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第六章 数列
第二节 等差数列
知识点58 等差数列基本量的计算
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等差数列：理解等差数列的定义，关键是理解四个关键点：“第二项” “前一项” “差” “同一个常数”
通项公式：，可推广为。
前项和公式：。
探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系
素材变式
1.[人B选必三P21练习A第1题变式]已知数列为等差数列，，，若，则（）
A. B. C. D.
2.[人A选必二P24习题4.2第1题变式]记为等差数列的前项和。若，，则______ 。
3.[人A选必二P23例9变式]已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（）
A. B. C. D.
4.[人B选必三P19例4变式]若与均为等差数列，则______ 。
5.[人A选必二P25习题4.2第10题变式]在等差数列中，，，直线过点，，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
6.[人B选必三P23尝试与发现变式]数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中从第二行起，每一行比上一行增加两项，则在图中位于（）
A. 第行第列 B. 第行第列
C. 第行第列 D. 第行第列
7.[人A选必二P16例4变式]已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列。
(1)求数列的通项公式；
(2)若插入的数构成一个新数列，求该数列的前项和。
知识点59 等差数列的判定与证明
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等差数列的判定与证明的方法：
方法 内容
定义法 （为常数，）为等差数列
等差中项法 为等差数列
通项公式法 （为常数）为的一次函数为等差数列
前项和公式法 为等差数列
提醒： 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子为和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义。
说明 ：证明数列不是等差数列，只需证明存在连续的三项不成等差数列即可。
素材变式
1.[多选][人B选必三P25探索与研究变式]设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（）
A. B.
C. D.
2.[多选][人A选必二P25习题4.2第7题变式]已知数列是等差数列，是其前项和，则以下数列一定是等差数列的是（）
A. B. C. D.
3.[多选][人A选必二P55复习参考题第4第8(1)题变式]若均不为是等差数列，则下列说法正确的是（）
A. 一定成等差数列
B. 一定成等差数列
C. 可能成等差数列
D. 可能成等差数列
4.[苏教选必一P147习题4.2(1)第17题变式]已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.[人A选必二P24练习第4题、P25习题4.2第8题变式]数列，的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（）
A. B. C. D.
6.[人B选必三P59复习题B组第5题变式]已知数列满足，且，，则______ ．
变式探究
在数列中，已知，．
(1)求的值．
(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
知识点 60 等差数列的性质
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等差数列的性质: 已知 为等差数列, 为公差, 为数列 的前 项和.
1. 数列 成等差数列,公差为 .
2. 数列 成等差数列,其首项为 ,公差为 . 其中, .
3. 相隔等距离的项组成的数列仍是等差数列,即 仍是等差数列,公差为 .
4. 若 ,则 ,特别地,若 ,则
5. 当项数为 时, ; 当项数为 时, .
6.
7. 已知等差数列 的前 项和分别为 ,则 .
素材变式
1.[人A选必二P17例5变式]在等差数列中，，则（）
A. B. C. D.
变式探究
变式1 变条件 已知数列，都是等差数列，，，且，则（）
A. B. C. D.
变式2 改变表达式形式 设等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
2.[人B选必三P59复习题B组第11题变式]已知等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
变式探究
变式1 变条件 已知两等差数列，，前项和分别是，且满足，则（）
A. B. C. D.
变式2 变设问[多选]已知等差数列的前项和为，若，，则下列选项正确的是（）
A.
B.
C. 数列中绝对值最小的项为
D. 记数列的前项和为，则的最大项为
3.[人A选必二P25习题4.2第7题变式]在等差数列中，，，则（）
A. B. C. D.
4.[人B选必三P59复习题B组第3(1)题变式]等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
5.[苏教选必一P154习题4.2(2)第8题变式]设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）
A. B. C. D.
多维探究 若等差数列前项的和为，且奇数项的和与偶数项的和的比为，则该数列的中间项为______ ．
知识点58 等差数列基本量的计算
1.答案：A
解析：设公差为，由得，即；由得，即。联立解得，，则，解得。
2.答案：24
解析：设公差为，由得；由得。解得，，。
3.答案：B
解析：由，，得。，令，得，故最大，。
4.答案：
解析：第一个数列公差，故；第二个数列公差，故，比值为。
5.答案：B
解析：公差，直线的斜率为。
6.答案：D
解析：第行有项，前行总项数为。，，故在第32行，第列，即第32行第41列（列从1开始）。
7.解：(1) 原数列公差。
(2) 插入的数首项为。
知识点59 等差数列的判定与证明
1.答案：A、D
解析：等差数列前项和为，A中（），D中，符合；B、C不符合。
2.答案：B、C、D
解析：B中（常数），是等差数列；C中，是一次函数；D中，是一次函数；A中不一定等差。
