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第三章 导数及其应用
第三节 导数与函数的极值、最值
知识点31 利用导数研究函数的极值问题
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可导函数在某点处 取得极值的条件：
必要条件 可导函数在处取得极值的必要条件是.
充要条件 可导函数在处取得极值充要条件是且在附近两侧导数异号.
课标要求：借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大 值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值 的关系.
易错提醒：函数的极值点不是点,是使函数取得极值的的值,是一个实数.
题型分类：①求函数的极值或极值点的个数；②已知函数的极值(点)求参数:14-T5.
教材素材变式
1.[多选][人A选必二P92练习第1题变式] 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 点是的极大值点
B. 在处取得极值
C. 在区间上单调递增
D. 的图象在处的切线斜率大于零
2.[2023新高考II卷] 函数的极值点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.[2025广东模拟][多选] 设函数，若在处取得极小值，则实数的可能值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.[2024浙江高考] 若函数无极值，则实数的取值范围是________。
变式探究
变式1：已知极值求参
[2023北京高考] 已知函数在处取得极小值，则________。
变式2：在区间上有极值
[2024江苏模拟] 若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
知识点32 利用导数研究函数的最值问题
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求函数 在区间上的最值的方法：
1.若函数在区间上单调递增(递减),则为最小(大)值为最大(小)值.
2.若函数在区间上有极值,则要先求出函数在上的极值,再与比较,最大的是最大值,最小的是最小值。
3.若函数在区间上有唯一一个极值点,则这个极值点一定是最值点.
注意：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,一般要根据函数的极值及单调性画出函数的大致图象,借助图象求解.
题型分类：①求函数的最值 ②已知函数的最值求参数 ③函数的最值的应用.
教材素材变式
1.[2024全国乙卷] 函数在区间的最大值、最小值分别为（ ）
A. B. C. D.
2.[2025山东模拟][多选] 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在处取得最大值
B. 在处取得最小值0
C. 若时，则
D. 有2个零点
3.[2023新课标I卷] 当时，函数取得最大值2，则（ ）
A. B. C. D. 1
变式探究更新
变式1：区间含参求最值
[2024天津高考] 若函数在上有最大值，则实数的取值范围是________。
变式2：最值的应用
[2025湖南模拟] 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的最小值为________。
知识点31 利用导数研究函数的极值问题
教材素材变式
1.答案：B, C, D
解析：
A选项：点是导函数的零点，但根据图象，导数在左右两侧均为正，故不是极值点。
B选项：处导数为零且两侧导数异号，故在处取得极值。
C选项：在区间上，导数，故单调递增。
D选项：处的导数值大于零，故切线斜率大于零。
2.答案：C
解析：求导，令，得或（无解）。分析导数符号：时，时，故为极小值点；再求二阶导数，当很大时递增，存在使，故共有2个极值点。
3.答案：B, C
解析：，由得，解得。但需验证极值：当时，，两侧导数由负变正，为极小值；当，，根为，处导数由负变正，为极小值。
4. 答案：
解析：，无极值则，即，故。
变式1：答案：
解析：，，联立得，，故。
变式2：答案：A
解析：在有解，即。
知识点32 利用导数研究函数的最值问题
教材素材变式
1. 答案：A
解析：，在上，递减；上，递增。，，，故最大值0，最小值。
2. 答案：A, B, C,
解析：，极值点，为极大值点，；为极小值点，；零点为和,选项D错误，正确应为1个零点。
3.答案：C
解析：，，。
变式1：答案：
解析：，极大值点，。需满足，且，解得。
变式2：答案：
解析：不等式化为，令，，在上
递减，，，故。第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
知识点26 导数的概念及运算
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5组基本初等函数的导数公式：
（c 为常数）。
（，且）。
，。
（且），特别地，。
（且），特别地，。
复合函数的导数：
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。
课标要求
1.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达。
2.能根据导数定义求函数，，，，，的导数。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如）的导数。
教材素材变式
1.[人 A 选必二 P81 练习第 1 题变式]下列求导运算不正确的是（ ）
2.[人 A 选必二 P70 习题 5.1 第 3 题变式]把某物体进行加热，该物体原来的温度为 20℃，经过 t min 后，记该物体的温度为（单位：℃），且。若时该物体温度上升的瞬时速度为，时该物体温度上升的瞬时速度为，从到该物体温度上升的平均速度为 V，则（ ）
3.[人 B 选必三 P91 习题 6-1C 第 2 题变式]已知是的导函数，且，则（ ）
变式探究：已知函数（为常数 ），且，则______ 。
4.[人 A 选必二 P81 习题 5.2 第 2(1)题变式]等比数列中，，公比，函数的导函数为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.[人 A 选必二 P81 习题 5.2 第 3 题变式]已知函数，，则 .
