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指数函数的图像及性质
知识点一 指数函数的定义及图像
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
（4）函数①；②；③；④的图象如图1所示，则；
即，(底大幂大)；时，．
图1 图2
例如：函数，，，的图象如图2所示．
【题型一】指数函数的概念及定义域
【例1】函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】令，解得，故定义域为，故答案为：
【例2】若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得对任意恒成立，即，且在内单调递增，
可得，即对任意恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为，故选：B.
变式1 若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
变式2 函数在区间上有意义，求的取值范围.
【题型二】指数型复合函数的值域
（1）指数函数为内函数
【例3】求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
【答案】(1)定义域为，值域为且；(2)定义域为，值域为
【详解】（1）由，得，所以定义域为，则，所以，
所以的值域为且．
（2）由，得，所以定义域为，当时，，又因为，所以，
即的值域为．
（2）指数函数为外函数
【例4】已知函数，求的值域；
【答案】
【详解】，令，则在区间上单调递增，，所以的值域为.
变式3 已知函数，当时，求的值域；
【例5】求函数的值域
【答案】
【详解】因为，且定义域为， 当时，，则，
所以，所以函数的值域为.
变式4 已知函数求的值域;
【题型三】指数函数的图像应用
图像的变换
1.平移变换
:时，右移个单位;时，左移个单位.
:时，上移个单位;时，下移个单位.
2.对称变换
:关于轴对称;
:关于轴对称;
:关于原点对称.
3.翻折变换
:去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边;
:留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去.
【例6】利用函数的图像，做出下列个函数的图像：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
变式5 已知函数在区间上的值域为，则实数的值为 .
图像过定点
【例7】函数（且）的图像经过定点 ；
【答案】
【详解】令，解得，则时，函数，即函数的图像恒过定点.
故答案为：.
变式6 函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
方程有解问题
【例8】已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】方程有解，等价于有解，
也等价于直线，与函数有交点；令
故等价于，容易知其值域为
故.故答案为：.
【例9】若关于的方程有解，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，即有解．
令，则．
因为，当且仅当时，等号成立，所以，解得，故答案为：.
【例10】已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意得：有解，令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
变式7 若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是 ．
变式8 关于的方程在上有解，则的取值范围为 .
【题型四】指数型函数的单调性及应用
比大小：指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
【例11】比较下列各组数的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【详解】（1）因为是增函数，，所以．
（2）因为是减函数，，所以．
（3）因为在上递增，，所以．
（4）因为，，所以.
（5）函数是减函数，则；函数在上递增，则，所以.
变式9 比较下列各题中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），．
解方程
【例12】解下列方程．
（1）；
（3）.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以， 所以方程的解集为 .
（2）因为 ，所以 ， 所以 ，
所以或 ， 所以或， 所以方程 的解集为.
变式10 解下列方程．
；
（2）.
解不等式
【例13】解不等式．
（1）；
（2）（其中且）．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【详解】（1）；令，所以；
所以（舍）或，即，所以，所以不等式的解集为．
（2）分情况讨论：①当时，因为，且在R上严格递增，所以，
即，解得或，
②当时，因为，且在R上严格递减，所以，
即，解得，
综上：当时，；当时，．
变式11 （1）解不等式；
已知，求的取值范围．
求指数型函数的单调区间
【例14】判断函数的单调性，求函数的单调区间．
【详解】函数的定义域为R，设，则．
因为在上单调递减，此时由得．
又指数函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间为．
同理，因为在上单调递增，此时由得．
又指数函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．
【例15】求函数的单调区间．
【答案】在上为增函数，在上为减函数；
【详解】函数的定义域为．
令，对称轴为，在上是减函数，在上是增函数，而在上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，在上为增函数，在上为减函数．
变式12 求函数的单调区间 .
变式13 求函数y＝的单调区间.
已知指数型函数的单调性求参数
【例16】设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数分为外函数：，内函数：；
根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增，
且外函数单调递减，则内函数在也单调递减；
为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以.
故选：A．
【例17】设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ).
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】①若，在上单调递增，
要满足题意，则要在上单调递减，故，即；
②若，在上单调递减，
要满足题意，则要在上单调递增，故，即，不满足
综上所述：的取值范围是，故选：B.
变式14 函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
变式15 已知函数，在区间上单调递减，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】指数型函数的奇偶性
为奇函数，也为奇函数
2. 为偶函数，
【例18】已知f（x）＝是偶函数，则实数a＝（　　）
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为f（x）＝为偶函数，则f（x）－f（－x）＝－＝＝0.
因为x不恒为0，可得ex－e（a－1）x＝0，即ex＝e（a－1）x，则x＝（a－1）x，即1＝a－1，解得a＝2.
变式16 已知函数是偶函数，则实数m的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【例19】已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若在区间上的最小值为，求的值.