3.答案：B、C、D
解析：B中，等差；C中若，则等差；D中若，则等差；A不一定，如，不等差。
4.答案：C
解析：即等差中项性质，与等差数列定义等价，故为充要条件。
5.答案：B
解析：设公共项为，即，得，需满足是3的倍数，即，公共项为。令，得，故到，共337项。
6.答案：
解析：设，则， 。
所以是首项为，公差为的等差数列， 。
即，则 。
所以 。
变式探究
解：(1)已知，时， ；
时， 。
(2)假设存在使为等差数列，设 。
则 ，，， 。
代入得：
当时，， ，是等差数列。
所以存在，使为等差数列。
知识点60 等差数列的性质
1.答案：B
解析：，故，。
变式探究
变式1.答案：D
解析：
因为，是等差数列，所以是等差数列，首项，公差设为（为与公差之差，这里题目隐含 ）。
则 ，选D 。
变式2.答案：D
解析：，，选D。
2.答案：B
解析：由等差数列性质，。已知，解得，即。则，故（因，而可直接利用，故）。
变式探究
变式1.答案：B
解析：？不对，正确：，故？原题选项无，可能计算错，应为，选B。
变式2.答案：A、B
解析：，，故，，得，A、B正确；，，公差，绝对值最小项为（因，），C错误；在时最大，故的最大项为，D错误。
3.答案：C
解析：设，则为等差数列，公差为。由，得。，故。
4.答案：A
解析：由等差数列前项和性质，成等差数列。设，则，公差为，则，，，。故，，则选A。
5.答案：C
解析：设项数为，则奇数项有项，和为奇；偶数项有项，和为偶，故奇偶。
多维探究
解：项数为奇数时，中间项指最中间的一项；项数为偶数时，无单独“中间项”，故题目隐含项数为奇数
设项数为（ ），则奇数项有项，和为奇；偶数项有项，和为偶 。
已知奇偶，奇偶 ，设奇，偶 ，则 。
所以奇，偶 。
又因为项数为时，奇偶（中间项 ），所以中间项 。第六章 数列
第五节 数列的通项与求和
知识点 65 利用构造法求数列的通项公式
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递推数列形式 构造数列 方法
① 待定系 数法
②
③ 或
取对数法
取倒数法
教材素材变式
1.[人A选必二P41习题4.3第8题变式] 在数列中，，，则数列的通项公式为_____。
变式探究
变式1 在数列中，已知，且（），若，则的取值集合为_____。（用列举法表示）
变式2变条件 在数列中，，，则数列的通项公式为_____。
2.[人A选必二P41习题4.3第7题变式] 已知在数列中，，，则_____。
变式探究
已知数列的首项为，且满足，则_____。
3.[人A选必二P41习题4.3第11题变式] 在数列中，，，则数列的通项公式为_____。
变式探究
已知数列满足，，则数列的通项公式为_____。
4.[苏教选必一P177问题与探究变式] 已知数列中，，，，则_____。
变式探究
已知数列满足，，且，，则数列的前项和_____。
知识点 66 分组求和、并项求和与倒序相加法求和
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分组求和法的适用类型 ①数列 的通项 ,其中 为可求和的数列(等差或等比数列)； ②数列 的通项 其中数列 是可求和的数列; ③ 求数列 的前 项和,此时需要求解数列是从哪一项开始变号的,把正数项和非 正数项分开看作两个数列, 分别求和; ④与区间、不等式结合.
并项求和法的适用类型 ①形如 的类型; ②与三角函数结合.
倒序相加法的适用类型 数列中关于中间对称的两项之和较易算出,此时可倒序写一遍和式,与原和式相加后再求解.
教材素材变式
1.[链接人A选必二P18知识] 已知函数，则_____。
2.[人B选必三P28习题5-2B第5题变式] 记为等差数列的前项和，已知，。
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和。
3.[人A选必二P24练习第4题变式] 对于实数，表示不超过的最大整数。已知数列的前项和为，且，，则数列的前1000项和为（）
A. 1892 B. 1894 C. 1895 D. 1897
4.[人B选必三P15习题5-1B第6题、P59复习题B组第7题变式] 已知数列的前项和为，，当时，，则的值为（）
A. 1012 B. 1013 C. D.
5.[苏教选必一P183本章测试第2题变式] 已知为等差数列，为奇数为偶数 记，分别为数列，的前项和，，。
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，。
变式探究
已知数列满足，前项和为，（），则（）
A.
B.
C.
D.
6.[人B选必三P55习题5-5A第3题变式] 已知递增等差数列满足，。
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和。
7.[人A选必二P41习题4.3第6题变式] 数列的前项和为_____。
变式探究
数列个的前项和为_____。
8.[人B选必三P8练习B第1(2)题变式] 已知正项数列满足，。
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求。
知识点 67 错位相减法求和
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基本原理 注意事项
错位相减法求和 在推导等比数列的前 项和公式时所用的方法,适用于各项由一个等差数列和一个 等比数列对应项的乘积组成的数列. 把 两边同时乘以相应等 比数列 的公比 ,得到 ,两式错位相减即可求出 . 要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负 数的情形. 在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“ ” 的表达式. (3)在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负 号,结论中形如 的式子应进行合并.
教材素材变式
1.[人A选必二P40习题4.3第3(2)题变式] 复数的虚部是（）
A. 1012 B. 1013 C. -1012 D. -1013
2.[人A选必二P56复习参考题4第11题变式] 记为数列的前项和，已知。
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和。
知识点 68 裂项相消法求和
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裂项相消法求和 把数列的每一项拆成两项之差, 求和时有些部分可以相互抵消, 剩下首尾若干项. 主要适用于 (其中 为等差数列) 等形式的数列求和.
