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§1 函数的概念
1.函数的概念
(1) 一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2) 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3) 函数表示法：函数书写方式为，
(4) 函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5) 同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
(1) 分式中的分母不为0;
(2) 偶次方根下的数（或式）大于或等于0;
(3) 零指数幂的底数不为0;
注：定义域需用区间或集合的形式写出.
3.基本初等函数的值域
(1) 的值域是.
(2) 的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3) 的值域是.
4.函数的值域常规求法
(1) 图像法；常见的一次函数，二次函数，双勾函数，双刀函数，反比例函数的图像要能够准确画出，其中二次函数，双勾函数的拐点，反比例函数的对称中心要能够找出来。
(2) 换元法：
①形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域(注意)；
②形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；
③形如(、中至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元．
【题型一】求定义域
【例1】.求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
（3）
（4）
【答案】(1)；(2)；（3）且；（4）.
【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得.
所以函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为.
（3）要使函数有意义，只需，解得且，所以函数的定义域为且．
（4）要使函数有意义，则解得，且．故定义域为．
变式1求下列函数的定义域：
；
；
（3）.
【例2】已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数的定义域是，得，
因此在函数中，，解得，所以所示函数的定义域为.
故选：A
【例3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的定义域为，所以，，
所以函数的定义域为.
故选：A.
变式2 已知函数的定义域，则函数的定义域是 .
变式3 已知函数定义域为，则定义域是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】已知定义域求参数范围
【例4】已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立，
①当时，，对任意恒成立，符合题意；
②当时，，即，解得：，
综上，实数的取值范围是;
故选：D
【例5】若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
【答案】 2
【详解】函数，故，即，函数的定义域为，故.
故答案为：2；
变式4 已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是
【题型三】求函数值域
【例6】求下列函数的值域
（1） （2） （3）
（5） （6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
【详解】（1）函数的定义域为，由可以得到，
整理得到.因,即，故函数的值域为.
（2）函数的定义域为，
当，，故，
所以函数的值域为.
（3）函数的定义域为，令，
当时，，故，所以函数的值域为.
（4）函数的定义域为，因为为的增函数，为上的减函数，
故为上的增函数，当时，函数的函数值1，故函数的值域为.
（5）函数的定义域为，又，而，
所以，故，故函数的值域为.
（6）函数的定义域为，当时， ；当时，，
当时，，综上，函数的值域为.
变式5 求下列函数的值域：
； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6).
【题型四】逆用已知值域求参数范围
【例7】设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数，由对勾函数的性质可知，
由于在上单调递减，在上单调递增，且注意到，，，
所以所求a的取值范围是．
故选：D
【例8】设函数
（1）若y=的定义域为R，求a的范围
（2）若y=的值域为[0，+），求a的范围
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）y=的定义域为R，所以恒成立，所以有，
解得，所以a的范围是.
y=的值域为[0，+∞），所以的最小值满足，所以有，
解得或，所以a的范围是.
【例9】设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（ ）
A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一
C．的最大值为3 D．的最小值为3
【答案】D
【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误；
对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误；
对于C、D项，
①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.
当时，即，此时有；
当时，即，则，此时有.
综上所述，.故C项错误，D项正确.
故选：D.
变式6（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A． B． C． D．
变式7 为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ．
变式8 已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 .
【例10】已知函数，已知，若函数的值域为，求a，b的值；
【答案】或，；
【详解】函数的对称轴方程为，
① 当时，即，函数在上单调递增，可得，解得；
②当时，即时，函数在上单调递减，可得，解得，；
③当时，即时，可得，解得，或（舍去）；
④当，即时，可得，解得，（舍去），
综上所述，或，.
变式9 若函数的定义域为（或），值域也为（或），我们称函数是区间（或）上的保值函数．如是区间上的保值函数．
(1)设二次函数是区间上的保值函数，求正实数m，n的值；
(2)函数是区间上的保值函数，求实数a，b的值．
【题型五】求函数解析式
【例11】（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求的解析式.
（4）若函数，且，则实数a的值为 .
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）设，则，，即，
所以，所以．
（2）因为是二次函数，所以设.由，得．
由，得，
整理得，所以，所以，所以．
（3）用替换中的x，得，
由，解得.
