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§1 坐标同构
同构概念：曲线上（或曲线外）的一点P发出的两条直线PA，PB与曲线相切或者相交问题。利用PA以及PB的方程，得出直线AB方程。
使用条件为：PA，PB必须同时满足某种相同的性质:（1）同为切线，这时可以构造坐标同构（这时遵循极点极线结论）；（2）同为割线，这时可以构造斜率同构。
【题型一】抛物线的双切线同构（阿基米德三角形）
特征：由抛物线外一定点发出两条直线，与抛物线相切于，两点，则可以得出直线有关的方程。
结论：，
步骤：1、函数求导；
2、已知，设出切点，切点坐标，并写出切线方程，
3、将点带入直线PA和PB中，同构得出直线AB方程。
【例1】设点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点为，证明：直线过定点；
【详解】证明：，，，
因为，所以，所以，化简得，同理，
故直线的方程为，即，所以过定点.
【例2】已知抛物线的焦点为，过的动直线交于两点，过分别作的切线，，与交于点．经探究可知点必在一条定直线上，其方程为 ；
【答案】
【详解】由抛物线方程知：，
设，，，
由得：，，；
当时，由得：，，
，又，；
当时，由得：，，
，又，；
由得：，
又，，
点必在定直线上；
【例3】已知抛物线，圆．若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】
【详解】[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
变式1 点是直线上的动点，过点的直线、与抛物线相切，切点分别是，证明：直线过定点；
变式2 已知抛物线C：的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点，求证：点在一条定直线上；
【题型二】抛物线的两点式
过抛物线上两点、的直线方程是:.
证明:利用，得到，故直线方程为:，化简可得:.
记忆方法:把抛物线化成标准方程，然后将最左端的二次自动降为一次，再在最左端和最右端加上“、”皆可.
同理，如果抛物线的形式是，直线的方程是:.
注意:考试时，最好给出的推导过程。
这个式子首先是经过了一次联立，但又满足直线的两点式方程，故我们称之为抛物线的两点式方程.
一旦抛物线上出现三点，、、，这样就会出现轮换，这里就会涉及同构式，所以轮换对称的三个方程，它们的坐标形式结构相同，仅仅是字母变量不同，我们把这种拥有相同的特征和形态的式子叫做同构式。
【例4】已知抛物线的焦点为，过作直线，，分别与交于，和，两点，在第一象限），设直线与交于点，证明：点在定直线上．
【答案】
【详解】（首先结合极点极线的结论，我们可以知道点在直线上，接下来证明：）
设，，，得，根据点斜式可得直线，即，又直线过点，所以，
同理设，，，根据抛物线的两点式可得直线，又直线过点，所以，
同理直线的方程 ；直线的方程；
直线的方程，化为 ①；
直线的方程，化为 ②；
联立①②得：，化简得：
，且带入上式得：
，点在定直线上。
【题型三】圆的双切线同构。
特征：由平面内（圆锥曲线上）一动点发出两条直线，与定圆相切，同时与曲线交于，两点，则可以得出直线有关的方程。
步骤：1、设出点，，。
用和坐标表示出直线PA的方程，以及直线PA与圆相切（圆心到直线的距离等于半径）找出和坐标满足的方程。
同理得出和坐标满足的方程。
同构得出经过和的直线方程。
【例5】如图，已知点是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】是，
【详解】设，，得直线，
根据直线与圆相切时，可得，
化简为： ①；
同理直线与圆相切，可得 ②；
则为方程的两根，所以；
带入直线中，可得；
即：，化简为：；
，定点为
变式3 抛物线上三点，直线、是圆的两条切线，且，求的纵坐标。
变式4 抛物线的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，已知点，且:与l相切．设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
§2 斜率同构
图1：坐标同构 图2：斜率同构
如图1，我们发现P、A、B三点都在抛物线上，这样三点我们称之为等位三点，就能构成三个同构式方程，即，还有，之所以这样分开表达，就是我们发现PA、PB均与圆C相切，所以它们完全等位，即利用点C到两条直线距离相等又能得到新的同构方程，但是并不一定能满足。
如图2，虽然PA、PB均与圆C相切，但是由于A、B均在圆M上，此时P、A、B不具备等位性，但是直线PA和PB具备等位性，因为相切，所以这两条直线的斜率就能构成同构方程，我们把这种两条直线分列不同曲线上，但是具备相同等位性质的类型，叫做斜率同构。
【题型一】圆的双切线斜率同构。
【例1】已知抛物线：，圆：，点P（不是原点）是上的一点，过点P作的两条切线分别交于M，N两点（异于点P），E为线段MN中点．若，求点P的坐标．
【答案】
【详解】设，，，由题知，，，且切线的斜率存在．
设过点的圆的切线方程为，即．
圆心到切线的距离为1，得到，
整理得，
设PM，PN的斜率分别为，，则有，，
联立，得，
因为点P是直线与抛物线的一个交点，有，同理可得，
因为E为MN中点，则有，又，所以点在PE，从而有，
，
，所以，解得，
所以点P的坐标为.