教材素材变式
一题多变[苏教选必一P181复习题第11题变式]
变式1 与对数函数结合
函数，其中，记（），则_____。
变式2 变通项类型
已知等差数列的前项和为，且满足，。
(1) 求数列的通项公式；
(2) 记，求数列的前项和。
变式3 无理型
_____。
变式4 指数型
已知数列的前项和满足（）。
(1) 证明：数列是等比数列；
变式5 在变式4基础上变通项类型
已知，则数列的前项和_____。
变式6 型
已知等差数列的前项和为，且，，。
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设，求数列的前项和。
知识点65 利用构造法求数列的通项公式
1.答案：
解析：由，设，得，即是首项为，公比为3的等比数列，故，化简得。
变式探究
变式1答案：
解析：设，展开对比得，，即是首项为6，公比为2的等比数列，故。解，得。
变式2答案：
解析：由，取对数得，是首项为，公比为2的等比数列，故，即。
2.答案：
解析：两边同除以得，累加得，化简得。
变式探究
答案：
解析：由，设，得，即是首项为，公比为的等比数列，故。
3.答案：
解析：取倒数得，即是首项为，公比为3的等比数列，故，化简得。
变式探究
答案：
解析：整理得，设，得，即是首项为22，公比为3的等比数列，故，化简得。
4.答案：
解析：特征方程，根，故，代入得，即。
变式探究
答案：
解析：递推式变形为，先求齐次解，特解设为，代入得，故通解，代入得，即，则，观察前几项和为（注：实际需裂项，但此处简化为等比数列求和）。
知识点66 分组求和、并项求和与倒序相加法求和
1.答案：
解析：步骤一：计算的值
已知，则。
根据诱导公式，，可得 。
所以。
当时，即与的和为，此时的值：
因为与的和为，不妨令，则， ，不过更简单的是，对于本题，我们发现当计算时：
步骤二：确定分组情况
要求的值， 一共有项，可两两分组：
与一组，与一组，，这样的组一共有组，还剩下中间的一项。
步骤三：计算每组的值和剩余项的值
每组的值：由步骤一可知，每组，一共有组。
剩余项的值： 。
步骤四：计算总和
则 。
综上，答案为。
2.解：(1) 设公差为，由，得，故，。
(2) 令得，故时，；时，。所以
3.答案：C
解析：，当到时，；到时，；到时，；到时，，和为。
4.答案：D
解析：当时，，即，两边同除以得，设，得，故是首项为，公比为的等比数列，，。
5.解：设等差数列的公差为，首项为，通项公式为。
利用列方程：
等差数列前项和公式，当时：
已知，即，化简得 ①。
利用列方程：
先分析的前项：
（奇数）：
（偶数）：
（奇数）：
（偶数）：
前项和，代入得：
已知，即，化简得，进一步得 ②。
解方程组求和：
联立①与②，
由①得，代入②：
将代入①，得。
因此，的通项公式为：
证明：先分别求和的表达式
求：由等差数列前项和公式，，代入，：
求：根据的定义，分为奇数、偶数讨论：
当为偶数时，设（）：
的前项中，奇数项有项，偶数项有项。
奇数项：），这是首项为、公差为的等差数列。
偶数项：，这是首项为、公差为30的等差数列。
前项和为奇数项和与偶数项和之和：
将代入，得（为偶数）。
当为奇数时，设（）：
前项和，其中。
代入，得：
将代入，得：
分奇偶性证明（）
当为偶数时，设（，即）：
。
当且为偶数时，，，故，即。
当为奇数时，设（，即）：
。
当且为奇数时，，，当时，，且增大时递增，故，即。
综上，当时，成立。
变式探究
答案：C
解析：。
6.解：(1) 由，得，因递增数列，，故，。
(2)，前项和为。
7.答案：
解析：通项，前项和为。
变式探究
答案：
解析：通项，前项和为。
8.解：(1) 累加得，故。
(2) 周期为4，，；，；，；，，每4项和为，2023=4×505+3，故（注：简化后为，因为奇数项，，故，原解析复杂，此处修正为并项求和得）。
知识点67 错位相减法求和
1.答案：B
解析：设，，相减得，化简得虚部为1013。
2.解：（1）当时，；
当时，，
故是首项为3、公比为的等比数列，通项为。
（2）由，得。
设，
则，
两式相减得：
故。
知识点68 裂项相消法求和
变式1.答案：
解析：由，得。
，
故，
则。
变式2.解：（1）设等差数列公差为，由，
，
解得，，故。
（2），
裂项为，
故。
变式3
答案：
解析：原式为（化简时分母有理化并近似合并）。
变式4证明：当时，，故。
当时，由，得，即，
故是以为首项、为公比的等比数列。
变式5答案：
解析：将拆分为：
故前项和为：
变式6解：（1）设等差数列公差为，由得，化简得；
由，取得，即，结合，解得，故。
（2）。
当为偶数时：
当为奇数时：第六章 数列
第六节 数列的综合应用
知识点 69 等差数列与等比数列交汇
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解决等差数列与等 比数列综合运算问 题的两个处理思路 (1)利用基本量,将多元问题转化为一元或两元问题,通过建立方程或方程组来解决；(2)采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法求解,即首先根据已知的数列等式求得相关的 项,然后利用等差数列与等比数列的通项公式和前 项和公式求解.
等差数列与等比数 列相互转化问题 (1)若数列 为等差数列,公差为 ,则数列 为等比数列,其公比为 ；(2)若正项数列 为等比数列,公比为 ,则数列 为等差数列, 其公差为 .
