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§ 对数运算
知识点一 对数式的运算
对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以 为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
对数的性质：
①特殊对数：；；其中且。
②对数恒等式：，；
对数的运算法则：
①外和内乘原理：；
②外差内除原理：；
③提公次方法：，；
换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
对数公式默写模板
1、对数的性质：
①特殊对数： ； ；其中且。
②对数恒等式： ， ；
③对数换底公式： ；
2、对数的运算法则：
①外和内乘原理： ；
②外差内除原理： ；
③提公次方法： ；
3、换底公式和对数运算的一些方法：
①倒数原理： ；
②约分法则： ；
【题型一】对数式的化简及求值（底不变，其他换）
【例1】将下列指数式与对数式互化：
（1）；
（2）；
【答案】(1)；(2)；
【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
变式1 将下列指数式与对数式互化：
（1）；
（2）．
【例2】计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
（4）；
（5）；
【答案】(1)320；(2)6；(3)3；（4）2；（5）8
【详解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
（4）原式.
（5）
变式2 求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
【题型二】换底公式的运用
换底公式
【例3】已知，则用表示为 ．
【答案】
【详解】.故答案为：.
变式3 已知，，则可以用a、b表示为 .
条件求值
【例4】已知，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，所以，所以；故答案为：
【例5】已知，则 ．
【答案】3
【详解】依题意，，
则．
故答案为：3
变式4 若,且,求a的值.
变式5 已知a,b,c是不等于1的正数,且,,求的值.
【题型三】解对数方程（化为同底的对数，然后真数相等）
【例6】（1），求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】(1)；(2)4
【详解】（1）因为，得，则，所以．
（2）由已知可得，因为，
所以，化简可得，解得（舍去），或，所以
变式6 求下列各式中x的值
．
（2）；
【例7】解下列关于的方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）25；（2），
【详解】（1），方程中的应满足
，即，
（2），所以方程中的应满足方程整理得,即，所以或，解得或，经检验知,,都是原方程的解.
变式7 解关于的方程.
；
（2）.
§ 对数函数
知识点一 反函数
设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数(即对任意的一个，都有唯一的与之对应)，那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．
注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
反函数的性质：
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
知识点二 对数函数的定义及图像
对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
图像的特征
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【题型一】反函数
【例1】已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 .
【答案】.
【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称，
又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.则，解得.
又函数的图象过点，则，解得，故.
变式1 若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ．
【例2】已知函数，求解方程.
【答案】1
【详解】，则，由于原函数图像与反函数图像关于对称，则转化为与的图像的交点。令，则，。
变式2 已知函数，若方程有2个解，则求的取值范围.
【例3】（多选题）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直，
且交点为知，，因此，所以有：
，
，正确的ABD，错误的是C，
故选：ABD．
变式3（多选题）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4】若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
可以看作是直线与函数和交点的横坐标，
作出图象，如图，与互为反函数，图象关于直线对称，
而直线与直线垂直，
因此直线与和图象交点也关于直线对称，
所以，由图象知．
，又，，所以，，所以所求范围是．故选：C．
【例5】（多选题）已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对选项A：，函数在上单调递减，
，，故，错误；
对选项B：，函数在上单调递增，
，，故，正确；
对选项C：，即，
，即，
和关于对称，关于对称，
故和关于对称，，即，正确；
对选项D：，，故，即，
等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确；
故选：BCD
变式4 已知，，则的值为
变式5 已知实数，满足，则的最小值是 .
【题型二】定义域和值域
定义域
【例6】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数有意义，则有，即
解得，所以函数的定义域是.
故选：D
变式6 对数中实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
值域
【例7】已知函数.当时，求该函数的值域；
【答案】
【详解】，
令，由，则，所以有，，
所以当时，，当时，所以函数的值域为.
变式7 函数在区间上的最小值为_____________．
逆向考察
【例8】已知函数.
（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
【答案】(1)；(2)；
【详解】（1）由f(x)的定义域为R，知的解集为R，则，解得：.
所以a的取值范围为.
（2）函数f(x)的值域为R等价于能取到上的一切值，所以只要即可，其中，，解得：或.
