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极点极线
1. 二次曲线的替换法则　
对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程：
．
2. 极点极线的代数定义　
对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线．
高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：
(1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：；
②极点关于圆的极线方程是：
；
③极点关于圆的极线方程是：
．
(2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：．
(3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：．
(4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：．
3. 极点极线的几何意义　
(1) 若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程．
若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB；
(3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线．
4. 自极三角形　
如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。
如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。
结论：
①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点;
②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。
5.中点弦公式
若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是：
(1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换）
(2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：．
(3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：．
【题型一】 证明直线过定点
【例1】已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【详解】由题意可知，直线l的方程为，即，
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，
，化简得
所以，因为方程只有一解，
所以，故直线MG的方程为，化简得，
同理可得直线MH的方程为，
又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为，
又因为，所以直线GH的方程为，.
令，得所以直线GH恒过定点.
思路总结：直线过定点问题可以先通过找到自级三角形（内接四边形对角线的交点，两组对面的交点），设出要求的定点坐标（极点），并写出极线方程，然后根据题中有关极线方程的条件，求出极点坐标，即为要求的定点。最后就是证明直线过该定点。
变式1设直线与椭圆不相交．过直线上点作椭圆的切线，切点分别 ，连接．当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点．
【例2】如图，已知的左、右顶点为、，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
【详解】方法一（极点极线）：如图，点的轨迹方程为，
即，又交点在上，由性质知，
为极点, 为对应的极线，即交点为，
即过定点
方法二（联立求解）：点的坐标为，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，
解得、，
若，且,得，
此时直线的方程为，过点；
若，则，直线的斜率，
直线的斜率，
所以,所以直线过点，
因此直线必过轴上一定点.
变式2已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点.
基于坐标轴对称，补全极点极线
【例3】已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，设关于轴的对称点为，证明：直线过定点．并求出该定点的坐标.
【详解】由题设可得，，设直线，联立椭圆可得，，
可得直线的方程为，
令，可得，
故直线过轴上的定点，．
变式3已知双曲线C:，设Q（1，0），直线（）与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.并求出该定点的坐标.
【例4】已知椭圆，过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
【详解】假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为，
设，，
①当直线不是轴时，可设， 与联立，并整理得，
，即，，，
依题意有，即，
，，代入上式得，
，解得，
即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为；
②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为.
综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0.
变式4 已知椭圆：，，为椭圆的左、右焦点，设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：AB直线过定点，并求出该定点的坐标.
【题型二】面积的最值
【例5】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值．
【答案】
【详解】①设直线，由，消得，
设，，所以，，
所以，
因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点．
②由①知，，，且，即，
又，
令，则，
所以，当且仅当时取“=”，
所以．
变式5 已知椭圆：，过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．求面积的取值范围．
【例6】已知分别是椭圆：的左、右顶点，为直线上的动点（不在轴上），与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．求四边形面积的最大值．
【答案】16
【详解】①因为不在轴上，所以直线的倾斜角不为零，
设直线，，，
联立，消去整理得，
所以，即，
，，所以．
由题意得直线，令，所以．
直线，令，所以，
故，即，化简得，
故，
化简得，即．
若，代入，，无解，
所以，即，所以直线，即直线恒过定点．
②所以直线，所以，
则，，
所以，
，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
此时取得最大值．所以，
所以四边形的面积，
所以四边形面积的最大值为16．
变式6 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为、，过作不与坐标轴垂直的直线l，l交于A，B两点，点关于轴的对称点记为．求面积的最大值．
【题型三】证明动点在定直线上
【例7】已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，直线与交于点M，求证直线与交点M在一条定直线l上。
【详解】 ，，，设直线PQ的方程是，
代入椭圆方程得：，易知，
设，，，则，，
直线的方程是： ①，直线的方程是： ②，
设，既满足①也满足②，
则
，
故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上.
【例8】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左 右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.
【答案】
【详解】因为点满足，所以，设直线的方程为，
联立，得，
设，易得，则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
因为，所以，解得
所以动点的轨迹方程为.
由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为.
