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函数的奇偶性
知识点一 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
【奇偶函数判定】①如果或，则函数为偶函数；
②如果或，则函数为奇函数．
【注意】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称。
知识点二奇偶函数的性质
若奇函数在处有意义，则有；
必为偶函数；同理偶函数必满足。
奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）
若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
奇偶性的运算：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
若，，则必为偶函数，必为奇函数.
【题型一】判断函数的奇偶性
（1）不含参
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数．
【详解】（1）由得x＝±3，∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0，即f(x)＝±f(－x)．
∴f (x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）由得－1（3）由得－2 ≤ x ≤ 2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
此时，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
变式1 判断下列函数的奇偶性，并说理．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)偶函数，理由见解析；(2)既是奇函数又是偶函数，理由见解析
(3)既不是奇函数，又不是偶函数，理由见解析；(4)偶函数，理由见解析
【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，∴为偶函数．
（2）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，∴既是奇函数又是偶函数．
（3）∵函数的定义域为，定义域不关于原点对称，∴既不是奇函数，又不是偶函数．
（4）的定义域是，定义域关于原点对称．
当时，，；
当时，，．
综上可知，对于，都有，
所以为偶函数．
（2）含参
【例2】已知，讨论的奇偶性；
【答案】当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数
【详解】①当时，，则，此时为奇函数；
②当时，，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
变式2 已知函数（，常数）．讨论函数的奇偶性，并说明理由；
【详解】（1）当时，，对任意，有，为偶函数，
（2）当时，，取，得，
，函数既不是奇函数也不是偶函数，
综上所述，当时，为偶函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数；
（3）抽象函数（赋值法，构造出，）
【例3】（多选题）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．在上单调递增
【答案】AC
【详解】由知，当时， ，即，故A正确；
取，则满足条件，
但，且是在上单调递减，故B，D错误；
当时，，即，故C正确.
故选：AC.
变式3（多选题）已知函数的定义域为不恒为0，且，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在定义域内单调
【答案】AD
【详解】对于A，因为，令，则，故A正确；
对于BCD，当且时，，得恒成立，
令函数，则，所以，所以为常函数，且，
令，则，易得是奇函数，故C错误；，故B错误；
因为函数，所以在定义域内单调递增或单调递减，故D正确.
故选:AD.
【例4】（多选题）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
【答案】ACD
【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；
由，可得，
，即，可得，故B错误；
令，则，即，
则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，
当时，，即，
设，即，即有，
则在R上递增，故C正确．
故选：ACD．
变式4（多选题）已知函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】ABD
【详解】令，可得，故A项正确；
令，可得，令，可得，则，故B项正确；
由，可得，
令，则，令，可得，
令，则，
所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确.
故选：ABD
【题型二】奇偶性的应用
（1）求函数值
【例5】函数是偶函数，当时，，则________.
【答案】
【详解】因为当时，，所以当时，，所以，
函数是偶函数，所以，所以，
故答案为：.
变式5 函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________.
【答案】
【详解】由题设，，故时，所以，故.
故答案为：
（2）求解析式
【例6】已知是定义在R上的奇函数，且时，，求的解析式。
【答案】
【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，则
变式6 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， .
【答案】
【详解】当时，可得，
因为函数是定义在上的偶函数，且时，，
可得，即当时，.
故答案为：.
【例7】若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【答案】，
【详解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，
解得，.
变式7 设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，，
因为①，则②，
所以①+②得，所以．
故选：A．
（3）求参数
【例8】已知为奇函数，且．求实数、的值．
【答案】，．
【详解】由题意可得，即，解得．再由，解得．
综上可得，，．
变式8 已知函数是定义在上的奇函数，求的值；
【答案】，；
【详解】由题意：所以.
又，所以：，.
【例9】若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
变式9 若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
【答案】1
【详解】若是奇函数，则有.当时，，则，
又当时，，所以，由，得，解得a=1.
故答案为：1.