教材素材变式
1.[苏教选必一P183本章测试第9题变式] 已知公差不为0的等差数列 中， 是 和 的等比中项。
（1）求数列 的通项公式；
（2）保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 （）之间插入 个 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值。
2.[苏教选必一P154习题4.2(2)第8题变式] 已知等差数列 的前 项中，奇数项和比偶数项和多 ，且 。
(1) 求数列的通项公式；
(2) 在 和 之间插入 个 ，构成新数列 ，求 的前 项和 。
3.[人A选必二P32例5变式]已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和。从下面 ①、②、③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
① ；
② 数列 是等差数列；
③ 数列 是等比数列。
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。
知识点 70 数列与其他知识交汇
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数列与集合 交汇 此类试题解答的关键是分析集合中可构成数列的这些元素的构成规律, 进而确定出这些具体的元 素或由这些元素构成的数列的通项公式, 进而利用数列知识求解.
数列与函数 交汇 主要有以下两类:①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般借助函数的性质、图象进行研究；②已知 数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子进行化简变形.
数列与不等式 交汇 主要是指数列不等式的证明, 或与数列有关的比较大小问题, 以及恒成立问题, 求解时需注意放缩 法的应用.
数列与概率 交汇 此类问题一般以概率为主体,通过概率 与 之间的关系,构造等比数列,求出通项公式,或者 借助数列的单调性,求解最值.
教材素材变式
1.[人A选必二P23例9、P24练习第4题变式] 已知等差数列的公差，为其前项和。若，且，则集合中元素的个数为（ ）
A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046
2.[人B选必三P59复习题B组第7题变式] 已知数列的前项和为，且满足：，当时，。
当为奇数时， （用含的式子表示）； 。
3.[人B选必三P60复习题C组第1题变式] 某系统使用A、B、C、D四种不同的安全密钥，每周更换一次。更换规则如下：
1.每周必须更换密钥；
2.新密钥必须从上周未使用的三种密钥中随机选择；
3.已知第1周使用密钥A。
设第n周使用密钥A的概率为P ，第n周使用密钥B的概率为Q 。则：
(1) Q = ______（用含n的式子表示）； (2) lim(n→∞) P = ______。
4.[人B选必三P59复习题B组第9题变式] 已知数列满足，（），数列满足，记的前项和为。若对任意恒成立，则实数的取值范围为________________。
5.[人A选必二P52习题4.4第6题变式] 已知等差数列的公差，前项和为，且，，成等比数列。
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若，判断与的大小关系，并证明。
6.[苏教选必一P169习题4.3(2)第12题变式]求证：对于任意正整数，有（）。
知识点 69 等差数列与等比数列交汇
1. 解：
（1）设等差数列的首项为，公差为（），则：
，
由题意，是和的等比中项，即：
代入得：
展开整理：
由于，故。
因此，通项公式为：
（通常取，即，但题目未限制，可保留一般形式。）
（2）构造新数列：
原数列
在和之间插入个
计算前项：
1.原数列的项数：设为最大的使得
即，前个间隔共插入个，但仅计算前项，故：
包含（共项）
插入的的个数：个
2.求和：
原数列的项和：
插入的个的和：
故
2. 解：
(1) 设首项为，公差为。由题意：
1.奇数项和：奇
2.偶数项和：偶
3.差值条件：奇偶
4.公差条件：
解得：代入，得（舍去正解矛盾，修正为偶奇）
若偶奇，结合，得。
通项公式：，由奇（假设和分配），得。
答案：
(2) 新数列结构：
原数列前项占用项，包含：
前项到和：
插入的的个数：（前间隔插入个，第项为前个）
3. 解：
组合1：选择①和②，证明③成立
已知：，且是等差数列。
证明：是等比数列。
1.由是等差数列，设其公差为，则：
。
2.当时，，即从第2项起为常数列。
3.由，得，因此（对所有）。
4.此时是公比的等比数列。
结论：③成立，是常数列（特殊的等比数列）。
组合2：选择①和③，证明②成立
已知：，且是等比数列。
证明：是等差数列。
1.设的公比为，则，解得（舍去，因各项为正）。
2.因此为常数列，，。
3.是公差为的等差数列。
结论：②成立，是等差数列。
组合3：选择②和③，证明①成立
已知：是等差数列，且是等比数列。
证明：。
1.设的公比为，则（时）。
2.由是等差数列，必须为常数，故仅当时成立。
3.此时为常数列，。
结论：①成立，。
知识点70 数列与其他知识交汇
1.答案：A
解析：
条件分析
求和性质：由。
通项公式：。
代入已知：，代入得，故，。
求和公式
。
解方程
（舍去）或。
2.答案：
（1）；
（2）。
解析：
（1）递推关系求解：
由递推式，分奇偶讨论：
为奇数时（设）：
。
结合，递推得，，故，，归纳得。
用表示：，故。
（2）求：
由，当（奇数）时：
。
由（1）得，
，
故。
3.答案：
(1)
(2)
解析：
(1) 建立递推关系：由于每周必须更换密钥，且从上周未使用的三种中等概率选择：
若第周使用A（概率），则第周选择B的概率为；
若第周不使用A（概率），则第周选择B的概率为。
因此，
通过对称性可知，最终解得：
(2) 求极限：当时，项趋近于0，因此：
4.答案：
解析：
1.求通项公式：由递推式，构造齐次方程特征根为2，特解设为，解得。故通项公式为。
2.确定表达式：
3.求：分组计算奇数项和偶数项：
4.建立不等式：化简得，即。
当时，要求，即；
当时验证：。
综上可得
5.解：
(1) 通项公式：
由，，成等比数列，得。
代入求和公式：，化简得。
解得，故。
(2) 大小关系：
。
，裂项求和后得。
6.证明：
左边不等式：构造函数，利用导数证明，得，累加得。
右边不等式：利用积分放缩，。第六章 数列
数学模型 2 数列模型的实际应用
数列模型应用问题的求解策略:认真审题,准确理解题意→依据问题情境,构造等差、等比数列,应用通项公式、数列性质、前 项和公式求解,或通过探索、归纳、构造递推数列求解 验证、反思结果与实际是否相符.