知识点27 导数的几何意义及其应用
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导数的几何意义：函数在处的导数是曲线在点处的切线的斜率.
求切线方程的方法：曲线在点处的切线方程为。
已知曲线过点（非切点），则先设切点坐标为，再根据
，求出，进而可得切线方程.
注意：在点P处说明P是切点，过点P需先检验点 P 是否为切点.
题型分类：①求切线方程；②求参数；③公切线问题；④导数几何意义的应用。
教材素材变式
1.[苏教选必-P211 习题5.2 第15(2)题变式]如图，函数的图象在点处的切线是直线，则（ ）
2 1
2.[人 A 选必二 P82 习题5.2 第11题变式]已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
3.[人 A 选必二 P70 习题5.1 第7题变式]点 P 在曲线上移动，设点 P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
4.[人 B 选必三 P91 习题6-1B 第6(1)题变式]曲线过坐标原点的两条切线的方程为 , .
5.[人 B 选必三 P112 复习题 A 组第12题变式]直线（k 为实数）与曲线相切于点，则 .
6.[2024新课标I卷][人 A 选必二 P104 复习参考题5 第13题变式]若曲线在点(0,1)处的切线也是曲线的切线，则 .
变式探究：过原点的直线 l 与曲线，都相切，则实数 .
7.[人 B 选必三 P91 习题6-1B 第8题变式]已知点 P 是曲线上任意一点，则点 P 到直线的距离的最小值是（ ）
8 [人A选必二P82探究与发现变式]牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法. 如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近。若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
A. B. C. D.
知识点26 导数的概念及运算
1.【答案】 D
【解析】
A选项： 是正确的。。
B选项： 是正确的。
C选项： 是正确的。
D选项：，题目中符号错误，因此不正确。
2.【答案】 C
【解析】
瞬时速度 。
，。
平均速度 。
因此 。
3.【答案】 A
【解析】
设 ，，则 。
求导得 。
代入 和 得方程组：
解得 ，因此 。
变式探究：【答案】
【解析】
求导：对求导，根据求导公式，常数与函数乘积的导数为常数乘函数导数，可得 。
求：将代入，得 。因为，且，所以，解得 。
计算：把代入，得 。再将代入，，所以 。
故答案为 。
4.【答案】 A
【解析】
根据等比数列通项公式（其中为首项，为公比 ），已知，，则：；。
设，则。
根据乘积的求导法则（其中， ），，，所以。
将代入可得：。
而，即。
综上，答案是A选项 。
5.【答案】
【解析】
，故 ，解得 。
。
，故 。
因此 。
知识点27 导数的几何意义及其应用
1.【答案】 C
【解析】
切线斜率为 ，切线方程为 。
由图可知 ，，故 。
2.【答案】 B
【解析】
切线与 平行，故 。
，代入 得 ，解得 。
切线方程为 ，即 。
3.【答案】 D
【解析】
导数 ，故切线斜率 。
倾斜角 满足 ，因此 。
4.【答案】 和
【解析】
设切点为 ，切线斜率为 。
切线方程为 ，过原点代入得 或 。
切线方程为 和 。
5.【答案】
【解析】
点 在曲线上，故 。
导数 ，在 处斜率为 ，与直线斜率 相等。
由直线 过 得 ，故 ，，。
6.【答案】
【解析】
曲线 在 处切线斜率为 ，切线方程为 。
与 相切，联立解得 。
变式探究：【答案】
【解析】
设直线与相切于点，导数，切线斜率，切线方程，过原点，则，解得，，切线方程。
设直线与相切于点，导数，切线斜率，且。
由得，代入，，即，。
把代入，得，解得 。
7.【答案】 C
【解析】
距离公式为 ，最小化 即最小化 。
由导数法求得最小距离为 。
8.【答案】 B
【解析】
牛顿迭代公式为 。
，，，最接近选项 B。第三章 导数及其应用
第二节导数与函数的单调性
知识点28 不含参数的函数的单调性
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利用导数判断函数单调性的步骤：(1)确定函数的定义域,并求导;(2)求出导函数的零点;(3)结合的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数的单调性.
易错提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用""连接,可用","隔开或用"和"连接.
教材素材变式
1.[人A选必二P87练习第3题变式] 设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则其导函数的图象可能是（）
2.[人B选必三P95练习B第3题变式] 已知定义在区间上的函数,则的单调递增区间是（）
A.
B.和
C.
D.和
变式探究
变式1 改为分段函数 已知函数则的单调递减区间为_____.