所以实数a的取值范围是.
变式7 已知函数.
若函数f(x)在内有意义，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为，求实数a的值.
【题型三】对数函数的图像
（1）定点
【例9】已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
【答案】1
【详解】函数的图象经过定点所以的图象也过定点，
即则，所以，故答案为：1
（2）函数图像的变换：
①平移变换
:时，右移个单位;时，左移个单位.
:时，上移个单位;时，下移个单位.
②对称变换
:关于轴对称;
:关于轴对称;
:关于原点对称.
③翻折变换
:去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边;（左边不要，右翻左）
:留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去.（下翻上）
【例10】利用函数的图像，做出下列个函数的图像：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
（3）图像的识别
【例11】若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的图象为减函数可知，，
再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，
故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象
故选：B.
变式9 若函数（且）的图象如图，则函数的大致图象是（ ）
B．
D．
【例12】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
变式10 函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（4）对数函数图像的应用
【例13】已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，不等式，即，等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
变式11 （多选题）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例14】已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
变式12 已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______.
【题型四】对数函数的单调性
（1）求单调区间
【例15】求函数的一个单调增区间。
【答案】
【详解】函数的定义域为.要求函数的一个单调增区间，
只需求的增区间，只需.所以.所以函数的一个单调增区间是.
变式13 已知函数，求的单调递增区间；
（2）比较大小 --（糖水不等式）
【例16】设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，， ，即 ，
， ， ，
，即 ， ，即．故答案选B．
【例17】已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________
【答案】
【详解】由已知，，，
又，则，∴，，则，，
又，∴，，而，∴，，
综上有．故答案为：．
变式14 已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式15已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（3）已知单调区间求参数范围
【例18】已知函数 在 上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以.
且在恒大于0，所以或.
综上可知：
变式16 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【例19】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为上的增函数，故：，解得，
故选：C.
变式17 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为
知识点三 对数函数的奇偶性（两指两对奇函数，一指一对偶函数）
两指两对奇函数：
①，若则单调递减，若，则单调递增；
②，若则单调递减，若，则单调递增；
或，若则单调递增，若，则单调递减；
③单调递增,或单调递减；
更一般的形式也为奇函数。
④在，或 在增；
更一般的形式也为奇函数。
一指一对偶函数：
①为偶函数，若，若。
②为偶函数，若，若。
注意：当我们根据上面的结论判断出了函数的奇偶性以及单调性之后，可以找一个更为简单的函数的解析式去取代原函数解析式。例：若为奇函数，令，或；若为偶函数，令，或。
函数 奇偶性 单调性 可替换函数
， 奇 增
， 偶 先减后增
， 奇 增
， 奇 减
， 奇 增
奇 减
， 奇 减
， 奇 增
， 偶 先减后增
【题型五】对数函数有关的奇偶性
【例20】下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B中，因为函数为偶函数，所以函数不可能是函数，
即不存在实数，使得函数为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，由函数定义域为，关于原点对称，
又由，即，解得，所以C符合题意；
对于D中，当时，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为奇函数，所以D正确；
故选：ACD.
【例21】设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
变式18 设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减
C．偶函数，且在单调递增 D．奇函数，且在单调递增
【例22】函数，则是（ ）
A．奇函数，且在上单调递减 B．奇函数，且在上单调递增
C．偶函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递增
【答案】D
【详解】,所以为偶函数,
设在单调递增, 所以在单调递增,故选D
变式19 已知函数，则是（ ）
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在上单调递减
【题型五】恒成立 (分离参数)
一般地，已知函数，
①若，，总有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有，则的值域是值域的子集 ．
【例23】函数在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围
【答案】
【详解】∵函数上恒为正值，
当0＜a＜1时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立；
当a＞1时，，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，，解得1＜a≤2．
变式20 已知函数在上恒正．求实数a的取值范围
【例24】当时，，求a的取值范围。
【答案】
【详解】分别记函数，
由图1知，①当时，不满足题意；
②当时，图2，要使时，不等式恒成立，
只需满足，即，即，解得.