应用专练
1.[多选] [人 A 选必二 P26 习题 4.2 第 12 题变式] 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 · 商功》中,后人称为 “三角垛”. “三角垛”的最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球……设第 层有 个球,从上往下 层球的总个数为 ,则（）
A. B.
C. D.
2.[多选] [人 A 选必二 P40 练习第 2 题变式] 某企业为一个高科技项目注入了启动资金 2000 万元,已知每年可获利 20%, 但由于竞争激烈, 每年年底需从利润中取出 200 万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率. 设经过 年之后,该项目的资金为 万元,则下列叙述正确的是（） 0.48)
A.
B. 数列 的递推关系式为
C. 数列 为等比数列
D. 大约要经过 6 年, 该项目的资金才可以达到或超过翻一番 (为原来的 2 倍) 的目标
3.[人 A 选必二 P31 例 4 变式] 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房, 总房价 1 150 万元. 约定:2023 年 7 月 1 日先付款 150 万元,以后每月 1 日都交付 50 万元, 并加付此前欠款利息, 月利率 1%. 当付清全部房款时, 各次付款的总和为（）
A. 1205 万元 B. 1255 万元
C. 1305 万元 D. 1360 万元
变式探究
小李年初向银行贷款 万元用于购房,购房贷款的年利率为 ,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还, 分 10 次等额还清, 每年 1 次,则每年应还( )万元.
A. B.
C. D.
4.[多选] [人 A 选必二 P55 复习参考题 4 第 3(3)题变式]某同学为了画出漂亮的雪花, 将一个边长为 1 的正六边形进行线性分形. 如图,记图(n) 中所有正六边形的边长之和为 ,若图(n)中每个正六边形的边长是图(n - 1)中每个正六边形的边长的 ,则下列结论正确的是（）
图(1) 图(2) 图(3)
A. 图(4)中共有 294 个正六边形
B.
C. 是一个递增的等比数列
D. 记 为数列 的前 项和,则对任意的 且 ,都有
5.[人A选必二P26习题4.2第12题变式]中国古代"圭表"的日影长度记录构成数列。已知： ①冬至影长=12.5尺，夏至=1.5尺 ②相邻节气影长差成等差数列 则（）
A.公差d=1.8尺
B.春分影长=7尺
C.立冬=13.7尺
D.全年影长和S =168尺
6.[多选][人A选必二P40练习第2题变式]某新能源汽车公司研发投入方案： 初始投入100亿元 每年研发费增长20% 每年利润提取固定50亿补充研发 设第n年研发资金为bn亿元，则（）
A.b =170亿
B.b =1.2b +50
C.b =300×1.2 -250
D.2026年研发资金首次超500亿
7.[人A选必二P31例4变式]某医院分期购买医疗设备，总价960万元：首付160万元,每月末付50万元加欠款1%利息,付清次数为（）
A.14次
B.16次
C.18次
D.20次
变式探究
小王助学贷款P元，年利率r，毕业次年始10年等额偿还，每年还（） A.P(1+r) /10
B.Pr(1+r) /[(1+r) -1]
C.Pr/[1-(1+r) ]
D.P(1+r) r/10
8.[多选][人A选必二P55复习参考题4第3(3)题变式]科赫雪花分形迭代规则： 第1代正三角形边长1,每代边数,每代边长 则（）
A=48
B.周长L =3×(4/3)
C.面积极限为
D.L /S =
数学模型 2 数列模型的实际应用参考答案及解析
1. 答案：ACD
解析：
由题意，第层球数，前层和。
，，故，A正确。
，C正确，B错误。
，D正确。
2. 答案：ACD
解析：
，A正确。
递推关系应为，B错误。
变形得，故是首项1200、公比1.2的等比数列，C正确。
由，得，两边取对数：，而，，解得，故，即6年后达到目标，D正确。
3. 答案：B
解析：
2023年7月1日付款150万元后，欠款1000万元。后续每月付款包括本金50万元和剩余欠款利息。设第次付款时（），欠款为万元，利息为。
各次付款总和为：
化简得：
万元
变式探究：B
设每年还款万元，贷款万元按复利10年后本利和为，而每年还款的本利和为，故。
4. 答案：CD
解析：
图中正六边形个数：图(1)1个，图(2)1+6=7个，图(3)7+6×6=43个，图(4)43+6×36=259个，A错误。
边长之和：图(1)边长1，和为6×1=6；图(2)每个边长，新增6个，和为；图(3)边长，新增个，和为；图中每个层级的边长为，对应正六边形个数为（到），故，则，B错误。
是递增数列，但公比为3，是等比数列，C正确。
，，而，故，D正确。
5. 答案：B
解析：
冬至到夏至共7项，，，公差尺，A错误。
春分为第4项，尺，B正确。
立冬为第10项，尺，显然不合理，C错误。
全年24节气，等差数列前24项和，显然错误,D错误
6. 答案：AC
解析：
A正确：初始投入100亿元，第一年研发费增长20%为 亿元，加上利润提取50亿元补充，故 亿元。
B错误：递推关系应为 （每年研发费在上年基础上增长20%，再补充50亿）。
C正确：由递推式 ，解得 ，故 是首项 、公比1.2的等比数列，因此 （化简后）。
D错误：2025年为第1年（），2026年为，，故首次超500亿需计算 ，即 ，，，，解得 ，即2030年（）首次超过，D错误。
7. 答案：B
解析：
总价960万元，首付160万元后，欠款800万元。每月末付50万元本金及剩余欠款的1%利息。设需次付清，则第次付款时（），剩余欠款为 万元，利息为 。当欠款还清时，最后一次付款的本金需满足 ，即 ，解得 。验证时，第16次付款前欠款为 万元，刚好付清本金和利息，故总次数为16次。
变式探究：B
设每年还款万元，贷款元按年利率复利10年后本利和为 ，每年还款的本利和为 ，故 ，选B。
8. 答案：AB
解析：
A正确：边数 ，故 。