变式1已知抛物线，圆．点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于、两点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，求点的坐标．
【题型二】曲线的双切线同构。
特征：由椭圆外一定点发出两条直线，与椭圆相切于，两点，则可以得出直线有关的方程（切点弦）。同时根据斜率同构也可以得出与的韦达定理。这里重点讲解斜率同构。
步骤：1、根据点斜式设出直线PA的方程。
联立椭圆和直线PA方程，得到与x有关的一元二次方程，再根据相切只有一个交点，得出关于x的一元二次方程判别式的（关于）；
同理写出椭圆和直线PB联立之后的判别式方程（关于）；
根据的两个斜率同构方程，得出与的韦达定理。
【例2】已知椭圆，若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
【答案】.
【详解】①当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
设从点所引的直线的方程为，即，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
变式2 已知椭圆，过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．求P点轨迹方程；
变式3 设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为A，B．若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．
【题型三】圆锥曲线的双割线同构。
特征：由曲线上一定点发出两条直线，与曲线相交于，两点，根据斜率同构也可以得出与的韦达定理。
步骤：1、根据点斜式设出直线PA的方程；
2、设出直线AB方程；
3、联立，得出交点A的坐标（用表示）；
4、交点A坐标带入圆锥曲线方程中得到一个关于的二次方程；
5、重复步骤1-4将交点B坐标带入圆锥曲线方程中得到一个关于的二次方程；
6、根据同构方程得出得出与的韦达定理 ；
7、也可以结合韦达定理 的表达式，转化为直线AB方程中的的关系，
总结：斜率和积同构，是通过直线与直线相交联立求交点，通过解出来的点用斜率表示，带入所在的圆锥曲线方程得出一个关于的二次方程，同理也满足此同构方程；同样，也可以联立得到，从而解出和，然后带入直线，得到一个关于的二次方程，同理也满足此同构方程，最终目的都是为了构造 的韦达定理。
【例3】已知椭圆C：，且过点．点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】存在定点Q，使得为定值
【详解】［方法一］平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，
即，化简得，
即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法二］：点乘双根法： 设．
①若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．所以直线的方程为．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；
当时，直线的方程为，所以直线恒过．
综上，直线恒过，所以．
又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．
取线段的中点为，则．所以存在定点Q，使得为定值．
［方法三］：斜率同构
设直线，直线，同理直线；
联立直线与双曲线，；
，，可求得点坐标：，
带入直线中可得：，，在直线上，
所以，即；
同理点也在直线上，则x；
故是同构方程c的两根；
所以，则，，所以过定点，
，所以为以为直径的圆上动点，圆心为中点，半径为；
故存在定点，使得的定值为。
变式4已知点在：双曲线上，直线交于两点，直线 的斜率之和为0，求的斜率
变式5 已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点.
【例4】 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．求的最小值．
【答案】
【详解】设，，，联立，，带入椭圆并整理，同理，
所以是方程的两根，
联立直线，同理，所以
，带入得：
（柯西不等式）
当且仅当时取等；
变式6 已知椭圆方程，圆Q是以点Q(1,0)为圆心，r (0课后作业
1．已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，与轴交于点．若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程．
2．已知圆：．设点在直线上运动，过点P作圆的两条切线PA，PB，设切线PA与PB斜率分别为，，且时，求点P的坐标．
3．设抛物线：的焦点为，点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
4．如图，已知抛物线C：，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点C，D，且，设，的中点分别为M，N.
（1）求证：轴；
（2）若，求面积的最小值.
