点满足所得点轨迹就是阿氏圆;已知点,为抛物线上的动点,点在直线上的射影为,为曲线上的动点,则的最小值为___________.则的最小值为____________.
【答案】;
【详解】设,由题意,即,整理得.
因为圆可以看作把圆向左平移两个单位得到的,那么点平移后变为,所以根据阿氏圆的定义,满足,
结合抛物线定义,
(当且仅当,,,四点共线,且,在,之间时取等号),此时,
故的最小值为.
(当且仅当M,Q,F三点共线时等号成立),
根据光学的最短光程原理,我们从C点发出一束光,想让光再经过F点,光所用的时间一定是最短的,由于介质不变,自然可以把时间最短看作光程最短。
而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角,并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到,当过点M的切线与的角平分线垂直,即当过点M的圆的切线与直线平行且离直线近时,取得最小值,此时切线方程为,联立可得,此时,
所以.
【例3】阿波罗尼斯(古希腊数学家,公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数(,且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆,,为椭圆的长轴端点,,为椭圆的短轴端点,动点满足,面积的最大值为6,面积的最小值为1,则椭圆的方程为_________
【答案】
【详解】设,,.
动点满足,
则,化简得
面积的最大值为8,面积的最小值为1,
,,解得,,
椭圆的方程为
变式2 在平面上给定相异两点A,B,点P满足,则当且时,P点的轨迹是一个圆,我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率,A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点P满足,若的面积的最大值为3,则面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】解:由题意,设,,
因为

两边平方整理得:
所以圆心为,半径
因为的面积的最大值为3
所以,解得:
因为椭圆的离心率
即,所以
由得:
所以面积的最小值为:
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§1 阿波罗尼斯圆认识
1、阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点,设点在同一平面上且满足,当且时,点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.(时点的轨迹是线段的中垂线)
2、阿波罗尼斯圆的证明
【定理1】设.若(且),则点的轨迹方程是,其轨迹是以为圆心,半径为的圆.
证明:由及两点间距离公式,可得,
化简可得①,
(1)当时,得,此时动点的轨迹是线段的垂直平分线;
(2)当时,方程①两边都除以得,化为标准形式即为:
,∴点的轨迹方程是以为圆心,半径为的圆.
阿波罗尼斯圆的另一种形式:
【定理2】为两已知点,分别为线段的定比为的内外分点,则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为.
证明:以为例.如图,设,,则,
.过作的垂线圆交于两点,由相交弦定理及勾股定理得,于是.
同时在到两点距离之比等于的圆上,而不共线的三点所确定的圆是唯一的,圆上任意一点到两点的距离之比恒为.同理可证的情形.
3、阿波罗尼斯圆的相关性质
由上面定理2的证明可得如下的性质:
性质1:当时,点B在圆内,点A在圆外;当时,点A在圆内,点B在圆外.
性质2:因,故是圆的一条切线.
若已知圆及圆外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.
性质3:所作出的阿波罗尼斯圆的直径为,面积为.
性质4:过点作圆的切线(为切点),则分别为的内、外角平分线.
性质5:阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点,如图所示,是的内分点,是的外分点,此时必有平分,平分的外角.
证明:如图①,由已知可得(且),,又,
平分.由等角的余角相等可得,平分的外角.
性质6:过点作圆不与重合的弦,则AB平分.
证明:如图,连结,由已知(且),又,平分.
平分.
【例1】已知两定点,,如果动点满足,则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.
【答案】
【详解】设,由题设得:,
∴,故的轨迹是半径为的圆,
∴图形的面积等于.
变式1 在平面直角坐标系中,是两定点,点是圆:上任意一点,满足:,则的长为.
变式2 若满足条件,则面积的最大值为__________.
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点与两个定点,的距离之比为(,且),那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点,间的距离为,动点满足,则的最大值为( )
B. C. D.
【答案】A
【详解】解:由题意,设,,因为,所以,
即,所以点P的轨迹为以为圆心,半径为的圆,
因为,其中可看作圆上的点到原点的距离的平方,所以,
所以,即的最大值为,
【例3】在平面直角坐标中,已知点,若直线上存在点使得,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】设
则,
因为,所以有,
同时平方,化简得,故点的轨迹为圆心在(0,0),半径2为的圆,
又点在直线上,故圆与直线必须有公共点,
所以,解得.
变式3 已知是平面上两个定点,平面上的动点满足,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为______.
变式4 已知射线与直线,圆分别交于两点,若线段上存在点(不含端点),使得对于圆上任意一点都满足,则的最大值为 。
【例4】在平面直角坐标系中,已知圆,,动点在直线上,过点分别作圆的切线,切点分别为,若满足的点有且只有两个,则实数的取值范围是________.
【答案】.
【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y),则
∵PB=2PA,,∴(x 4)2+y2=4(x2+y2),
∴x2+y2+=0,圆心坐标为,半径为,
∵动点P在直线x+y b=0上,满足PB=2PA的点P有且只有两个,∴直线与圆x2+y2+=0相交,
∴圆心到直线的距离,∴,
即实数的取值范围是.
变式5 在平面直角坐标系中,已知圆:,圆:,动点在直线:上(),过分别作圆,的切线,切点分别为,,若满足的点有且只有一个,则实数的值为______.
变式6平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,已知点,,圆,在圆上存在点满足,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
§2 阿波罗尼斯圆的逆用
当题目给了阿氏圆和一个定点,我们可以通过下述方法快速找到另一个定点,便于计算,令圆O与直线OA相交于M,N两点设点E为OA上一点,且满足,由阿氏圆定理,,则,∴①
同理,∴②
由①②消OA得:,即,即,由①②消R得:,
因此,满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上,且或.
【例1】已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A,B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】①当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0).
若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2×+;
若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2×+.
②当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),如图,
连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=,|OK|=2,所以.
因为∠MOK=∠AOM,所以△MOK∽△AOM,则,
所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.
易知|MB|+|MK|≥|BK|,
所以|MB|+|MK|的最小值为|BK|.
因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=.
又<1+<4,所以2|MA|+|MB|的最小值为.
变式1 已知圆和,点,为圆上动点,则的最小值为_______.
【例2】已知在平面直角坐标系中,圆、点和点,M为圆O上的动点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设,令,则,
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆,且,
设点,则,
整理得:,
比较两方程可得:,,,即,,点,
当点M位于图中的位置时,的值最大,最大为.
变式2 已知圆C:,定点P是圆C上的动点,,O是坐标原点,则的最小值为______.
课后练面直角坐标系中,,,动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)若曲线和无公共点,求的取值范围.
2.已知,,圆上有且仅有一个点P满足,则r的取值为( )
A.1 B.5 C.1或5 D.不存在
3.已知点P是圆上的动点,,O为坐标原点,则的最小值为______.
4.已知两定点,P是圆上的动点,则的最小值为____________
5.若平面内两定点、间的距离为,动点满足, 求的最小值.
§3 阿波罗尼斯圆与向量
【例1】已知点,,,点D是直线AC上的动点,若恒成立,则最小正整数__________.
【答案】4
【详解】设点,因为点是直线上的动点,故.
由得,化简得.
依题意可知,直线与圆至多有一个公共点,
所以,解得或.所以最小正整数.
【例2】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则最小值为________.
【答案】
【详解】如图,,设,则向量满足,设,所以点为以为圆心,以为半径的圆上的一点,
所以,同理,
取点,则,又因,
所以,所以,即,
所以,
由三角形的三边关系知.
变式1已知向量满足,则的取值范围是_______.
变式2 在平面四边形ABCD中,, ,.若, 则的最小值为____.
【例3】 已知,,点D满足,设,若恒成立,则的最大值为______________.
【答案】4
【详解】延长AB至点F,使得,取AC的中点E,连接EF,
则,
,
点D在EF上,过点A作于点G,
由“边角边”公理可得:,