【题型三】奇偶性的图像
【例10】已知定义在R上的偶函数满足：当时，
(1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间；
(2)求出时的解析式；
(3)由图象写出不等式的解集.
【答案】(1)答案见解析；(2)，(3)或．
【详解】（1）作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图：
（2）时，；
（3）或，由图象得或，
所以不等式的解集为或．
变式10 已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示．
(1)求的值；
(2)补全的图像，并写出不等式的解集．
【答案】(1)1；(2)作图见解析，
【详解】（1）由图可知，，因为是偶函数，所以；
的图像如上图，不等式的解集为；
综上， ，的解集为.
【例11】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】由偶函数的性质可知，，或，
由奇函数的性质可知，，，
①当，得，
②当，得，
所以不等式的解集为，故答案为：
变式11 已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】因为函数是上的偶函数，图像关于轴对称，所以在上的图像如图所示：
的定义域为，
由图像可知在①上，，，所以，
②在上，，，所以，
③在上，，，所以，
④在上，，，，
综上不等式的解集为，故答案为：
【题型四】奇偶性的综合应用
（1）解不等式
【例12】已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)因为函数，恒成立，所以，则，
此时，所以，解得，所以；
(2)，，是定义在上的增函数，
，得，所以不等式的解集为．
变式12 已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________.
【答案】或
【详解】当时，，由得
或或，解得或
故答案为：或
最值
【例13】设函数，则它的最大值与最小值的和为 .
【答案】0
【详解】因为的定义域关于原点对称，且，
所以是奇函数，不妨设，则，
所以的最大值与最小值的和为0，故答案为：0.
变式13 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】4
【详解】因为，
令，则，
又因为，所以函数为奇函数，
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以在上的最大值和最小值之和为0，即，
所以．
故答案为：4
（3）恒成立（分离参数，带参数求最值）
【例14】已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，则在上也是增函数，
因为不等式对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，
①当时，不恒成立，
②当时，可得，解可得.
即的取值范围是，
【例15】已知是定义在区间上的奇函数且为增函数，，若对所有、恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】对恒成立，，
为定义在上的增函数，，，即对恒成立，
设；①当时，恒成立，满足题意；
②当时，在上单调递减，，解得：；
③当时，在上单调递增，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
变式14 定义在上的函数，且在上是增函数，，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】由题意，对任意，恒成立，即，
由（1），（2）得当时，，
对任意恒成立，
设是关于的一次函数，，要使恒成立，
即,
解得或，所以实数的取值范围是
【例16】函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，.
(1)判断函数在的单调性，并给出证明：
(2)求函数的解析式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)；(3)
【详解】（1）当时，，函数在上单调递增.
证明如下：任取，且， ，
∵，，∴，，
又，∴， ∵，即，∴函数在上单调递增；
（2）因为当时，，所以，当时，，∴，
又因为是定义在实数集R上的奇函数，所以，，
即当时，.所以，函数的解析式为；
（3）∵函数在上单调递增，且，又因为是定义在实数集R上的奇函数，
所以，函数在上单调递增，且时，，
所以，函数在实数集R上单调递增；
那么不等式，即：，
则有，即恒成立，所以，
又当时，，当时，，
所以，实数k的取值范围是.
变式15 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】∵当x≥0时，f（x）＝x2，∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，
当x<0时，f（x）＝x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）＝f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a恒成立，即a≥﹣x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，∴（）max（a+2），即a（a+2），解得a，
即实数a的取值范围是故答案为
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函数的奇偶性
知识点一 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
【奇偶函数判定】①如果或，则函数为偶函数；
②如果或，则函数为奇函数．
【注意】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称。
知识点二 奇偶函数的性质
若奇函数在处有意义，则有；
必为偶函数；同理偶函数必满足。
奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）
若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
奇偶性的运算：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
若，，则必为偶函数，必为奇函数.
