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抽象函数及应用
1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2.常见函数模型
抽象函数形式 具体化函数
或 幂函数
或 对数函数
或 指数函数
正比例函数
一次函数
3.“赋值法”求抽象函数的值
赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.
（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取.
（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.
4.“赋值法”求抽象函数的解析式
赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性
判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。
注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律.
（1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，
（2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。
（3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
6.利用“配凑法”证明抽象函数的单调性
配凑法就是通过恰当的拼与凑，使问题明了化、简单化，从而达到比较容易解决问题的目的。配凑法的实质是一种迂回的解题方法，体现了转化与化归思想。配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件，结合单调性的定义进行转化求解的。具体如下：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
注：证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：
（1）构造“和”
（2）构造“积”
（3）利用构造
7.“定义法”解抽象函数不等式
解抽象函数不等式，可利用函数单调性的定义，如“已知函数是增函数，若 则 ”， “脱去”函数符号后即可求解，当然，还要注意自变量范围的约束。
（一）特征式——“以一次函数为原型”
例1．已知函数对一切实数、都有，且当时，，又，求在上的最大值和最小值．
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，设，则，得，
令，得，则，得，所以，函数为奇函数，
任取，则，，
另一方面，，函数为上的减函数，
，，
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
（二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y)——“以指数函数为原型”
例2．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
【解析】(1)∵ ，当 时， ，令 ，则 ．∵ ，∴.
(2)证明：若 ，∴ ，
∴，故 .任取 ，则 ．
∵ ，∴ ，∴ ．故 在 上是减函数．
（三）特征式——“以对数函数为原型”
例3．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.判断并证明函数在上的单调性.
【解析】在上为增函数.
设，则即，
，故，即，故在上为增函数；
（四）特征式——“以对数函数为原型”
例4．已知定义在区间上的函数f(x)满足，且当时，.
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性.
【解析】(1)令，所以，所以；
(2)令，所以，又因为，所以，所以，
所以在上单调递减；
（五）特征式——“以一次函数为原型”
例5．定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数．
【解析】由题意得，（1）因为，所以，
因为，所以，又，所以．
（Ⅱ）证明：在上任取，
则，
∵，∴，∴，∴．
要证明在上为单调递增函数，只须证．
当时，有成立；当时，成立；
当时，有，
∵，∴，∴，故此时仍有成立．
综上知：在上恒成立，从而函数在上为单调递增函数．
【题型一】抽象函数的定义域和值域
（1）定义域
【例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数的定义域为，即，所以，函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为.故选：B.
变式1函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.故选：D
（2）值域
【例2】已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数的值域为，即，所以，
所以，即函数的值域为.故选：A
【例3】已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由已知的定义域为，值域为，可得的定义域为，值域为，
所以，所以，所以，.
所以，. 故选:C.
变式2已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，由可得，，故A错误；
对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误. 故选：B.
变式3已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件. 故选：B.
变式4已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
【题型二】抽象函数求值
【例4】设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【详解】令，得，所以，解得，
，解得，故答案为：.
【例5】已知函数对任意都有成立，且，则
A． B． C． D．
【详解】解：令，则有，即，得；
令，则有，即；
令，则有；∴. 故选A.
变式5（多选题）已知函数的定义域为，且，则 ； ；
【详解】令，则，即.
令，则. 令，则，则.故
【题型三】抽象函数解析式
【例6】设函数满足，且对任意、都有，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】对任意、都有，且，令，得，令，可得，，因此，. 故选：A.
【例7】已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式.
【详解】由已知等式，令，，得．
又，所以．再令，可得，即．
因此，函数的表达式为．
变式6设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
【详解】由已知条件得，又，
设，则，∴.
变式7已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，得.
令，得，解得，则不等式转化为，
因为是增函数，且，所以不等式的解集为. 故选：A
变式8已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ．
【详解】令，得．
令，则，即，解得，
则不等式的解集为．故答案为：
【题型四】抽象函数的奇偶性
【例8】（多选）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A． B．可能是偶函数
C． D．可能是奇函数
【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；
令，得，则，
对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；
对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；
对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB.
【例9】（多选题）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，
对于A中，令，得，所以A正确；
对于B中，令，得，则，所以B正确；
对于C中，令，得，
再令，得，
可得，所以C错误.
对于D中，令，得，则，
再令，得，则为奇函数，所以D正确. 故选：ABD.