【答案】(1)；(2)或；；(3)或．
【详解】（1）函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
由可得，
，即，或，
不等式的解集为或；
（2），
．
令，，，
，
①当时，当时，，则（舍去）；
②当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
变式17 已知函数是奇函数，且.
（1）求的值；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.
【例20】已知函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】.
【详解】函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
变式18设函数，则使得的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型六】指数型分式函数的对称中心
【例】已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，画出函数图像；
拓展一：函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，画出函数图像；
拓展二：函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，画出函数图像；
拓展三：函数，求函数的对称中心；
拓展四：函数，求函数的对称中心；
拓展五：函数，，求函数的对称中心；
横坐标求解：令分母或求解出，即为对称中心的横坐标；
纵坐标求解：若对称中心的横坐标在定义域内，则直接带入函数中求解纵坐标，若不在定义域内，则令及分别带入求出2个函数值，两者的平均数（相加除2）就是对称中心的纵坐标。
【例21】已知是奇函数，则 .
【答案】/
【详解】由函数可知其定义域为，所以.
因为是奇函数，所以，即，解得.
故答案为：
变式19 函数（，且）图象的对称中心是 ．
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指数函数的图像及性质
知识点一 指数函数的定义及图像
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
（4）函数①；②；③；④的图象如图1所示，则；
即，(底大幂大)；时，．
图1 图2
例如：函数，，，的图象如图2所示．
【题型一】指数函数的概念及定义域
【例1】函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】令，解得，故定义域为，故答案为：
【例2】若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得对任意恒成立，即，且在内单调递增，
可得，即对任意恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为，故选：B.
变式1 若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，由，得到，故函数的定义域为，
由，即，得到，所以函数的定义域为，故答案为：.
变式2 函数在区间上有意义，求的取值范围.
【答案】.
【详解】函数在区间上有意义，所以，不等式在区间上恒成立，
∵，∴，∴.记，
∵与是上的减函数，∴函数在上的单调递增.
∴时，恒成立，∴，即的取值范围是.
【题型二】指数型复合函数的值域
（1）指数函数为内函数
【例3】求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
【答案】(1)定义域为，值域为且；(2)定义域为，值域为
【详解】（1）由，得，所以定义域为，则，所以，
所以的值域为且．
（2）由，得，所以定义域为，当时，，又因为，所以，
即的值域为．
（2）指数函数为外函数
【例4】已知函数，求的值域；
【答案】
【详解】，令，则在区间上单调递增，，所以的值域为.
变式3 已知函数，当时，求的值域；
【答案】
【详解】当时，，则，令，
则，所以当时，的值域为；
【例5】求函数的值域
【答案】
【详解】因为，且定义域为， 当时，，则，
所以，所以函数的值域为.
变式4 已知函数求的值域;
【答案】
【详解】，的值域为，
的值域为，的值域为的值域为.
【题型三】指数函数的图像应用
图像的变换
1.平移变换
:时，右移个单位;时，左移个单位.
:时，上移个单位;时，下移个单位.
2.对称变换
:关于轴对称;
:关于轴对称;
:关于原点对称.
3.翻折变换
:去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边;
:留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去.
【例6】利用函数的图像，做出下列个函数的图像：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
变式5 已知函数在区间上的值域为，则实数的值为 .
【答案】3
【详解】作出函数的图象如图，函数在上单减，
在上为增函数，又，，，
若函数在区间上的值域为，则实数.
故答案为：3.
图像过定点
【例7】函数（且）的图像经过定点 ；
【答案】
【详解】令，解得，则时，函数，即函数的图像恒过定点.
故答案为：.
变式6 函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
【答案】
【详解】由函数（且），令，解得，则，所以函数恒经过定点.
故答案为：.
方程有解问题
【例8】已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】方程有解，等价于有解，
也等价于直线，与函数有交点；令
故等价于，容易知其值域为
故.故答案为：.
【例9】若关于的方程有解，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，即有解．
令，则．
因为，当且仅当时，等号成立，所以，解得，故答案为：.
【例10】已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意得：有解，令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
变式7 若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由得，令，则，
∵，∴，∴当时，取得最大值1，当时，取得最小值0，
∴，故答案为：．
变式8 关于的方程在上有解，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】设，∵，∴，
∴方程在上有解，
，
∵，∴，∴．
故答案为．
【题型四】指数型函数的单调性及应用
比大小
【例11】比较下列各组数的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【详解】（1）因为是增函数，，所以．
（2）因为是减函数，，所以．
（3）因为在上递增，，所以．
（4）因为，，所以.
（5）函数是减函数，则；函数在上递增，则，所以.
变式9 比较下列各题中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为函数是上的减函数，而.
（2）因为函数是上的减函数，而.
（3）因为，，所以.
解方程
【例12】解下列方程．
（1）；
（3）.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以， 所以方程的解集为 .