5.已知椭圆:，已知点为椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
6．已知双曲线：，为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（1）的斜率之积为定值；
（2）存在定点，使得关于点对称．
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§1 坐标同构
同构概念：曲线上（或曲线外）的一点P发出的两条直线PA，PB与曲线相切或者相交问题。利用PA以及PB的方程，得出直线AB方程。
使用条件为：PA，PB必须同时满足某种相同的性质:（1）同为切线，这时可以构造坐标同构（这时遵循极点极线结论）；（2）同为割线，这时可以构造斜率同构。
【题型一】抛物线的双切线同构（阿基米德三角形）
特征：由抛物线外一定点发出两条直线，与抛物线相切于，两点，则可以得出直线有关的方程。
结论：，
步骤：1、函数求导；
2、已知，设出切点，切点坐标，并写出切线方程，
3、将点带入直线PA和PB中，同构得出直线AB方程。
【例1】设点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点为，证明：直线过定点；
【详解】证明：，，，
因为，所以，所以，化简得，同理，
故直线的方程为，即，所以过定点.
【例2】已知抛物线的焦点为，过的动直线交于两点，过分别作的切线，，与交于点．经探究可知点必在一条定直线上，其方程为 ；
【答案】
【详解】由抛物线方程知：，
设，，，
由得：，，；
当时，由得：，，
，又，；
当时，由得：，，
，又，；
由得：，
又，，
点必在定直线上；
【例3】已知抛物线，圆．若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】
【详解】[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
变式1 点是直线上的动点，过点的直线、与抛物线相切，切点分别是，证明：直线过定点；
【详解】设点、、，
对函数求导得，所以，直线的方程为，即，
同理可得直线的方程为，
将点的坐标代入直线、的方程得，
所以，点、的坐标满足方程，
由于两点确定一条直线，所以，直线的方程为，该直线过定点；
变式2 已知抛物线C：的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点，求证：点在一条定直线上；
【答案】
【详解】联立方程组消去得，，∴，
由得，，所以切线方程为
切线方程为
联立直线 方程可解得，.所以点的坐标为.
所以点在定直线上
【题型二】抛物线的两点式
过抛物线上两点、的直线方程是:.
证明:利用，得到，故直线方程为:，化简可得:.
记忆方法:把抛物线化成标准方程，然后将最左端的二次自动降为一次，再在最左端和最右端加上“、”皆可.
同理，如果抛物线的形式是，直线的方程是:.
注意:考试时，最好给出的推导过程。
这个式子首先是经过了一次联立，但又满足直线的两点式方程，故我们称之为抛物线的两点式方程.
一旦抛物线上出现三点，、、，这样就会出现轮换，这里就会涉及同构式，所以轮换对称的三个方程，它们的坐标形式结构相同，仅仅是字母变量不同，我们把这种拥有相同的特征和形态的式子叫做同构式。
【例4】已知抛物线的焦点为，过作直线，，分别与交于，和，两点，在第一象限），设直线与交于点，证明：点在定直线上．
【答案】
【详解】（首先结合极点极线的结论，我们可以知道点在直线上，接下来证明：）
设，，，得，根据点斜式可得直线，即，又直线过点，所以，
同理设，，，根据抛物线的两点式可得直线，又直线过点，所以，
同理直线的方程 ；直线的方程；
直线的方程，化为 ①；
直线的方程，化为 ②；
联立①②得：，化简得：
，且带入上式得：
，点在定直线上。
【题型三】圆的双切线同构。
特征：由平面内（圆锥曲线上）一动点发出两条直线，与定圆相切，同时与曲线交于，两点，则可以得出直线有关的方程。
步骤：1、设出点，，。
用和坐标表示出直线PA的方程，以及直线PA与圆相切（圆心到直线的距离等于半径）找出和坐标满足的方程。
同理得出和坐标满足的方程。
同构得出经过和的直线方程。
【例5】如图，已知点是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】是，
