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曲线动点轨迹方程
【题型一】相关点法
【例1】 已知圆：，设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程.
【答案】
【详解】设，，则，，在圆上运动，，整理可得：，即的轨迹方程为.
【例2】 设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N点P满足，求点P的轨迹方程；
【答案】
【详解】设，则,，由，得，
因为点M在椭圆上，所以，即点P的轨迹方程为，
【例3】 已知，直线与⊙ C相切且分别交轴、轴正向于A、B两点，O为坐标原点，且 ，求线段中点的轨迹方程.
【答案】
【详解】将圆C的方程化为标准方程可得 ，
则．设直线AB的方程为
∵直线AB与⊙C相切，∴ ①
设AB中点，则 代入①得P点的轨迹方程
∵ ∴ ∴P点的轨迹方程为
【例4】已知双曲线，直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】，.
【详解】依题意，由消去y整理得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，即，点M的横坐标为，
点，，过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，.
变式1 已知为平面内一动点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，P为线段的中点，且．记动点P的轨迹为W．求W的方程．
【答案】 ；
【详解】设，则，
因为，所以，即，
因为P为线段的中点，所以．故W的方程为．
变式2 已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
【答案】 ；
【详解】依题意，设，则，，因，
则，解得，而，即，于是得，即，
所以曲线的方程为.
变式3 已知直线l：与双曲线C：相切于点Q．已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程．
【答案】
【详解】由题可设切点且，则即，
对求关于的导数可得:， 所以，
则切线斜率， 又过点与垂直的直线分别交，轴于两点，
所以， 所以，
令， 得， 所以，令， 得， 所以，
所以， 设，则，则由以及消参得：，
即的轨迹方程是.
【题型二】点差法
【例5】 已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点，求中点的轨迹方程；
【答案】
【详解】设，，则，①减②得：
即：，即：，整理得即为所求；
变式4 如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为，求点的轨迹方程；
【答案】
【详解】由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图，
由可得：，
所以，所以，代入直线方程得：，
又当时，由得，在抛物线开口方向内，，
点的轨迹方程为：；
【题型三】定义法
【例6】如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，求点的轨迹形成曲线:
【答案】
【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，
所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，直线AB：，所以抛物线方程为：，
【例7】已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；
【答案】(1)
【详解】，且，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，．所以点的轨迹方程为：．
变式5 在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .求动点的轨迹的方程；
【答案】
【详解】依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，
∴是线段的垂直平分线．∴是点到直线的距离．
∵点在线段的垂直平分线，∴． 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
其方程为：．
变式6 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程：
【答案】
【详解】由题意可知：，
则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线C的方程为.
【例8】已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
【答案】 ，；
【详解】设圆E的圆心为，半径为r，则，，所以．
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；
变式7 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1
【答案】 A
【详解】,则，根据双曲线定义知的轨迹为的左半支
故选：A
变式8 已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程；
【答案】 ；
【详解】由题意到点的距离等于点到直线的距离，所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，即，，所以抛物线方程即点轨迹方程是．
【题型四】直接法
【例9】 已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.设动点的轨迹为曲线，求曲线的标准方程；
【答案】
【详解】设点，点到直线的距离为，依题意得：
代入坐标得：=，化简得
【例10】已知抛物线：，设是抛物线上两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若(为原点，异于原点)，试求点的轨迹方程．
【答案】 .
【详解】设，，，由，得．
又，．解得③
直线ON：，即④
由③、④及得，点N的轨迹方程为．
变式9 已知定点，，动点P满足，记动点P的轨迹为，求动点P的轨迹的方程；
【答案】 ，其中或
【详解】设，由题意或则，即，则
所以动点P的轨迹的方程为，其中或
变式10 如图，在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），过直线l：x＝4 左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
【答案】
【详解】设P（x，y），由题意可知|MF|＝|PF|，所以，即，化简整理得，
即曲线C的方程为.
变式11 已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程；
【答案】；
【详解】设动圆圆心C的坐标为（ x , y ）则所以，所求动圆圆心的轨迹C的方程为
五、参数法
【例11】已知点在曲线上，求动点的轨迹的方程；
【答案】
【详解】由题意，点在曲线上，可得，
令，可得，设，则，
即动点的轨迹的方程.