思路总结：通常动点所在定直线为横线或者竖线；首先找到自极三角形，然后根据极点坐标写出极线方程，接下来我们再去用常规联立的方法求动点的横坐标（或者是纵坐标）为定值。所以极点极线的结论可以帮助我们指明解题方向。
变式7 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程．
【题型四】 求斜率的比值为定值，坐标的乘积为定值
【例9】已知椭圆，过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【详解】依题意有，，，设直线的方程为，
由得，则，，
，所以为定值.
变式8 椭圆 的两顶点为，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与直线交于点.点异于两点时，求证： 为定值.
变式9 已知椭圆C : ，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，设直线、的斜率分别为、，且过定点，求证：为定值，并求出该定值．
【题型四】双曲线的极点极线
【例10】 已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。
半代换：由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，据此可得点在定直线上运动.
变式10 已知，，，不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点.
变式11 已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
（1）记直线，的斜率分别为，，求的值；
（2）设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值.
【题型五】抛物线的极点极线
【例11】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论
（1）直线与抛物线有1个公共点；
（2）直线恒过定点；
（3）点的轨迹方程是；
【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点，
且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程，
则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。
设点，则直线方程为：，即，
则；又，且，则直线，，
故三点共线，则直线恒过定点；
（3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是；
6.调和点列
图2
如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。
极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为．
图3
①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;
②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；
③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线．
极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有
，反之也成立．即．
证明：
极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭．
证明：设直线与的另一交点为
若
化简即得；反之也成立．
【题型五】调和点列
【例12】设椭圆，过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上．
【详解】方法一（极点极线）：已知，说明点关于椭圆调和共轭，
则点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得．
故点总在直线．
方法二：设，
由题意可知：均不为0，
由，可得，
设，则，且，
又因为四点共线，则，
且，
则，可得，即，
可得
又因为在椭圆C上，则，即，
可得，即，
所以点Q总在直线上.
变式12 在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.
课后作业
1.已知椭圆E :线段分别是它的长轴和短轴．是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．
①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
2. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上．
曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点．
4．已知椭圆：，左右焦点分别为，，为上的两个动点，且，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点．
5. 已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
已知椭圆C : ，设椭圆的左 右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，求的最大值.
7．已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。
8．已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值.
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极点极线
1. 二次曲线的替换法则　
对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程：
．
2. 极点极线的代数定义　
对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线．
高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：
(1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：；
②极点关于圆的极线方程是：
；
③极点关于圆的极线方程是：
．
(2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：．
(3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：．
(4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：．
3. 极点极线的几何意义　
(1) 若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程．
(2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦；
(3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的轨迹．
4. 自极三角形　
如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。
如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。
结论：
①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点;
②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。
5.中点弦公式
若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是：
(1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换）
(2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：．
(3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：．
【题型一】 证明直线过定点
【例1】已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【详解】由题意可知，直线l的方程为，即，
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，.
，化简得
所以，因为方程只有一解，
所以，故直线MG的方程为，化简得，
同理可得直线MH的方程为，
又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为，
又因为，所以直线GH的方程为，.
令，得所以直线GH恒过定点.
思路总结：直线过定点问题可以先通过找到自级三角形（内接四边形对角线的交点，两组对面的交点），设出要求的定点坐标（极点），并写出极线方程，然后根据题中有关极线方程的条件，求出极点坐标，即为要求的定点。最后就是证明直线过该定点。
变式1设直线与椭圆不相交．过直线上点作椭圆的切线，切点分别 ，连接．当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点．
【详解】设点，则点对应的极线为直线，其方程为①．当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为．代入①式消去的．②
②式对一切恒成立，变形可得，对一切恒成立．
，
【例2】在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
【详解】方法一（极点极线）：如图，点的轨迹方程为，
即，又交点在上，由性质知，
为极点, 为对应的极线，即交点为，
即过定点
方法二（联立求解）：点的坐标为，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，
解得、，
若，且,得，
此时直线的方程为，过点；
若，则，直线的斜率，
直线的斜率，
所以,所以直线过点，
因此直线必过轴上一定点.
变式2已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点.
【详解】设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：，
整理可得：
整理得：所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．
基于坐标轴对称，补全极点极线
【例3】已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点．
【详解】由题设可得，，设直线，联立椭圆可得，，
可得直线的方程为，
令，可得，
故直线过轴上的定点，．
变式3已知双曲线C:，设Q（1，0），直线（）与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.