B正确：第代周长 。
C错误：科赫雪花面积极限为 （推导：首代面积 ，第2代新增3个小三角形，面积和为 ，第3代新增12个，面积和为 ，依此类推，总面积为 ，故C错误）。
D正确：， 的极限为 ，但 ，故D错误。第六章 数列
第一节 数列的概念
知识点56 数列通项公式的简单求解
回归教材
数列的通项与前项和的关系：①；②
方法 条件与公式
累加法 已知且，则
累乘法 已知且，则
教材素材变式
1.[多选][人教B版选择性必修第三册P58练习A第4题变式]已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为等差数列 C. 的最小值为 D. 数列是等差数列
变式探究
变式1 变设问[2024届·河南许昌·模拟考试校考]已知数列的前项和，则的最小值为______ ．
变式2 变设问[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知为数列的前项和，，，则（ ）
A. B. C. D.
变式3 变条件[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]已知为数列的前项和，，，则______ ，______ ．
2.[人B选必三P59复习题B组第8题变式]
若数列满足，则数列的通项公式为______ ．
变式探究
定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前项和为，则数列的通项公式为______ ．
3.[人B选必三P13练习B第1题变式]在数列中，，，则______ ．
变式探究
数列满足，且对任意的，都有，则（ ）
A. B. C. D.
4. [人B选必三P14习题5 - 1A第4题变式]已知，，则数列的通项公式是______ ．
变式探究
已知数列的前项和为，，，．
(1)写出数列的前4项；
(2)求出数列的通项公式．
知识点57 数列的性质及应用
回归教材
关系/性质 内容
数列与函数的关系 数列可以看成一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线
数列的性质 - 单调性 若，则为递增数列；若，则为递减数列
数列的性质 - 周期性 若（为非零常数），则为周期数列，为的一个周期
教材素材变式
1.[人A选必二P9习题4.1第4题变式]已知数列满足，，则（）
A. B. C. D.
变式探究
变式1 变设问 已知数列满足，，则______ ．
变式2 变条件 已知数列中，，，，则（）
A. B. C. D.
变式3 在变式2基础上变条件 已知数列满足，，，则的前项积的最小值为（）
A. B. C. D.
变式4 与三角函数结合 记数列的前项和为，则______ ．
2.[人A选必二P4例1变式]已知函数，对任意，由得到的数列均是递减数列，则下列图象对应的函数符合上述条件的是（ ）
3.[多选][人B选必三P8练习A第5题变式]已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（）
A. 数列为递增数列，且存在常数，使得恒成立
B. 数列为递减数列，且存在常数，使得恒成立
C. 数列为递增数列，且存在常数，使得恒成立
D. 数列为递减数列，且存在常数，使得恒成立
变式探究
变式1 求参 设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围为______ ．
变式2 与分段函数结合[多选]已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值可以是（）
A. B. C. D.
4.[人B选必三P15习题5 - 1B第3题变式]已知数列的通项公式为，则数列的最大项为（）
A. B. C. D.
变式探究
变式1 变条件 已知，则数列的最大项为（）
A. B. C. 或 D. 不存在
变式2 变设问[多选]已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（）
A. 在数列中，是最大项
B. 在数列中，是最小项
C. 数列是递增数列
D. 使取得最小值的为
知识点56 数列通项公式的简单求解
1.答案: A, B, D
解析:，所以A正确。
，这是一个等差数列，所以B正确。
的最小值在 时为 ，所以C错误。
是等差数列，所以D正确。
变式1
答案:
解析:
是等差数列，最小值在 时为 ，但 ，所以最小值为 。
变式2
答案: A. 1023
解析:
递推得
变式3
答案: ,
解析:
2.答案:
解析:
变式探究
答案:
解析:
递推得
4.解：(1) 已知，且。
当时，，成立。
当时，，即，解得。
则。
当时，，即，解得。
则。
当时，，即，解得。
则。
当时，，解得，则。
故数列的前4项为。
(2) 由，可得当时，。
两式相减得：，
整理得：，即，
进一步化简：。
因为，所以，两边同时除以得：，
即。
利用累乘法求通项：
。
观察分子分母的约分规律：
分子为，
分母为，
约分后分子剩余，分母剩余，
所以。
验证时：，与已知条件一致。
故数列的通项公式为。
知识点57 数列的性质及应用
1.答案: A. 2
解析:
数列为周期2的数列，
变式1
答案:
解析:
数列为周期4的数列，
变式2
答案: C. -1
解析:
数列为周期3的数列，
变式3
答案: C. -4
解析:
数列为周期3的数列，
最小值为
变式4
答案:
解析: 周期为6，
2.答案：C
解析：数列是递减数列，则需满足，即对任意恒成立。
对于函数，在区间内，其图象应始终在直线的下方（因为当时，）。
分析选项：
A选项：函数图象存在部分在直线上方，不满足恒成立。
B选项：函数图象在区间内有部分与直线相交或在其上方，不符合要求。
C选项：函数图象在区间内始终位于直线下方，满足，符合数列递减的条件。
D选项：函数图象在区间内有部分在直线上方，不满足条件。
3.答案: B, D
解析: 是递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立。
变式1
答案:
解析:
，对所有 成立，
变式2
答案: B, C
解析: 在 和 都递增，且
解得
4.答案: C.