变式12 已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为
【答案】
【详解】不妨设为直线与的轴的交点，为直线与的轴的交点，则，故，
设，则且，故C的轨迹与坐标轴为，
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曲线动点轨迹方程
一、椭圆的其他定义
1．与大圆B内切，与小圆A外切的第三个圆的圆心P的轨迹方程为椭圆．
2．圆内一定点B与圆上任一点C的垂直平分线与半径AC的交点P轨迹方程为椭圆。
3．过圆内一定点B做半径AC的平行线与另一半径AD的交点P轨迹方程为椭圆。
二、双曲线的其他定义
1．圆外一定点P与圆上任一点C的垂直平分线与半径所在直线AC的交点P为双曲线。
2．如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
3．如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为与定圆A外切，与定圆B内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
三、抛物线的其他定义
1．如果动圆P与一个定圆C和一条直线l同时相切（且直线与该定圆不相切），那么动圆的圆心P轨迹为抛物线。
动点轨迹的解法
1. 相关点：动点依赖于已知轨迹上的点的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，即点的位置唯一决定了动点的位置。步骤如下：
1、设出动点坐标
2、根据条件找出与用的代数式表示
3、再将代入已知相关点曲线方程中，可以得动点的轨迹方程
2. 点差法：只能求直线与圆锥曲线的相交弦的中点的轨迹方程。
3. 定义法：先根据条件得出动点的轨迹满足某种已知曲线的特征，再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程；
4. 直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点；③列式,列出动点P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为的方程式，并化简即为符合条件的动点轨迹方程。
5. 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
圆锥曲线轨迹方程
【题型一】相关点法
【例1】 已知圆：，设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程.
【答案】
【详解】设，，则，，在圆上运动，，整理可得：，即的轨迹方程为.
【例2】 设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N点P满足，求点P的轨迹方程；
【答案】
【详解】设，则,，由，得，
因为点M在椭圆上，所以，即点P的轨迹方程为，
【例3】 已知，直线与⊙ C相切且分别交轴、轴正向于A、B两点，O为坐标原点，且 ，求线段中点的轨迹方程.
【答案】
【详解】将圆C的方程化为标准方程可得 ，
则．设直线AB的方程为
∵直线AB与⊙C相切，∴ ①
设AB中点，则 代入①得P点的轨迹方程
∵ ∴ ∴P点的轨迹方程为
【例4】已知双曲线，直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】，.
【详解】依题意，由消去y整理得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，即，点M的横坐标为，
点，，过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，.
变式1 已知为平面内一动点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，P为线段的中点，且．记动点P的轨迹为W．求W的方程．
变式2 已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
变式3 已知直线l：与双曲线C：相切于点Q．已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程．
【题型二】点差法
【例5】 已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点，求中点的轨迹方程；
【答案】
【详解】设，，则，①减②得：
即：，即：，整理得即为所求；
变式4 如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为，求点的轨迹方程；
【题型三】定义法
【例6】如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，求点的轨迹形成曲线:
【答案】
【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，
所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，直线AB：，所以抛物线方程为：，
【例7】已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；
【答案】
【详解】，且，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，．所以点的轨迹方程为：．
变式5 在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .求动点的轨迹的方程；
变式6 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程：
【例8】已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
【答案】 ，；
【详解】设圆E的圆心为，半径为r，则，，所以．
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；
变式7 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1
变式8 已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程；
【题型四】直接法
【例9】 已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.设动点的轨迹为曲线，求曲线的标准方程；
【答案】
【详解】设点，点到直线的距离为，依题意得： ；、
入坐标得：=，化简得
【例10】已知抛物线：，设是抛物线上两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若(为原点，异于原点)，试求点的轨迹方程．
【答案】 .
【详解】设，，，由，得．
又，．解得③；直线ON：，即④
由③、④及得，点N的轨迹方程为．
变式9 已知定点，，动点P满足，记动点P的轨迹为，求动点P的轨迹的方程；
变式10 如图，在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），过直线l：x＝4 左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
变式11 已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程；
五、参数法
【例11】已知点在曲线上，求动点的轨迹的方程；
【答案】
【详解】由题意，点在曲线上，可得，
令，可得，设，则，
即动点的轨迹的方程.
变式12 已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为
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