【详解】显然直线的斜率不为零，
设直线为，，
联立，消整理得，
依题意得且，即且，
，
直线的方程为，
令，得
.所以直线过定点.
【例4】已知椭圆，过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
【详解】假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为，
设，，
①当直线不是轴时，可设， 与联立，并整理得，
，即，，，
依题意有，即，
，，代入上式得，
，解得，
即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为；
②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为.
综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0.
变式4 已知椭圆：，，为椭圆的左、右焦点，设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【详解】依题意，直线：，其中，，
联立，消去，得，
则 ，得，
设，则，
又，整理得，
即，化简得，
所以直线的方程为，因此直线 恒过定点，该定点坐标为．
【题型二】面积的最值
【例5】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值．
【答案】
【详解】①设直线，由，消得，
设，，所以，，
所以，
因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点．
②由①知，，，且，即，
又，
令，则，
所以，当且仅当时取“=”，
所以．
变式5 已知椭圆：，过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．求面积的取值范围．
【答案】
【详解】①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（），
，，，联立直线和的方程，
得消去并化简，得，
所以，
解得，且．
又点在点的右侧，则，且，，
所以直线的方程为，
所以，
因为
，
所以，所以直线过定点．
②由①知直线的方程为，设，则，
，将，代入，
可得，由，且，得的取值范围为．
由消去并化简得，
则，
，．
，
原点到直线的距离为，
所以，
令，由的取值范围为，得的取值范围为．
又函数在上单调递增，所以，的值域为．
所以的取值范围是，所以面积的取值范围为．
【例6】已知分别是椭圆：的左、右顶点，为直线上的动点（不在轴上），与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．求四边形面积的最大值．
【答案】16
【详解】①因为不在轴上，所以直线的倾斜角不为零，
设直线，，，
联立，消去整理得，
所以，即，
，，所以．
由题意得直线，令，所以．
直线，令，所以，
故，即，化简得，
故，
化简得，即．
若，代入，，无解，
所以，即，所以直线，即直线恒过定点．
②所以直线，所以，
则，，
所以，
，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
此时取得最大值．
所以，
所以四边形的面积，
所以四边形面积的最大值为16．
变式6 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为、，过作不与坐标轴垂直的直线l，l交于A，B两点，点关于轴的对称点记为．求面积的最大值．
【答案】
【详解】椭圆的标准方程为：，则，，
设直线，，
由得，．
设，，则，，，
．
①解法一：
，
，
直线恒过定点；
①解法二：
，
取，得
．
直线恒过定点；
②由①知直线恒过定点，故设直线的方程为：，
由得，
，，
设，，则，，
，
设，则，，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
【题型三】证明动点在定直线上
【例7】已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，直线与交于点M，求证直线与交点M在一条定直线l上。
【详解】 ，，，设直线PQ的方程是，
代入椭圆方程得：，易知，
设，，，则
，
直线的方程是： ①，
直线的方程是： ②，
设，既满足①也满足②，
则
，
故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上.
【例8】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左 右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.
【答案】
【详解】因为点满足，所以，设直线的方程为，
联立，得，
设，易得，则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
因为，所以，解得
所以动点的轨迹方程为.
由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为.
思路总结：通常动点所在定直线为横线或者竖线；首先找到自极三角形，然后根据极点坐标写出极线方程，接下来我们再去用常规联立的方法求动点的横坐标（或者是纵坐标）为定值。所以极点极线的结论可以帮助我们指明解题方向。
变式7 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程．
【详解】法一：由于直线经过顶点，设直线与相交于点，则直线在点所对应的极线上，点对应的极线方程，即所一点在顶点上．
法二：由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则，
，，，所以在定直线上．
当不在椭圆顶点时，设，，，，，整理得，
所以，，
当时，，得，所以，显然成立，所以在定直线上．
【题型四】 求斜率的比值为定值，坐标的乘积为定值
【例9】已知椭圆，过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【详解】依题意有，，，设直线的方程为，
由得，则，，
，所以为定值.
变式8 椭圆 的两顶点为，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与直线交于点.点异于两点时，求证： 为定值.
【详解】当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，，，，点的坐标为，
由知， ，
且直线的方程为，且直线的方程为，
将两直线联立，消去得，
与异号，
，
，
与异号，与同号， ，解得，，
故点坐标为，，故为定值.