,且恒成立,

设,根据面积法知:

当且仅当时等号成立,

变式3 在中,,,点满足,则的最小值为______.
课后练习
1.已知等边的边长为2,点在线段上,若满足的点恰有两个,则实数的取值范围是__________.
2.在平面直角坐标系中,,,点满足,则点P的轨迹方程为__________.(答案写成标准方程),的最小值为___________.
§4 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】设双曲线的左右两个焦点分别为、,是双曲线上任意一点,过的直线与的平分线垂直,垂足为,则点的轨迹曲线的方程________;在曲线上,点,,则的最小值________.
【答案】
【详解】如图所示:延长与的延长线交于点,
则,
故轨迹方程为.
取点,则,,故,
,当共线时等号成立.
故答案为:;
【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,,点是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为____;若点为抛物线上的动点,在轴上的射影为,则的最小值为______.
【答案】 ##
【详解】设点,,
∴.
抛物线的焦点为点,由题意知,,
∴.
故答案为:;.
变式1在平面直角坐标系中,、,则点满足所得点轨迹就是阿氏圆;已知点,为抛物线上的动点,点在直线上的射影为,为曲线上的动点,则的最小值为___________.则的最小值为____________.
【例3】椭圆,,为椭圆的长轴端点,,为椭圆的短轴端点,动点满足,面积的最大值为6,面积的最小值为1,则椭圆的方程为_________
【答案】
【详解】设,,.
动点满足,
则,化简得
面积的最大值为8,面积的最小值为1,
,,解得,,
椭圆的方程为
变式2 已知椭圆的离心率,A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点P满足,若的面积的最大值为3,则面积的最小值为___________.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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