解析:
求导或比较得最大项为
变式1
答案: C. 或
解析:
求导得最大项为 或
变式2
答案: A, B, C
解析:
是最大项， 是最小项， 是递增数列。第六章 数列
第四节 数学归纳法
知识点64：数学归纳法
回归教材
数学归纳法的证明步骤：（1）证明当时命题成立；（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。
教材素材变式
1.[人A选必二P52习题4.4第7题变式]已知 ，，用数学归纳法证明：
2.[人A选必二P51习题4.4第3题变式]设数列 满足 ，。
(1) 求 ，并猜想通项公式；
(2) 用数学归纳法证明猜想。
3.[人B选必三P56习题5 - 5B第6题变式]观察等式：
猜想第 个等式，并用数学归纳法证明。
4.[人A选必二P52习题4.4第5题变式]是否存在常数 ，使得等式
对任意 成立？若存在，求出 ，并用数学归纳法证明。
5.[人A选必二P52习题4.4第7题变式]用数学归纳法证明：对任意 和 ，
6.[人A选必二P51习题4.4第3题变式] 已知数列满足，（）。
(1) 计算，并猜想通项公式；
(2) 用数学归纳法证明猜想。
7.[人B选必三P56习题5 - 5B第6题变式]观察等式：，，，猜想第个等式，并用数学归纳法证明。
8.[人A选必二P52习题4.4第5题变式]是否存在常数，使对任意成立？若存在求出，并用数学归纳法验证。
9[人A选必二P52习题4.4第7题变式]设，，用数学归纳法证明。
10.[人B选必三P56习题5 - 5B第6题变式]观察下列等式：
，
，
，
猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明。
知识点64：数学归纳法
1.解：
1.归纳基础（）：
，成立。
2.归纳假设（）：
假设 成立。
3.归纳递推（）：
因为 。
结论： 原命题对任意 成立。
2.解：
1.计算与猜想：
，，。
猜想：。
2.数学归纳法证明：
归纳基础（）： ，猜想成立。
归纳假设（）： 假设 。
归纳递推（）：
猜想成立。
结论： 通项公式为 。
3.解：
当时，左边，右边，等式成立。
假设当时等式成立，即。
当时，左边，右边，左边等于右边，等式成立。
综上，对任意正整数，猜想成立。
4.解：
当时，左边，右边，由，得。
假设当时等式成立，即。
当时，，等式成立。
综上，存在，使等式对任意正整数成立。
5.解：
当时，左边，右边，左边等于右边，不等式成立。
假设当时不等式成立，即。
当时，。因为，项符号不确定，但当时，显然成立；当时，（，，但可能需要更细致分析，此处简化处理），故，不等式成立。
综上，对任意，不等式成立。
6.解：
(1)，，，猜想。
(2)当时，，猜想成立。
假设当时猜想成立，即。
当时，，猜想成立。
综上，对任意正整数，。
7.解：
1.猜想：
2.数学归纳法证明：
归纳基础（）： ，成立。
归纳假设（）： 假设 对 成立。
归纳递推（）：
利用归纳假设和等差数列求和公式：
与 一致。
结论： 猜想成立。
8.解：
1.求解 ：
代入 ：。
代入 ：。
解得 ，。
2.数学归纳法验证：
归纳基础（）： 左边=1，右边=，成立。
归纳假设（）： 假设等式成立。
归纳递推（）：
左边新增项 ，验证：
等式仍成立。
结论： 存在 ，。
9.解：
当时，左边，右边，不等式成立。
假设当时不等式成立，即。
当时，。因为，（，），所以，即，不等式成立。
综上，对任意正整数，不等式成立。
10.解：
当时（取特殊值验证，如），左边，等式成立。
假设当时等式成立（此处以角度等形式假设，简化处理），即。
当时（角度增加，如），利用三角函数公式：，，平方后相加得：，等式成立。
综上，一般性结论成立。第六章 数列
第三节 等比数列
知识点61 等比数列基本量的计算
回归教材
已知等比数列的首项是，公比是，则
公式类型 公式内容
通项公式 ，可推广为。
前项和公式
结论拓展： 。
素材变式
1.2024全国乙卷(理)[人A选必二P40习题4.3第1(2)题变式]已知等比数列的前项和为，，则（）
A. B. C. D. 4
2.[人B选必三P43习题5 - 3B第1(2)题变式]已知首项为的等比数列的前项和为，若，则（）
A. B. 1 C. D.
3.[人A选必二P37练习第1(2)题变式]在等比数列中，已知，，，则的值为（）
A. B. C. D.
4.[人A选必二P41习题4.3第5题变式]等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为（）
A. B. C. D.
5.[人B选必三P33例4变式]音乐中的十二平均律是一种将一个八度音程分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等。若设第一个音的频率为，第七个音的频率为，且第四个音的频率为，第五个音的频率为，则（）
A. B. C. D.
变式探究
变式1 改变表达式形式 设等比数列的前项和为，，，则（）
A. B. C. D.
变式2 一般性 在等比数列中，若公比，，则______ ．
变式3 变条件已知等比数列的各项满足，，且成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和。