变式21 若不等式在内恒成立，求a的取值范围。
【例25】已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【详解】，不等式恒成立，即恒成立，即；
而已知在上是增函数，在上是单调减函数，故在上是增函数，
故，故，即 .
【例26】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.
在上，当且仅当时等号成立，
由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，
所以，可得，故答案为：.
变式22 已知非常数函数是定义域为的奇函数．已知，且，求的取值范围．
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§ 对数运算
知识点一 对数式的运算
对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以 为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
对数的性质：
①特殊对数：；；其中且。
②对数恒等式：，；
对数的运算法则：
①外和内乘原理：；
②外差内除原理：；
③提公次方法：，；
换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
对数公式默写模板
1、对数的性质：
①特殊对数： ； ；其中且。
②对数恒等式： ， ；
③对数换底公式： ；
2、对数的运算法则：
①外和内乘原理： ；
②外差内除原理： ；
③提公次方法： ；
3、换底公式和对数运算的一些方法：
①倒数原理： ；
②约分法则： ；
【题型一】对数式的化简及求值（底不变，其他换）
【例1】将下列指数式与对数式互化：
（1）；
（2）；
【答案】(1)；(2)；
【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
变式1 将下列指数式与对数式互化：
（1）；
（2）．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
【例2】计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
（4）；
（5）；
【答案】(1)320；(2)6；(3)3；（4）2；（5）8
【详解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
（4）原式.
（5）
变式2 求下列各式的值：
（1）．
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）441；（2）；（3）4；（4）
【详解】（1）由题意可得：.
（2）原式.
（3）
（4）=
【题型二】换底公式的运用
换底公式
【例3】已知，则用表示为 ．
【答案】
【详解】.故答案为：.
变式3 已知，，则可以用a、b表示为 .
【答案】
【详解】由，得，而，所以.故答案为：
条件求值
【例4】已知，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，所以，所以；故答案为：
【例5】已知，则 ．
【答案】3
【详解】依题意，，
则．
故答案为：3
变式4 若,且,求a的值.
【答案】30
【详解】,,.,.
..
变式5 已知a,b,c是不等于1的正数,且,,求的值.
【答案】1
【详解】设.∵a,b,c是不等于1的正数,,,.
,,.,,.
,，即..
【题型三】解对数方程（化为同底的对数，然后真数相等）
【例6】（1），求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】(1)；(2)4
【详解】（1）因为，得，则，所以．
（2）由已知可得，因为，
所以，化简可得，解得（舍去），或，所以
变式6 求下列各式中x的值
（1）．
（2）；
【答案】（1）；（2）3
【详解】（1）因为，可得，则，所以．
（2），所以方程中的应满足
由得，即,解得或
因为,所以当时不满足真数大于0,舍去；故.
【例7】解下列关于的方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）25；（2），
【详解】（1），方程中的应满足
，即，
（2），所以方程中的应满足方程整理得,即，所以或，解得或，经检验知,,都是原方程的解.
变式7 解关于的方程.
（1）；
（2）.
【答案】（1）2；（2）8
【详解】（1），所以应满足
由对数的运算性质可将方程化为
，或.，因为，
（2），所以应满足
根据对数的运算性质,，则原方程可化为
，，经检验,符合题意
§ 对数函数
知识点一 反函数
设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数(即对任意的一个，都有唯一的与之对应)，那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．
注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
反函数的性质：
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
知识点二 对数函数的定义及图像
对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
图像的特征
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【题型一】反函数
【例1】已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 .
【答案】.
【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称，
又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.则，解得.
又函数的图象过点，则，解得，故.
变式1 若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上，
所以点在函数的图象上，所以，即，
解得，所以．故答案为：．
【例2】已知函数，求解方程.
【答案】1
【详解】，则，由于原函数图像与反函数图像关于对称，则转化为与的图像的交点。令，则，。
变式2 已知函数，若方程有2个解，则求的取值范围.