【详解】设，，得直线，
根据直线与圆相切时，可得，
化简为： ①；
同理直线与圆相切，可得 ②；
则为方程的两根，所以；
带入直线中，可得；
即：，化简为：；
，定点为
变式3 抛物线上三点，直线、是圆的两条切线，且，求的纵坐标。
【答案】
【详解】设，，，令，
带入抛物线方程得：，则，，
我们可以反向带入直线中，即（此为抛物线的两点式）；
由于与圆相切，则 ①；
同理方程：，（是同构方程）；
同理根据①相切时，圆心到直线的距离等于半径，可得： ②；
根据①和②式构造同构方程：直线方程，且两点均满足上述同构方程，
两点确定一条直线，则直线，所以，
令即，所以。
变式4 抛物线的顶点为坐标原点O．已知点，且:与l相切．设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】相切，理由见解析
【详解】设．
直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
§2 斜率同构
图1：坐标同构 图2：斜率同构
如图1，我们发现P、A、B三点都在抛物线上，这样三点我们称之为等位三点，就能构成三个同构式方程，即，还有，之所以这样分开表达，就是我们发现PA、PB均与圆C相切，所以它们完全等位，即利用点C到两条直线距离相等又能得到新的同构方程，但是并不一定能满足。
如图2，虽然PA、PB均与圆C相切，但是由于A、B均在圆M上，此时P、A、B不具备等位性，但是直线PA和PB具备等位性，因为相切，所以这两条直线的斜率就能构成同构方程，我们把这种两条直线分列不同曲线上，但是具备相同等位性质的类型，叫做斜率同构。
【题型一】圆的双切线斜率同构。
【例1】已知抛物线：，圆：，点P（不是原点）是上的一点，过点P作的两条切线分别交于M，N两点（异于点P），E为线段MN中点．若，求点P的坐标．
【答案】
【详解】设，，，由题知，，，且切线的斜率存在．
设过点的圆的切线方程为，即．
圆心到切线的距离为1，得到，
整理得，
设PM，PN的斜率分别为，，则有，，
联立，得，
因为点P是直线与抛物线的一个交点，有，同理可得，
因为E为MN中点，则有，又，所以点在PE，从而有，
，
，所以，解得，
所以点P的坐标为.
变式1已知抛物线，圆．点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于、两点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，求点的坐标．
【答案】点坐标为或．
【详解】设，，，切线
由得：，由得：
切线，同理可得：
依题意：到距离
整理得：
同理：，
，
，解得：故所求点坐标为或
【题型二】曲线的双切线同构。
特征：由椭圆外一定点发出两条直线，与椭圆相切于，两点，则可以得出直线有关的方程。同时根据斜率同构也可以得出与的韦达定理。这里重点讲解斜率同构。
步骤：1、根据点斜式设出直线PA的方程。
联立椭圆和直线PA方程，得到与x有关的一元二次方程，再根据相切只有一个交点，得出关于x的一元二次方程判别式的（关于）；
同理写出椭圆和直线PB联立之后的判别式方程（关于）；
根据的两个斜率同构方程，得出与的韦达定理。
【例2】已知椭圆，若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
【答案】.
【详解】①当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
设从点所引的直线的方程为，即，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
变式2 已知椭圆，过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．求P点轨迹方程；
【答案】；
【详解】设，过点P直线方程设为由
消元得：
由直线与椭圆相切
化简得：∴，
∴点轨迹方程为．
变式3 设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为A，B．若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．
【答案】
【详解】设，则直线PA方程为，直线PB方程为．
由可得．
因为直线PA与抛物线相切，所以△=．
同理可得，所以时方程的两根．
所以，．则=..
又因为，则，
所以====.