（4）函数，又的值域为，
，，可得，解得.故答案为：.
变式10 求下列函数的解析式
是一次函数，且满足，求的解析式;
已知函数，求函数的解析式．
已知，求的解析式．
(4)已知，则函数的解析式
【题型六】分段函数
【例12】已如函数
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)作出函数在区间内的图像．
【答案】(1)；(2)2或0；(3)图象见解析
【详解】（1）易知
（2）当时，，解得，满足要求，当时，,解得或（舍）
综上可得或0
（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
变式11 已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求实数的值.
【例13】设函数，则 ；若，则的取值范围是
【答案】
【详解】由题，若，则或，解得或，
若，则的取值范围是.
故答案为：；
变式12 已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求实数的取值范围，
【例14】已知数若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，
由，得，则，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，且，， ，
所以的取值范围是．
故选：B．
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§1 函数的概念
1.函数的概念
(1) 一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2) 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3) 函数表示法：函数书写方式为，
(4) 函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5) 同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
(1) 分式中的分母不为0;
(2) 偶次方根下的数（或式）大于或等于0;
(3) 零指数幂的底数不为0;
注：定义域需用区间或集合的形式写出.
3.基本初等函数的值域
(1) 的值域是.
(2) 的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3) 的值域是.
4.函数的值域常规求法
(1) 图像法；常见的一次函数，二次函数，双勾函数，双刀函数，反比例函数的图像要能够准确画出，其中二次函数，双勾函数的拐点，反比例函数的对称中心要能够找出来。
(2) 换元法：
①形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域(注意)；
②形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；
③形如(、中至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元．
【题型一】求定义域
【例1】.求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
（3）
（4）
【答案】(1)；(2)；（3）且；（4）.
【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得.
所以函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为.
（3）要使函数有意义，只需，解得且，所以函数的定义域为且．
（4）要使函数有意义，则解得，且．故定义域为．
变式1求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）由题意可得，解得：且，所以这个函数的定义域是；
（2）由题意可得，解得：， 所以这个函数的定义域是；
（3）由题意可得，解得：，所以这个函数的定义域是．
【例2】已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数的定义域是，得，
因此在函数中，，解得，所以所示函数的定义域为.
故选：A
【例3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的定义域为，所以，，
所以函数的定义域为.
故选：A.
变式2 已知函数的定义域，则函数的定义域是 .
【答案】
【详解】由题意，，解得，即定义域为.
故答案为：
变式3 已知函数定义域为，则定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为的定义域为，，
对于函数有，解得定义域为.
故选：
【题型二】已知定义域求参数范围
【例4】已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立，
①当时，，对任意恒成立，符合题意；
②当时，，即，解得：，
综上，实数的取值范围是;
故选：D
【例5】若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
【答案】 2
【详解】函数，故，即，函数的定义域为，故.
故答案为：2；
变式4 已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】由题意得对任意恒成立，
①当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；
②当时，由该不等式恒成立可得，解之得，
综上，实数的取值范围是
【题型三】求函数值域
【例6】求下列函数的值域
（1） （2） （3）
（5） （6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
【详解】（1）函数的定义域为，由可以得到，
整理得到.因,即，故函数的值域为.
（2）函数的定义域为，
当，，故，
所以函数的值域为.
（3）函数的定义域为，令，
当时，，故，所以函数的值域为.
（4）函数的定义域为，因为为的增函数，为上的减函数，
故为上的增函数，当时，函数的函数值1，故函数的值域为.
（5）函数的定义域为，又，而，
所以，故，故函数的值域为.
（6）函数的定义域为，当时， ；当时，，
当时，，综上，函数的值域为.
变式5 求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)
【详解】（1）令，则，而，则，
故，即的值域为；
（2），因为，故，所以的值域为;
（3）令，则，
当时，取到最大值5，无最小值，故的值域为；
（4），
当时，；当时，；当时，，故的值域为；
（5）因为恒成立，故,则由可得，
当时，，适合题意；
当时，由于，故恒有实数根，
故，解得且，故的值域为；
（6），
因为，故，当且仅当，即时等号成立，
故，即函数值域为；
【题型四】逆用已知值域求参数范围
【例7】设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数，由对勾函数的性质可知，
由于在上单调递减，在上单调递增，且注意到，，，
所以所求a的取值范围是．
故选：D
【例8】设函数
（1）若y=的定义域为R，求a的范围
（2）若y=的值域为[0，+），求a的范围
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）y=的定义域为R，所以恒成立，所以有，
解得，所以a的范围是.
y=的值域为[0，+∞），所以的最小值满足，所以有，
解得或，所以a的范围是.