【答案】
【详解】，则，由于原函数图像与反函数图像关于对称，则转化为与的图像有2个交点。令，则，。则。
【例3】（多选题）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直，
且交点为知，，因此，所以有：
，
，正确的ABD，错误的是C，
故选：ABD．
变式3（多选题）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】依题意，，，
则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，
而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，
则，于是，，，BC正确，A错误；
因为,所以，
则，即，D错误.
故选：BC
【例4】若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
可以看作是直线与函数和交点的横坐标，
作出图象，如图，与互为反函数，图象关于直线对称，
而直线与直线垂直，
因此直线与和图象交点也关于直线对称，
所以，由图象知．
，
又，，
所以，，所以所求范围是．
故选：C．
【例5】（多选题）已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对选项A：，函数在上单调递减，
，，故，错误；
对选项B：，函数在上单调递增，
，，故，正确；
对选项C：，即，
，即，
和关于对称，关于对称，
故和关于对称，，即，正确；
对选项D：，，故，即，
等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确；
故选：BCD
变式4 已知，，则的值为
【答案】4
【详解】由，得到，令，得到
所以为函数与交点的横坐标，
由，得到，所以为函数与交点的横坐标，
又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称，
又关于对称，由，得到，所以，得到，
变式5 已知实数，满足，则的最小值是 .
【答案】
【详解】，有，
得，
函数在上单调递增，，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
【题型二】定义域和值域
定义域
【例6】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数有意义，则有，即
解得，所以函数的定义域是.
故选：D
变式6 对数中实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，
所以有，
故选：C
值域
【例7】已知函数.当时，求该函数的值域；
【答案】
【详解】，
令，由，则，所以有，，
所以当时，，当时，所以函数的值域为.
变式7 函数在区间上的最小值为_____________．
【答案】．
【详解】，因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故答案为：
逆向考察
【例8】已知函数.
（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
【答案】(1)；(2)；
【详解】（1）由f(x)的定义域为R，知的解集为R，则，解得：.
所以a的取值范围为.
（2）函数f(x)的值域为R等价于能取到上的一切值，所以只要即可，其中，，解得：或.
所以实数a的取值范围是.
变式8 已知函数.
（1）若函数f(x)在内有意义，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为，求实数a的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由f(x)在内有意义，知对恒成立，
因为图象的对称轴为x＝a，所以当时，，
即，解得：；
当时，，即，解得：.
综上可知，a的取值范围为.
（2）因为y＝f(x)≤－1，所以的值域为，
又，则有，解得：.
【题型三】对数函数的图像
（1）定点
【例9】已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
【答案】1
【详解】函数的图象经过定点所以的图象也过定点，
即则，所以，故答案为：1
（2）函数图像的变换：
①平移变换
:时，右移个单位;时，左移个单位.
:时，上移个单位;时，下移个单位.
②对称变换
:关于轴对称;
:关于轴对称;
:关于原点对称.
③翻折变换
:去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边;（左边不要，右翻左）
:留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去.（下翻上）
【例10】利用函数的图像，做出下列个函数的图像：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
（3）图像的识别
【例11】若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的图象为减函数可知，，
再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，
故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象
故选：B.
变式9 若函数（且）的图象如图，则函数的大致图象是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合，故选：C.
【例12】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
变式10 函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】为偶函数，故B、D不成立，
当时，，当时，,单调递减，
当时，,单调递增，故选：A．
（4）对数函数图像的应用
【例13】已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，不等式，即，等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
变式11 （多选题）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
【例14】已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
变式12 已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴，
，∵，∴
∴，即，∴∴的取值范围是，
故答案为：
【题型四】对数函数的单调性
（1）求单调区间
【例15】求函数的一个单调增区间。
【答案】
【详解】函数的定义域为.要求函数的一个单调增区间，
只需求的增区间，只需.所以.
所以函数的一个单调增区间是.
变式13 已知函数，求的单调递增区间；
【答案】
【详解】由得：，即的定义域为；，
当时，；当时，；的单调递增区间为.