变式2 直接给出导函数 已知函数满足,则的单调递减区间为（）
A.(-4,1) B.(-1,4) C. D.
3.[人A选必二P89练习第2题变式] 已知函数,证明在上单调递增.
4 [人A选必二P97习题5.3第1题变式] 已知,若的图象在处的切线恰好与x轴平行,判断此时的单调性.
知识点29 含参数的函数的单调性
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利用函数的单调性求解参数的值或取值范围的解题思路
条件 结论
函数在区间(a，b)上单调递增 在区间(a，b)上恒成立
函数在区间(a，b)上单调递减 在区间(a，b)上恒成立
函数在区间(a，b)上存在单调递增区间 在区间(a，b)上有解
函数在区间(a，b)上存在单调递减区间 在区间(a，b)上有解
特别提醒：1.”在区间(a, b)内,"是"函数在区间(a, b)上单调递增(减)"的充分不必要条件.
2."在(a, b)内恒成立,且在(a, b)的任意子区间内都不恒等于0"是"函数在区间(a, b)上单调递增(减)"的充要条件.
教材素材变式
1.一题多变 [人B选必三P114复习题B组第15题变式]
变式1 变函数已知函数在区间(-2,0)上单调递增,在区间上单调递减,则实数 .
变式2 已知单调递减区间 已知函数,若的单调递减区间为(2,5),则 .
变式3 已知单调区间个数 若函数恰有三个单调区间,则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
变式4 递增和递减区间同时存在 如果函数在区间(1,3)上单调递减,在区间上单调递增,则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
变式5 在区间单调 若函数在区间上单调,则实数a的取值范围是（）
A. B.(3,4) C. D.
变式6 存在单调区间 若函数在区间(2,3)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是_____.
变式7 区间含参 已知函数在区间上不单调,则m的取值范围是_____.
2.[人A选必二P104复习参考题5第19题变式] 已知函数,讨论的单调性.
知识点30 函数单调性的应用
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函数单调性的应用 直接比较大小 依据函数在固定区间上的单调性, 得到函数值的大小, 从而得出结果.
构造函数比较大小或解不等式 利用题目条件, 构造函数, 借助导数研究函数的单调性, 再由单调性比较大小或解不等式.
教材素材变式
1.[人A选必二P86例1变式] 已知函数,则下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
变式探究
变式1 变函数 已知函数,且,则a,b,c的大小关系是（）
A. B. C. D.
变式2 求参数范围 设函数,若,则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
2 [人B选必三P114复习题C组第2题变式] 已知函数为定义在R上的偶函数,当时,,则下列四个不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
变式探究
变式1 求解集已知定义在R上的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式(e为自然对数的底数)的解集为（）
A. B. C. D.
变式2 所给条件为等式 已知是函数的导函数,且对任意实数x都有,则不等式的解集为_____.
3.[苏教选必一P222习题5.3第2(2)题变式] 设,则下列判断正确的是（）
A. B. C. D.
4.[人A选必二P99习题5.3第12题变式] 已知函数,证明:.
知识点28 不含参数的函数的单调性
1.答案：C
解析：原函数在左侧先减后增，右侧递减，导函数应先负后正再负，只有C选项符合。
2.答案：B
解析：求导得，在和时，，故单调递增区间为和。
变式探究
变式1答案：
解析：当时，；当时，，故递减区间为。
变式2答案：A
解析：的导数为，令，解得。
3.证明：，当时，（构造函数可证），故，在递增。
4.答案：在递减，递增
解析：，，当时，时。
知识点29 含参数的函数的单调性
1.变式1答案：
解析：，。
变式2答案：
解析：，根为2和5，由韦达定理得。
变式3答案：C
解析：有两不同实根，且且。
变式4答案：B
解析：，由题意得。
变式5答案：A
解析：在上非正或非负，即或。
变式6答案：
解析：在有解，即，时，，故。
变式7答案：
解析：，零点为，故。
2.解：
，定义域。
当时，增区间，减区间；
当时，增区间和，减区间；
当时，增区间；
当时，增区间和，减区间。
知识点30 函数单调性的应用
1.答案：D
解析：，函数递增，故。
变式探究
变式1答案：D
解析：，函数递增，，故。
.变式2答案：B
解析：为奇函数且递增，。
2.答案：D
解析：构造，在递增，。
变式探究
变式1答案：B
解析：设，，。
变式2答案：
解析：解得，不等式化为，解得。
3.答案：C
解析：，，，故。
4.证明：
右半部分：（显然成立）；
左半部分：令，，，故。
以上答案严格遵循导数性质及单调性判断规则，步骤完整，结论准确。

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