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§2 函数的单调性与最值
1.单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上;
②任意两个自变量，且;
③都有或;
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）增函数与减函数形式的等价变形： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
（3）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
2.单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
3.复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
随着
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数
随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小
增函数 增函数 减函数 减函数
记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
【题型一】函数的单调性判断及求单调区间
（1）定义法求解函数的单调区间
【例1】已知函数判断，并证明函数在上的单调性.
【详解】在上单调递增,证明如下:设任意,
则
由,得,,即,
故在上单调递增.
变式1 讨论函数（）在上的单调性.
【详解】任取、，且，，
则：，
①当时，，即，函数在上单调递减；
②当时，，即，函数在上单调递增.
（2）图像法判断单调区间
【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，
故选：D．
【例3】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
【答案】B
【详解】
如图所示：函数的单调递增区间是和．
故选：B.
变式2 函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【详解】由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，
所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
（3）判断复合函数的单调区间
【例4】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
变式3 求函数的单调递减区间．
【答案】
【详解】由题意可知，解得或．易知函数由，复合而成，
且在单调递减，在单调递减，在上单调递增；
利用复合函数单调性可得的单调递减区间为.
【例5】已知函数,试求的单调区间.
【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是.
【详解】令，则.
又在上为减函数，在上为增函数.
令，解得或；
令，解得.
①当时，为增函数，而，故为减函数，所以为减函数；
②当时，为增函数，而，故为增函数，所以为增函数；
③当时，为减函数，而，故为增函数，所以为减函数；
④当时，为减函数，而，故为减函数，所以为增函数.
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
变式4 已知函数，试写出函数的单调区间.
【答案】增区间为和，减区间为和
【详解】令，则:
①当时，，函数单调递减；②当时，，函数单调递减；
③当时，，函数单调递增； ④当时，，函数单调递增；
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
所以函数的单调增区间为和，减区间为和.
（4）判断抽象函数的单调性
【例6】已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数；
【详解】任取且,
则＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2）
又∵x＞0时，f（x）＜0，而x1－x2＞0，∴f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在R上为减函数．
【例7】定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
【答案】（1）；（2）在单调递减；
【详解】（1）令，．
（2）在单调递减，设，令，，则，所以，
得
即对任意，若，则，在单调递减．
变式5 已知函数满足，当时，，且.并判断的单调性；
【答案】在上为增函数；
【详解】令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，因此
即在上为增函数；
【题型二】已知单调性求参数的取值范围
（1）反比例函数
【例8】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，所以在上严格增函数,
所以，．故答案为：
变式6 函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【详解】函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得，故答案为：
（2）二次函数
【例9】已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：．
【例10】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，,上单调递减，满足题意；
当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减，
知，解得．综上，a的取值范围为．
故选：D
变式7 已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【详解】的图像的对称轴为，因为函数在区间上时单调函数，
所以或，得或，即的取值范围是，故选：D
（3）分段函数（口诀：左段也递增，右端也递增，分界处也递增）
【例11】函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得.
故答案为：
变式8 若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： ，故选：B
【例12】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
又在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
变式9 已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．故实数t的取值范围为．
故选：A
【题型三】单调性的应用
比大小
【例13】已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，
所以函数在上单调递增，因为，所以，即；
故选：D
变式10 已知二次函数，其中.比较和的大小.
【答案】
【详解】因为的对称轴为，所以，
因为，所以的图象开口向上，所以在上单调递减，所以，则
解不等式
【例14】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
【答案】A
【详解】①当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且
②当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，因为，所以，解得，故选：A
变式12 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】画出的图象，如下：
显然要满足，则要，且，
解得：.