（2）比较大小
【例16】设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，， ，即 ，
， ， ，
，即 ， ，即．故答案选B．
【例17】已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________
【答案】
【详解】由已知，，，
又，则，∴，
，则，，
又，∴，，
而，∴，，
综上有．故答案为：．
变式14 已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可知，所以，
易知，所以有，即，所以.故选：A
变式15已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因在上为增函数，故，即：，
又因在上也为增函数，而，故，即，
又因，则，，因在R上为增函数，故，即，故有：
故选：B.
（3）已知单调区间求参数范围
【例18】已知函数 在 上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以.
且在恒大于0，所以或.
综上可知：
变式15 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】令，因为外层函数在上为减函数，
且函数在区间上单调递增，
所以，内层函数在上为减函数，且，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
【例19】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为上的增函数，故：，解得，故选：C.
变式16 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为
【答案】
【详解】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，
因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，
知识点三 对数函数的奇偶性（两指两对奇函数，一指一对偶函数）
两指两对奇函数：
①，若则单调递减，若，则单调递增；
②，若则单调递减，若，则单调递增；
或，若则单调递增，若，则单调递减；
③单调递增,或单调递减；
更一般的形式也为奇函数。
④在，或 在增；
更一般的形式也为奇函数。
一指一对偶函数：
①为偶函数，若，若。
②为偶函数，若，若。
注意：当我们根据上面的结论判断出了函数的奇偶性以及单调性之后，可以找一个更为简单的函数的解析式去取代原函数解析式。例：若为奇函数，令，或；若为偶函数，令，或。
函数 奇偶性 单调性 可替换函数
， 奇 增
， 偶 先减后增
， 奇 增
， 奇 减
， 奇 增
奇 减
， 奇 减
， 奇 增
， 偶 先减后增
【题型五】对数函数有关的奇偶性
【例20】下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B中，因为函数为偶函数，所以函数不可能是函数，
即不存在实数，使得函数为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，由函数定义域为，关于原点对称，
又由，即，解得，所以C符合题意；
对于D中，当时，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为奇函数，所以D正确；
故选：ACD.
【例21】设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
变式17 设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递增
【答案】A
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
故为定义域上的偶函数，可排除BD；
当时，，
即在上单调递增，故A正确；又函数为偶函数，所以函数在单调递，故C错误.
故选：A
【例22】函数，则是
A．奇函数，且在上单调递减 B．奇函数，且在上单调递增
C．偶函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递增
【答案】D
【详解】,所以为偶函数,
设在单调递增, 所以在单调递增,故选D
变式18 已知函数，则是
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在上单调递减
【答案】A
【详解】要使函数有意义，需使解得 所以函数的为
定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数；
因为是增函数，所以 是增函数，又是增函数，
所以函数 在定义域上单调递增.
故选：A
变式19 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，且，
因为函数的图象关于直线对称，则是方程的根，
故，解得，则.
又由得，,解得.
故，即，
验证：函数的定义域为，且，且，
故函数的图象关于直线对称，满足题意.则，故选：B.
【题型六】恒成立 (分离参数)
一般地，已知函数，
①若，，总有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有，则的值域是值域的子集 ．
【例23】函数在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围
【答案】
【详解】∵函数上恒为正值，
当0＜a＜1时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立；
当a＞1时，，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，，解得1＜a≤2．
变式20 已知函数在上恒正．求实数a的取值范围
【答案】
【详解】当时，．由，知；
当时，．
再由，可得．
【例24】当时，，求a的取值范围。
【答案】
【详解】分别记函数，
由图1知，①当时，不满足题意；
②当时，图2，要使时，不等式恒成立，
只需满足，即，即，解得.
变式21 若不等式在内恒成立，求a的取值范围。
【答案】
【详解】①当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
②当时，函数在上单调递减，此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.
【例25】已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【详解】，不等式恒成立，即恒成立，即；
而已知在上是增函数，在上是单调减函数，故在上是增函数，
故，
故，即 .
【例26】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.
在上，当且仅当时等号成立，
由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，
所以，可得，故答案为：.
变式22 已知非常数函数是定义域为的奇函数．已知，且，求的取值范围．
【答案】.
【详解】由题知，，函数在上单调递增，则，，
由，，，得，
因此，，
当时，，，，
当且仅当时取等号，于是，所以的取值范围是.
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