（2）因为 ，所以 ， 所以 ，
所以或 ， 所以或， 所以方程 的解集为.
变式10 解下列方程．
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由得，所以，解得，所以原方程的解集为.
（2）由得，得，得，解得.
所以原方程的解集为
解不等式
【例13】解不等式．
(1)；
(2)（其中且）．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【详解】（1）；令，所以；
所以（舍）或，即，所以，所以不等式的解集为．
（2）分情况讨论：①当时，因为，且在R上严格递增，所以，
即，解得或，
②当时，因为，且在R上严格递减，所以，
即，解得，
综上：当时，；当时，．
变式11 （1）解不等式；
（2）已知，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【详解】（1）因为，∴原不等式可以转化为，
因为在上是减函数，所以，所以，
（2）分情况讨论：①当时，函数在上是减函数，
所以有，即，解得或；
②当时，函数在上是增函数，所以，即，解得；
综上所述，当时，或；当时，.
求指数型函数的单调区间
【例14】判断函数的单调性，求函数的单调区间．
【答案】答案见解析
【详解】函数的定义域为R，设，则．
因为在上单调递减，此时由得．
又指数函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间为．
同理，因为在上单调递增，此时由得．
又指数函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．
【例15】求函数的单调区间．
【答案】在上为增函数，在上为减函数；
【详解】函数的定义域为．
令，对称轴为，在上是减函数，在上是增函数，而在上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，在上为增函数，在上为减函数．
变式12 求函数的单调区间 .
【答案】增区间为，减区间为
【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.
令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，
所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
变式13 求函数y＝单调区间.
【答案】增区间为，减区间为
【详解】令t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈时，t单调递增；
当x∈时，t单调递减.而函数y＝t是减函数，
由复合函数的单调性知函数y＝在上单调递减，在上单调递增.
所以函数y＝的减区间为，增区间为.
已知指数型函数的单调性求参数
【例16】设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数分为外函数：，内函数：；
根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增，
且外函数单调递减，则内函数在也单调递减；
为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以.
故选：A．
【例17】设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ).
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】①若，在上单调递增，
要满足题意，则要在上单调递减，故，即；
②若，在上单调递减，
要满足题意，则要在上单调递增，故，即，不满足
综上所述：的取值范围是，故选：B.
变式14 函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：函数由和复合而成，
由于是单调递增，函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减.
①当时，不符合题意；
②当时，单调递减，满足题意；
③当时，开口向下，对称轴为，故需要满足，显然成立，满足题意，
综上：，故答案为：.
变式15 已知函数，在区间上单调递减，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，函数，令，由正实数知，函数单调递减，
因为在区间上单调递减，则单调递增且，
所以，解得：，故的取值范围是故选：C.
【题型五】指数型函数的奇偶性
为奇函数，也为奇函数
2. 为偶函数，
【例18】已知f（x）＝是偶函数，则实数a＝（　　）
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为f（x）＝为偶函数，则f（x）－f（－x）＝－＝＝0.
因为x不恒为0，可得ex－e（a－1）x＝0，即ex＝e（a－1）x，则x＝（a－1）x，即1＝a－1，解得a＝2.
变式16 已知函数是偶函数，则实数m的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
由函数是偶函数，得，即，
而，则，解得，所以实数m的值是.
故选：D
【例19】已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若在区间上的最小值为，求的值.
【答案】(1)；(2)或；；(3)或．
【详解】（1）函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
由可得，
，即，或，
不等式的解集为或；
（2），
．
令，，，
，
①当时，当时，，则（舍去）；
②当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
变式17 已知函数是奇函数，且.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，；(2)
【详解】（1）是奇函数，
经检验当时，是奇函数符合题意，
又或（舍），；
（2），即，
又，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
.
【例20】已知函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】.
【详解】函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
变式18 设函数，则使得的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】的定义域为，，
为偶函数，且当时，单调递增，
由可得，
再由单调性可得，，即，化简可得，解得.
故选：C
【题型六】指数型分式函数的对称中心
【例】已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，画出函数图像；
拓展一：函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，画出函数图像；
拓展二：函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性；（3）若，画出函数图像；
拓展三：函数，求函数的对称中心；
拓展四：函数，求函数的对称中心；
拓展五：函数，，求函数的对称中心；
横坐标求解：令分母或求解出，即为对称中心的横坐标；
纵坐标求解：若对称中心的横坐标在定义域内，则直接带入函数中求解纵坐标，若不在定义域内，则令及分别带入求出2个函数值，两者的平均数（相加除2）就是对称中心的纵坐标。
【例21】已知是奇函数，则 .
【答案】/
【详解】由函数可知其定义域为，所以.
因为是奇函数，所以，即，解得.
故答案为：
变式19 函数（，且）图象的对称中心是 ．
【答案】
【详解】．设（，且），
因为，，所以是奇函数，其图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，从而的图象关于点对称；
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