【题型三】圆锥曲线的双割线同构。
特征：由曲线上一定点发出两条直线，与曲线相交于，两点，根据斜率同构也可以得出与的韦达定理。
步骤：1、根据点斜式设出直线PA的方程；
2、设出直线AB方程；
3、联立，得出交点A的坐标（用表示）；
4、交点A坐标带入圆锥曲线方程中得到一个关于的二次方程；
5、重复步骤1-4将交点B坐标带入圆锥曲线方程中得到一个关于的二次方程；
6、根据同构方程得出得出与的韦达定理 ；
7、也可以结合韦达定理 的表达式，转化为直线AB方程中的的关系，
总结：斜率和积同构，是通过直线与直线相交联立求交点，通过解出来的点用斜率表示，带入所在的圆锥曲线方程得出一个关于的二次方程，同理也满足此同构方程；同样，也可以联立得到，从而解出和，然后带入直线，得到一个关于的二次方程，同理也满足此同构方程，最终目的都是为了构造 的韦达定理。
【例3】已知椭圆C：，且过点．点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】存在定点Q，使得为定值
【详解】［方法一］平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，
即，化简得，
即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法二］：点乘双根法： 设．
①若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．所以直线的方程为．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；
当时，直线的方程为，所以直线恒过．
综上，直线恒过，所以．
又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．
取线段的中点为，则．
所以存在定点Q，使得为定值．
［方法三］：斜率同构
设直线，直线，同理直线；
联立直线与双曲线，；
，，可求得点坐标：，
带入直线中可得：，，在直线上，
所以，即；
同理点也在直线上，则x；
故是同构方程c的两根；
所以，则，，所以过定点，
，所以为以为直径的圆上动点，圆心为中点，半径为；
故存在定点，使得的定值为。
变式4已知点在：双曲线上，直线交于两点，直线 的斜率之和为0，求的斜率
【答案】
【详解】令，斜率为，直线，同理直线；
联立直线与双曲线，；
，，可求得点坐标：，
带入直线中可得：，，在直线上，
所以，即；
同理点也在直线上，则；
故是同构方程的两根；
所以，令，则
变式5 已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点.
【答案】
【详解】设，，，，，，设，
根据仿垂径定理（点差法）可得：，且，，则，带入故，设，联立直线，带入椭圆方程，
并整理得：，同理，
故是同构方程的两根，则，
令，故直线，过定点。
【例4】 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．求的最小值．
【答案】
【详解】设，，，联立，，带入椭圆并整理，同理，
所以是方程的两根，
联立直线，同理，所以
，带入得：
当且仅当时取等；
变式6 已知椭圆方程，圆Q是以点Q(1,0)为圆心，r(0【答案】
【详解】设直线，直线，
直线，圆，
直线与圆相切，，即；
同理直线与圆相切，可得方程。
则是方程的两个根，可得；
接下来联立直线与直线，求交点M，再代入椭圆方程得同构方程。
联立直线，点M在椭圆上，带入椭圆方程；
得：；化简：；
同理点N在椭圆上，可得方程；
则是方程的两个根，，
，，解得；直线，定点。
课后作业
1．已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，与轴交于点．若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程．
【答案】证明见解析，
【详解】设，由可得，故，
所以抛物线在，处的切线方程为，即，
同理可得抛物线在，处的切线方程为，
联立方程组，得，因为，即，
设直线的斜率为，方程为，
由，得，当时，设，，，，
则，，所以，即．
所以点在直线上．
2．已知圆：．设点在直线上运动，过点P作圆的两条切线PA，PB，设切线PA与PB斜率分别为，，且时，求点P的坐标．
【答案】或
【详解】设过点P的切线方程为：，则有，.
化简得，
所以，解得，故点为或.
3．设抛物线：的焦点为，点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
【答案】
【详解】设，设直线的方程为，
，消去，得，
因为直线与抛物线有一个交点，，解得，
所以直线的方程为，令，则，，
同理直线的方程为,令，则，，
设代入，得，则直线的方程为，
由，消去，得，所以，
所以，，所以
又在圆上，所以，即，
故.综上可知，的取值范围为.
4．如图，已知抛物线C：，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点C，D，且，设，的中点分别为M，N.
（1）求证：轴；
（2）若，求面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】（1）抛物线C：的焦点，设，，，，
直线的方程为，由，消去x，整理得，
则，，，因为，
所以，即，
由，所以轴.
（2）由（1）可知，，，则，
设，由，，得，，
代入抛物线，得到，
同理，
所以，为方程，即，所以，即M，N，P三点共线，
又，所以，
又，所以，
当，面积的最小值.
5.已知椭圆:，已知点为椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【详解】证明：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，
设，
将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，所以以为直径的圆为，
整理得：①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
6．已知双曲线：，为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（1）的斜率之积为定值；
（2）存在定点，使得关于点对称．
【详解】证明：（1）设，如下图所示：
设过点的切线的斜率为，则切线方程为，
即，所以，即，
因此的斜率是上式中方程的两根，即.
又因为，所以，所以的斜率之积为定值，且定值为.
（2）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，得.
因为，所以，
则，同理可得，所以.
因为，所以，所以，得.
因为都在上，所以或（舍去），
所以存在定点，使得关于点对称.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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