【例10】已知定义域为R的函数满足以下条件：①，；②；③，使得．则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．
【详解】选项A：令，由条件①得， 由于，所以，故A正确；
选项B：令，由条件①得，由于，所以，因此，故B正确；
选项C：取x为，取y为，由条件①得，即，
因此，所以函数为偶函数，故C错误；
选项D：取x为，取y为，由条件①得，
因此，于是，故D正确．
故选：ABD
变式9 已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为偶函数
【详解】令，则，，，选项A错误；
令，，则，即，则，选项B错误；
，不是奇函数，选项C错误；
令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；故选：D．
变式10 已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
【详解】（1）令，，可得，解得；
令，，可得，解得.
（2）为奇函数，理由如下：，
而，得。
故在上是奇函数
【题型五】抽象函数的单调性及应用
【例11】 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．
(1)判定并证明函数在R上的单调性；
(2)讨论函数的奇偶性；
(3)若，求x的取值范围．
【详解】（1）在R上单调递减，理由如下：任取，且，
因为，所以，
令，则，
因为当时，恒成立，又，所以，
所以，，所以在R上单调递减；
（2）令，则，解得，令，因为，
故，所以，所以是奇函数；
（3）因为，所以，
因为是奇函数，所以，因为是R上的减函数，所以，
解得或，所以不等式的解集为或.
【例12】函数对任意实数恒有，且当时，.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，解关于的不等式.
【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.取，则由得，
∴，即，∴函数是奇函数.
（2）证明：任取，且，则，∵当时，，∴，
由得，∴，
∴，∴是上的减函数.
（3）解：由得，
由得，则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
变式11 已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若，求解关于的不等式的解集.
【详解】（1）在上单调递减，证明如下：
令，由已知可得，，则.
由已知可得，.
，且，则，则，
即，所以，在上单调递减.
（2）令，由已知可得.
又，
不等式化为.
由（1）知，在上单调递减，所以，.
又，，所以，所以有，
整理可得，，解得，所以，.所以，不等式的解集为.
变式12 已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.
(1)判断并证明的单调性；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【详解】（1）令，解得，又当时，可判断为减函数，
证明如下：，不妨设，依题意，
即，
因为，所以，所以，
因此，即，所以为减函数.
（2）原不等可化为即：
因单调递减，故成立.即：，
当时，有，解为，
当时，，解为，
当时，，解为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.
【例13】定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：函数在上是减函数；
(3)若，且恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）令，则有，
令，则有，，是奇函数.
（2）设则所以，
因为，所以，即，则，
又，所以，所以，
所以，即，所以在上是减函数.
（3）由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数，
所以当时，函数的最小值为，
所以恒成立，
等价于：恒成立，即恒成立，
设，是关于的一次函数，
所以，即，则，则.
变式13 已知函数对，，都有，当时，，且.
（1）判断函数在上的奇偶性并证明；
（2）判断函数在上的单调性并证明；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】：(1)函数为奇函数，证明见解析；(2)函数在R上单调递减，证明见解析；(3).
【详解】（1）f(x)定义域为关于原点对称；∵，，都有，
故令，，则，即；
令，则，即，∴为奇函数．
（2）∵对，，都有，故，则，
设，则，∴，，即，故在R上单调递减．
（3）由(1)可知，函数为奇函数，而，∴，
故原不等式可等价于，由(2)知在R上单调递减，∴化为，
又，∴，而，当且仅当时取等号，
∴，即实数的取值范围为．
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抽象函数及应用
1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2.常见函数模型
抽象函数形式 具体化函数
或 幂函数
或 对数函数
或 指数函数
正比例函数
一次函数
3.“赋值法”求抽象函数的值
赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.
（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取.
（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.
4.“赋值法”求抽象函数的解析式
赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性
判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。
注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律.
（1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，
（2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。
（3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
6.利用“配凑法”证明抽象函数的单调性
配凑法就是通过恰当的拼与凑，使问题明了化、简单化，从而达到比较容易解决问题的目的。配凑法的实质是一种迂回的解题方法，体现了转化与化归思想。配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件，结合单调性的定义进行转化求解的。具体如下：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
注：证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：
（1）构造“和”
（2）构造“积”
（3）利用构造
7.“定义法”解抽象函数不等式
解抽象函数不等式，可利用函数单调性的定义，如“已知函数是增函数，若 则 ”， “脱去”函数符号后即可求解，当然，还要注意自变量范围的约束。
（一）特征式——“以一次函数为原型”
例1．已知函数对一切实数、都有，且当时，，又，求在上的最大值和最小值．
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，设，则，得，
令，得，则，得，所以，函数为奇函数，
任取，则，，
另一方面，，函数为上的减函数，
，，
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
（二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y)——“以指数函数为原型”
例2．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
【解析】(1)∵ ，当 时， ，令 ，则 ．∵ ，∴.