故选：C
【题型四】求函数的最值
【例15】函数的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】设，，则，则函数等价于，，
∵在上是增函数，．∴函数的最小值是3．
故选：A．
变式13 （多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数没有最大值，也没有最小值．
B．若，则值域为
C．若，则值域为
D．若，且，则值域为
【答案】ACD
【详解】，定义域为：，
借助反比例函数的单调性易知：在都单调递减，
对于A：由单调性和反比例函数图象可知没有最大值，也没有最小值，正确；
对于B：当时，，故错误；
对于C：当，单调递减，，
当时，，且小于0，所以值域为，正确；
对于D，当，单调递减，，当，且时，，
当时，单调递减，当，且时，，当时，，故值域为，正确.
故选: ACD
【例16】已知函数，设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
【答案】
【详解】因为，，
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，在上单调递减，所以；
③当时，；
所以；
变式14 已知函数，求函数在闭区间（）上的最小值．
【答案】
【详解】依题意知，函数是开口向上的抛物线，
函数有最小值，且当时，．
下面分情况讨论函数在闭区间（）上的取值情况：
①当闭区间 ，即时，在处取到最小值，
此时；
②当，即时，在处取到最小值，此时；
③当闭区间，即时，在处取到最小值，
此时．
综上，的函数表达式为
【题型五】已知函数的最值求参数范围
【例17】若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
【答案】3
【详解】∵函数，由复合函数的单调性知，
①当时，在上单调递减，最大值为；
②当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，故实数，故答案为：3
【例18】已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为，对称轴为，开口向下，
函数在上单调递增，在上单调递减，
依题意，所以，所以在区间上单调递增，
所以，即，所以、为方程的两根，
所以，故选：A
变式15 已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
（i）当时，在上单调递增，所以，则，
，所以，，，
，，，
或或
；
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，；
综上，的取值范围为.故答案为：
【例19】已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：由题意，在中，
∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，
∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【例20】设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若时，，；
①若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
②若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
变式16 设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；
①即当时，函数的最小值为，②当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是，故选：A.
【题型六】利用单调性解决恒成立问题
单参数
【例21】若对任意，都有，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
故只需，解得，故，
②当，即时，在上单调递增，
故只需，解得，故为，
③当，即时，，
故只需，解得，故，
综上，.
故答案为：
【例22】已知函数，若时不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】，由可得，
，整理得，，
不等式在上恒成立，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，，根据对勾函数性质易得函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即的取值范围是.
故答案为：.
变式17 已知存在，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】
【详解】令，，因为存在，使不等式成立，
所以存在，使不等式成立，
函数开口向上，对称轴为，
①当，即时，，解得，所以；
②当，即时，，不符合题意；
③当，即时，，解得或，
所以，
综上可得，即的取值范围为.
变式18 若，为假命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】，为假命题，则，为真命题，
即，又，恒成立，所以，
设，则，
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，所以，
故答案为：.
双参数
【例23】已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】=.
【详解】对任意的，由在上单调递增，
可得，即，则在上的值域为
对称轴，
当时，在上为增函数，值域为，
由题意可得，则，解之得；
综上，实数的取值范围为.
变式19 已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
【答案】 .
【详解】 由题意知对任意的 ，由 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
则 在 上的值域为 ，
对称轴 ，
当 时， 在 上为增函数，值域为 ，
由题意可得 ，则 ，解之得 ；
综上，实数 k 的取值范围为 .
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§2 函数的单调性与最值
知识点一 单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上;
②任意两个自变量，且;
③都有或;
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）增函数与减函数形式的等价变形： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
（3）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
知识点二 复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
随着
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数
随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小
增函数 增函数 减函数 减函数
记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
【题型一】函数的单调性判断及求单调区间
（1）定义法求解函数的单调区间（①取值；②作差变形；③定号；④得出结论）
【例1】已知函数判断，并证明函数在上的单调性.
【详解】在上单调递增,证明如下:设任意,
则
由,得,,即,
故在上单调递增.
变式1 讨论函数（）在上的单调性.
（2）图像法判断单调区间
【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，
故选：D．
【例3】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
【答案】B
【详解】
如图所示：函数的单调递增区间是和．
故选：B.