【题型一】判断函数的奇偶性
（1）不含参
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数．
【详解】（1）由得x＝±3，∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0，即f(x)＝±f(－x)．
∴f (x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）由得－1（3）由得－2 ≤ x ≤ 2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
此时，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
变式1 判断下列函数的奇偶性，并说理．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
（2）含参
【例2】已知，讨论的奇偶性；
【答案】当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数
【详解】①当时，，则，此时为奇函数；
②当时，，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
变式2 已知函数（，常数）．讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）抽象函数（赋值法，构造出，）
【例3】（多选题）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．在上单调递增
【答案】AC
【详解】由知，当时， ，即，故A正确；
取，则满足条件，
但，且是在上单调递减，故B，D错误；
当时，，即，故C正确.
故选：AC.
变式3（多选题）已知函数的定义域为不恒为0，且，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在定义域内单调
【例4】（多选题）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
【答案】ACD
【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；
由，可得，
，即，可得，故B错误；
令，则，即，
则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，
当时，，即，
设，即，即有，
则在R上递增，故C正确．
故选：ACD．
变式4（多选题）已知函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．是奇函数
【题型二】奇偶性的应用
（1）求函数值
【例5】函数是偶函数，当时，，则________.
【答案】
【详解】因为当时，，所以当时，，所以，
函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.
变式5 函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________.
（2）求解析式
【例6】已知是定义在R上的奇函数，且时，，求的解析式。
【答案】
【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，则
变式6 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， .
【例7】若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【答案】，
【详解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，
解得，.
变式7 设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
（3）求参数
【例8】已知为奇函数，且．求实数、的值．
【答案】，．
【详解】由题意可得，即，解得．再由，解得．
综上可得，，．
变式8 已知函数是定义在上的奇函数，求的值；
【例9】若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
变式9 若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
【题型三】奇偶性的图像
【例10】已知定义在R上的偶函数满足：当时，
(1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间；
(2)求出时的解析式；
(3)由图象写出不等式的解集.
【答案】(1)答案见解析；(2)，(3)或．
【详解】（1）作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图：
（2）时，；
（3）或，由图象得或，
所以不等式的解集为或．
变式10 已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示．
(1)求的值；
(2)补全的图像，并写出不等式的解集．
【例11】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】由偶函数的性质可知，，或，
由奇函数的性质可知，，，
①当，得，
②当，得，
所以不等式的解集为，故答案为：
变式11 已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【题型四】奇偶性的综合应用
（1）解不等式
【例12】已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)因为函数，恒成立，所以，则，
此时，所以，解得，所以；
(2)，，是定义在上的增函数，
，得，所以不等式的解集为．
变式12 已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________.
最值
【例13】设函数，则它的最大值与最小值的和为 .
【答案】0
【详解】因为的定义域关于原点对称，且，
所以是奇函数，不妨设，则，
所以的最大值与最小值的和为0，故答案为：0.
变式13 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
（3）恒成立（分离参数，带参数求最值）
【例14】已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，则在上也是增函数，
因为不等式对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，
①当时，不恒成立，
②当时，可得，解可得.
即的取值范围是，
【例15】已知是定义在区间上的奇函数且为增函数，，若对所有、恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】对恒成立，，
为定义在上的增函数，，，即对恒成立，
设；①当时，恒成立，满足题意；
②当时，在上单调递减，，解得：；
③当时，在上单调递增，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
变式14 定义在上的函数，且在上是增函数，，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【例16】函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，.
(1)判断函数在的单调性，并给出证明：
(2)求函数的解析式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)；(3)
【详解】（1）当时，，函数在上单调递增.
证明如下：任取，且， ，
∵，，∴，，
又，∴， ∵，即，∴函数在上单调递增；
（2）因为当时，，所以，当时，，∴，
又因为是定义在实数集R上的奇函数，所以，，
即当时，.所以，函数的解析式为；
（3）∵函数在上单调递增，且，又因为是定义在实数集R上的奇函数，
所以，函数在上单调递增，且时，，所以，函数在实数集R上单调递增；
那么不等式，即：，
则有，即恒成立，所以，
又当时，，当时，，
所以，实数k的取值范围是.
变式15 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
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