(2)证明：若 ，∴ ，
∴，故 .任取 ，则 ．
∵ ，∴ ，∴ ．故 在 上是减函数．
（三）特征式——“以对数函数为原型”
例3．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.判断并证明函数在上的单调性.
【解析】在上为增函数.
设，则即，
，故，即，故在上为增函数；
（四）特征式——“以对数函数为原型”
例4．已知定义在区间上的函数f(x)满足，且当时，.
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性.
【解析】(1)令，所以，所以；
(2)令，所以，又因为，所以，所以，
所以在上单调递减；
（五）特征式——“以一次函数为原型”
例5．定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数．
【解析】由题意得，（1）因为，所以，
因为，所以，又，所以．
（Ⅱ）证明：在上任取，
则，
∵，∴，∴，∴．
要证明在上为单调递增函数，只须证．
当时，有成立；当时，成立；
当时，有，
∵，∴，∴，故此时仍有成立．
综上知：在上恒成立，从而函数在上为单调递增函数．
【题型一】抽象函数的定义域和值域
（1）定义域
【例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数的定义域为，即，所以，函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为.故选：B.
变式1函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）值域
【例2】已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数的值域为，即，所以，
所以，即函数的值域为.故选：A
【例3】已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由已知的定义域为，值域为，可得的定义域为，值域为，
所以，所以，所以，.
所以，. 故选:C.
变式2已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
变式4已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【题型二】抽象函数求值
【例4】设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【详解】令，得，所以，解得，
，解得，故答案为：.
【例5】已知函数对任意都有成立，且，则
A． B． C． D．
【详解】解：令，则有，即，得；
令，则有，即；
令，则有；∴. 故选A.
变式5（多选题）已知函数的定义域为，且，则 ； ；
【题型三】抽象函数解析式（注意少数抽象函数可以求出解析式，大部分其实求不出来）
【例6】设函数满足，且对任意、都有，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】对任意、都有，且，令，得，令，可得，，因此，. 故选：A.
【例7】已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式.
【详解】由已知等式，令，，得．
又，所以．再令，可得，即．
因此，函数的表达式为．
变式6设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
变式7已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式8已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ．
【题型四】抽象函数的奇偶性
【例8】（多选）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A． B．可能是偶函数
C． D．可能是奇函数
【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；
令，得，则，
对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；
对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；
对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB.
【例9】（多选题）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，
对于A中，令，得，所以A正确；
对于B中，令，得，则，所以B正确；
对于C中，令，得，
再令，得，
可得，所以C错误.
对于D中，令，得，则，
再令，得，则为奇函数，所以D正确. 故选：ABD.
【例10】已知定义域为R的函数满足以下条件：①，；②；③，使得．则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．
【详解】选项A：令，由条件①得， 由于，所以，故A正确；
选项B：令，由条件①得，由于，所以，
因此，故B正确；
选项C：取x为，取y为，由条件①得，即，
因此，所以函数为偶函数，故C错误；
选项D：取x为，取y为，由条件①得，
因此，于是，故D正确．
故选：ABD
变式9 已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为偶函数
变式10 已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
【题型五】抽象函数的单调性及应用
【例11】 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．
(1)判定并证明函数在R上的单调性；
(2)讨论函数的奇偶性；
(3)若，求x的取值范围．
【详解】（1）在R上单调递减，理由如下：任取，且，
因为，所以，
令，则，
因为当时，恒成立，又，所以，
所以，，所以在R上单调递减；
（2）令，则，解得，令，因为，
故，所以，所以是奇函数；
（3）因为，所以，
因为是奇函数，所以，因为是R上的减函数，所以，
解得或，所以不等式的解集为或.
【例12】函数对任意实数恒有，且当时，.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，解关于的不等式.
【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.取，则由得，
∴，即，∴函数是奇函数.
（2）证明：任取，且，则，∵当时，，∴，
由得，∴，
∴，∴是上的减函数.
（3）解：由得，
由得，则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
变式11 已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若，求解关于的不等式的解集.
变式12 已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.
(1)判断并证明的单调性；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【例13】定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：函数在上是减函数；
(3)若，且恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）令，则有，
令，则有，
，是奇函数.
（2）设则所以，
因为，所以，即，则，
又，
所以，所以，
所以，即，
所以在上是减函数.
（3）由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数，
所以当时，函数的最小值为，
所以恒成立，
等价于：恒成立，即恒成立，
设，是关于的一次函数，
所以，即，则，则.
变式13 已知函数对，，都有，当时，，且.
（1）判断函数在上的奇偶性并证明；
（2）判断函数在上的单调性并证明；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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