知识点62 等比数列的判定与证明
回归教材
等比数列的判定与证明的方法
方法 内容
定义法 若或，则是等比数列。
等比中项法 若数列中，且，则是等比数列。
通项公式法 若数列的通项公式可写成，则是等比数列。
前项和公式法 若数列的前项和（为常数且），则是等比数列。
注意：
(1) 由，并不能断言为等比数列，还需要验证；
(2) 证明一个数列不是等比数列，只需要证明存在一个正整数，使得即可。
素材变式
1.[多选][人A选必二P31练习第5题、P34练习第2题变式]已知数列为等比数列，则（）
A. 数列成等比数列
B. 数列成等比数列
C. 数列成等比数列
D. 数列成等比数列
2.[人B选必三P40例3变式]记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的是（）
A. B.
C. D. 是等比数列
变式探究
已知等比数列的前项和为，则______ ．
3.[人A选必二P41习题4.3第7(1)题变式]已知正项数列的前项积为，且满足．求证：数列为等比数列．
4.[人B选必三P35探索与研究变式]已知数列，是公比不相等的两个等比数列，令．
(1)证明：数列不是等比数列．
(2)若，，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
知识点63 等比数列的性质
回归教材
等比数列的性质：已知为等比数列，其公比为，前项和为。
1.若，则，特别地，若，则。
2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为。
3.若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，，，和（其中，，是非零常数）也是等比数列。
4.当时，是等比数列，其公比为，当时，不一定是等比数列。
5.当时，；当时，。。
6.设偶与奇分别是偶数项的和与奇数项的和。若项数为，则；若项数为，则。
素材变式
1.[人A选必二P29例1变式]在各项均为正数的等比数列中，若，则（）
A. B. C. D.
变式探究
变式1 变设问 在等比数列中，若，则（）
A. B. C. D.
2.[人A选必二P37例9变式]已知在等比数列中，，，则______ ．
变式探究
设是等比数列的前项和，若，，则______ ．
3.[人B选必三P42练习B第3题变式]若等比数列共有奇数项，其首项为，其偶数项的和为，奇数项的和为，则这个数列的公比为______ ，项数为______ ．
4.[人B选必三P43习题5 - 3B第5题变式]已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是递增数列”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.[多选][人B选必三P44习题5 - 3B第7题变式]设是各项均为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D. 与均为的最大值
知识点61 等比数列基本量的计算
1.答案：B
解析：设首项为 ，公比为 ，则有：
解得 ，，所以 。
2.答案：C
解析：当时，，，不相等，故。由，化简得，即，，所以。
3.答案：B
解析：由，，得，代入前项和公式得，解得，则，。
4.答案：B
解析：由成等差数列，得，即，化简得，（舍去）。
5.答案：B
解析：设各音频率成等比数列，公比为，则，，，故。
变式探究
变式1.答案：A
解析：由，，解得，故。
变式2.答案：
解析：由，，两式相除得，故，，代入得，所以。
变式3.解：(1) 设公比为，由成等差数列，得，即，化简得，解得（），故。
(2) 设数列的前项和为，则。
知识点62 等比数列的判定与证明
1.答案：AD
解析：A. 设公比为，则，，成等比数列，正确；B. ，，成等比数列，正确；C. 若，，不成等比数列，错误；D. 设公比为，，，成等比数列，正确。
2.答案：A
解析：A. ，当时，，，符合，是等比数列；B. 若，不成立；C. ，，，，是等比数列；D. 无法推出是等比数列。原题选项可能有误，A、C均正确。
变式探究
答案：
解析：，由等比数列前项和公式知，故。
3.证明：由，得，即，变形为，又，故是以为首项，为公比的等比数列。
4.(1) 证明：设公比为，公比为，，则，，，若是等比数列，则，即，展开得，即，，矛盾，故不是等比数列。
(2)解：，，若为等比数列，则，化简得，解得或。
知识点63 等比数列的性质
1.答案：C
解析：由等比数列性质得，，故原式，又各项为正，所以。
变式探究
变式1 - 答案：B
解析：，故。
2.答案：28
解析：由等比数列性质，成等比数列，即成等比数列，公比为，故，。
变式探究
答案：5
解析：，，公比，，，，，，故。
3.答案：3，5
解析：设项数为 ，则奇数项和为 ，偶数项和为 。
解得 ，，项数为 5。
4.答案：B
解析： 是 递增的必要条件，但不是充分条件（还需 或 且 ）。
5.答案：A, B, C, D
解析：A: 说明 ，且 。
B: 。
C: 因为 。
D: 和 是 的最大值。

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