变式9 已知椭圆C : ，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，设直线、的斜率分别为、，且过定点，求证：为定值，并求出该定值．
【答案】
【详解】设点、.若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
由，
所以，，
即为定值.
【题型四】双曲线的极点极线
【例10】 已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。
半代换：由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，据此可得点在定直线上运动.
变式10 已知，，，不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点.
【详解】解法一：设，，
若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾，
故设直线的方程为：，
由，得，
，则，，
由点在直线上，设，则，，
所以，又，则，即，
，，
，
，
，所以（舍去），或，所以的方程为，过定点
解法二：设，，
若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾，
故设直线的方程为：， 由得，，
，则，，
所以，即，
又直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程，可得，
又点在直线上，故，
所以，
故，直线的方程为，过定点.
变式11 已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
（1）记直线，的斜率分别为，，求的值；
（2）设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值.
【答案】(1)；(2)3.
【详解】由双曲线，可得，，
由可得，，则.
所以
.
（2）解：由（1）可知，所以直线与直线的方程分别为和，
联立两直线方程可得交点的横坐标为，
于是
，
故的最小值为，当且仅当时取等号成立.
【题型五】抛物线的极点极线
【例11】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论
（1）直线与抛物线有1个公共点；
（2）直线恒过定点；
（3）点的轨迹方程是；
【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点，
且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程，
则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。
设点，则直线方程为：，即，
则；又，且，则直线，，
故三点共线，则直线恒过定点；
（3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是；
6.调和点列
图2
如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。
极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为．
图3
①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;
②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；
③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线．
极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有
，反之也成立．即．
证明：
极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭．
证明：设直线与的另一交点为
若
化简即得；反之也成立．
【题型六】调和点列
【例12】设椭圆，过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上．
【详解】方法一（极点极线）：已知，说明点关于椭圆调和共轭，则点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得．故点总在直线．
方法二：设，由题意可知：均不为0，
由，可得，设，则，且，
又因为四点共线，则，
且，
则，可得，即，
可得
又因为在椭圆C上，则，即，
可得，即，所以点Q总在直线上.
变式12 在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.
【答案】总在定直线上.
【详解】设，记.
则，，
联立可得，
又，代入得，
所以总在定直线上.
课后作业
1.已知椭圆E :线段分别是它的长轴和短轴．是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．
①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
【详解】选①，则，设，
所以
消去得：，
所以，所以，则，所以，
，消去得：，
，
所以，所以，则，所以，
所以，
所以直线的方程为：，
所以，所以，故直线恒过定点.
选②，则，设，
所以
消去得：，
所以，所以， 所以
同理：，所以，所以
所以直线的方程为：
令，则
故直线恒过定点.
2. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上．
【答案】
【详解】由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故，
故，
曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点．
【答案】
【详解】由题意知，直线的斜率不为0，设直线，
与方程联立并化简，得，
设，，
则，，
点在曲线上，，
，
又，，
，
，即，
，
，
得，
，，
， 直线的方程为，直线过定点．
4．已知椭圆：，左右焦点分别为，，为上的两个动点，且，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点．
【答案】
【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得．
则，
设，所以
设直线的倾斜角分别为，
因为，且两点的纵坐标的乘积大于0，
所以，则，
则，则
即.
所以
所以，化简可得，
则直线的方程为．故直线过定点
5. 已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
【答案】k＝
【详解】 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程组消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.　①
又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
所以＝ (4－)，＝ (4－)．　②
将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝.
已知椭圆C : ，设椭圆的左 右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，求的最大值.
【答案】.
【详解】①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．
7．已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。
【答案】
【详解】显然直线的斜率不为零，
设直线为，，
联立，消整理得，
依题意得且，即且，
，
直线的方程为，
令，
得.所以直线过定点.
过Q点作QN⊥AD于N，设的中点为R，
若N和M不重合，则△为直角三角形，所以，
若N和M重合，，所以点N在以QM为直径的圆上．
8．已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值.
【答案】
【详解】当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意；
当时，设，则直线的方程为，
设点、，则点，
由对称性可知，直线过轴上的定点，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则的斜率为，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程可得，
可得，
此时，直线过定点.综上所述，直线过定点.
因为，则，且，
，
因为函数在上单调递减，
故当时，取最大值，且最大值为.
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