变式2 函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（3）判断复合函数的单调区间（同增异减）
【例4】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
变式3 求函数的单调递减区间．
【例5】已知函数，试求的单调区间.
【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是.
【详解】令，则.
又在上为减函数，在上为增函数.
令，解得或；令，解得.
①当时，为增函数，而，故为减函数，所以为减函数；
②当时，为增函数，而，故为增函数，所以为增函数；
③当时，为减函数，而，故为增函数，所以为减函数；
④当时，为减函数，而，故为减函数，所以为增函数.
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
变式4 已知函数，试写出函数的单调区间.
（4）判断抽象函数的单调性（构造与所给运算的逆向运算）
【例6】已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数；
【详解】任取且,
则＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2）
又∵x＞0时，f（x）＜0，而x1－x2＞0，∴f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在R上为减函数．
【例7】定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，。判断函数在上的单调性，并证明；
【答案】在单调递减；
【详解】在单调递减，设，令，，则，所以，
得
即对任意，若，则，在单调递减．
变式5 已知函数满足，当时，，并判断的单调性；
【题型二】已知单调性求参数的取值范围（已知的单调区间是含参单调区间的子集）
（1）反比例函数
【例8】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，所以在上严格增函数,
所以，．故答案为：
变式6 函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
（2）二次函数
【例9】已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：．
【例10】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，,上单调递减，满足题意；
当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减，
知，解得．综上，a的取值范围为．
故选：D
变式7 已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
（3）分段函数（口诀：左段也递增，右端也递增，分界处也递增）
【例11】函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得.
故答案为：
变式8 若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【例12】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
又在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
变式9 已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】单调性的应用
比大小
【例13】已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，
所以函数在上单调递增，因为，所以，即；
故选：D
变式10 已知二次函数，其中.比较和的大小.
解不等式
【例14】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
【答案】A
【详解】①当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且
②当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，因为，所以，解得，故选：A
变式12 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】求函数的最值（画函数图像）
【例15】函数的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】设，，则，则函数等价于，，
∵在上是增函数，．∴函数的最小值是3．
故选：A．
变式13 （多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数没有最大值，也没有最小值．
B．若，则值域为
C．若，则值域为
D．若，且，则值域为
【例16】已知函数，设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
【答案】
【详解】因为，，①当时，；
②当时，在上单调递增，所以；
③当时，在上单调递减，所以；
所以；
变式14 已知函数，求函数在闭区间（）上的最小值．
【题型五】已知函数的最值求参数范围
【例17】若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
【答案】3
【详解】∵函数，由复合函数的单调性知，
①当时，在上单调递减，最大值为；
②当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，故实数，故答案为：3
【例18】已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为，对称轴为，开口向下，
函数在上单调递增，在上单调递减，
依题意，所以，所以在区间上单调递增，
所以，即，所以、为方程的两根，
所以，故选：A
变式15 已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.
【例19】已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：由题意，在中，
∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，
∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【例20】设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若时，，；
①若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
②若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
变式16 设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】利用单调性解决恒成立问题（①分离参数；②带参数求最值）
（1）单变量
【例21】若对任意，都有，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
故只需，解得，故，
②当，即时，在上单调递增，故只需，解得，故为，
③当，即时，，
故只需，解得，故，综上，.
故答案为：
【例22】已知函数，若时不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】，由可得，
，整理得，，
不等式在上恒成立，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，，根据对勾函数性质易得函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即的取值范围是.
故答案为：.
变式17 已知存在，使不等式成立，求的取值范围.
变式18 若，为假命题，则实数的取值范围为 ．
（2）双变量
【例23】已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】=.
【详解】对任意的，由在上单调递增，
可得，即，则在上的值域为
对称轴，
当时，在上为增函数，值域为，
由题意可得，则，解之得；
综上，实数的取值范围为.
变式19 已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
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