【例9】设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（ ）
A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一
C．的最大值为3 D．的最小值为3
【答案】D
【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误；
对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误；
对于C、D项，
①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.
当时，即，此时有；
当时，即，则，此时有.
综上所述，.故C项错误，D项正确.
故选：D.
变式6（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】解：画出的图象如图所示：
由图可知：，，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.
故选：ABC.
变式7 为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ．
【答案】4
【详解】因为函数，，的值域为，所以最大取到3，最小取到，
所以的最大值为，故答案为：4
变式8 已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 .
【答案】3
【详解】 画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,
由于有且仅有,所以,
而,所以有,或,
又∵,的最大值为正值时,,∴,
所以,当取最小值时,,有最大值.
又∵,∴的最大值为；故答案为：3.
【例10】已知函数，已知，若函数的值域为，求a，b的值；
【答案】或，；
【详解】函数的对称轴方程为，
① 当时，即，函数在上单调递增，可得，解得；
②当时，即时，函数在上单调递减，可得，解得，；
③当时，即时，可得，解得，或（舍去）；
④当，即时，可得，解得，（舍去），
综上所述，或，.
变式9 若函数的定义域为（或），值域也为（或），我们称函数是区间（或）上的保值函数．如是区间上的保值函数．
(1)设二次函数是区间上的保值函数，求正实数m，n的值；
(2)函数是区间上的保值函数，求实数a，b的值．
【答案】(1)，，(2)或．
【详解】（1）二次函数的对称轴为，开口向上，函数在上为单调递增函数，
由于，所以二次函数在,单调递增，若为,上的保值函数，
则，，考虑到，故解得，，
故，，
（2）当时，函数在内为单调增函数，
若函数在上的保值函数，则，解得，
若时，函数在为单调递减函数，
若函数是上的保值函数，则，解得，
当时，函数为常函数，显然不符合要求，
满足条件的实数，的值有或．
【题型五】求函数解析式
【例13】（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求的解析式.
（4）若函数，且，则实数a的值为 .
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）设，则，，即，
所以，所以．
（2）因为是二次函数，所以设.由，得．
由，得，
整理得，所以，所以，所以．
（3）用替换中的x，得，
由，解得.
（4）函数，又的值域为，
，，可得，解得.
故答案为：.
变式12 求下列函数的解析式
(1)是一次函数，且满足，求的解析式;
(2)已知函数，求函数的解析式．
(3)已知，求的解析式．
(4)已知，则函数的解析式
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）由已知是一次函数，设函数，则，
因为，所以，
所以解得，所以；
（2）由，则；
（3）由已知①，，则②，
所以①②，得，，所以.
（4）（），
①当时，，当且仅当时，即时取等号，
②当时，，当且仅当时，即时取等号，
所以.
【题型六】分段函数
【例12】已如函数
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)作出函数在区间内的图像．
【答案】(1)；(2)2或0；(3)图象见解析
【详解】（1）易知
（2）当时，，解得，满足要求，当时，,解得或（舍）
综上可得或0
（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
变式11 已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)，；(2)
【详解】（1）因为，且，所以.
因为，所以.
（2）依题意，令，
①若，则，解得，
②与矛盾，舍去；
③若，则，解得，
故，解得，所以实数的值为；
综上所述：的值为.
【例13】设函数，则 ；若，则的取值范围是
【答案】
【详解】由题，若，则或，解得或，
若，则的取值范围是.
故答案为：；
变式12 已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求实数的取值范围，
【答案】(1)作图见解析；(2)
【详解】（1）因为，所以的图象如图所示：
（2）由题可得或或，解得或或，
所以实数的取值范围为
【例14】已知数若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，
由，得，则，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，且，， ，所以的取值范围是．
故选：B．
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