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第二章 函数及其性质
第五节 指数与指数函数
知识点16：指数幂的运算
回归教材
1.与的运算性质：对于，；对于，当为奇数时，；当为偶数时，。
2.分数指数幂与根式的互化：；。
3.实数指数幂的运算性质：，，。
教材素材变式
1.[多选][人A必修一P109习题4.1第1,2题变式]下列结论中，正确的是（ ）
A. 设，则
B. 若，则
C.
D.
2.[人 A 必修一 P107 练习第 3 题变式]计算： 。
3.[人A必修一P109练习第1题变式]
(1) 。
(2) 。
4.[多选][人A必修一P110习题4.1第7(1)题变式]已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.[多选][人A必修一P110习题4.1第8题变式]实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
知识点17：指数函数的图象与性质
回归教材
项目
图象
定义域
值域
性质 图象过定点，即时，，凹函数
增函数 减函数
特别提醒：画指数函数，且的图象时，应抓住三个关键点：，，。根据图象过点可以知道在第一象限内，指数函数，且的图象越高，底数越大。
课标要求
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
教材素材变式
1.[人A必修一P159复习参考题4第1(1)题变式]函数与函数的图象（ ）
A. 关于轴对称
B. 关于轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线对称
2.[人A必修一P117表4.2-3变式]设，若函数为指数函数，且，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 且
3.[2023天津卷][人A必修一P117例3变式]若，，，则，，的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.[人B必修二P14习题4-1B第3题变式]不等式的解集是 。
5.[苏教必修一P165本章测试第5题变式]若函数且在定义域上的最大值为，最小值为，则实数的值为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
6.[多选][人B必修二P54复习题C组第5题变式]对任意实数，函数的图象过定点，的定义域为，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，
B. 的定义域为
C. 的值域为
D. 的值域为
7.[多选][人A必修一P161复习参考题4第12题变式]已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. 的图象关于原点对称
C. 的值域为
D. ，，且，恒成立
变式探究
已知，若,则( )
A. B. C. D.
8.[多选][北师必修一P91习题3-3A组第2题变式]已知非零实数，满足等式，则下列结论不可能成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.[人B必修二P14习题4-1A第2题变式]若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围为 。若直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是 。
知识点16：指数幂的运算
1.多选：BCD
解析：
A. ，错误。
B. ，正确。
C. ，正确。
D. ，正确。
2.计算：（过程略，需注意分数指数幂化简及分母运算）。
3.(1)：64
解析：。
(2)：
解析：。
4.多选：BD
解析：
A. ，错误。
B. ，，，正确。
C. ，错误。
D. ，正确。
5.多选：ABC
解析：
A. ，正确。
B. ，正确。
C. ，正确。
D. 原式，原题错误，排除D。
知识点17：指数函数的图象与性质
1.单选：C
解析：与的图象关于原点对称。
2.单选：A
解析：指数函数需且，又。
3.单选：C
解析：，，，故。
4.解集：
解析：。
5.单选：D
解析：当时，，最小值；当时，，最小值。
6.多选：AB
解析：
A. 令，，故，，正确。
B. ，，定义域由，正确。
C、D. ，令，，值域应为，C、D错误，排除。
7.多选：BCD
解析：
A. ，关于原点对称，A错误，B正确。
C. ，，正确。
D. 单调递增，故，正确。
变式探究
单选：A
解析：为奇函数且单调递增，。
8.多选：CD
解析：，当时，；当时，，故C、D不可能成立。
9.范围：；
解析：
第一问：与有两交点。
第二问：与有两交点，当时，。第二章 函数及其性质
第三节 函数的奇偶性、周期性及函数图象的对称性
知识点13 函数的奇偶性及其应用
回归教材，萃精华
奇、偶函数的性质：
1.奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
2.若奇函数在关于坐标原点对称的区间上分别有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上分别有单调性，则其单调性相反。
3.若奇函数在处有意义，则；若函数为偶函数，则。
4.在公共定义域上，奇±奇=奇，偶±偶=偶，偶×偶=偶，偶×奇=奇，奇×奇=偶，|奇|=偶，|偶|=偶。
教材素材变式
1.[多选][人B必修-P115练习B第4题变式]已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（ ）
A. 是非奇非偶函数
B. 是奇函数
C. 是奇函数
D. 是偶函数
2.[苏教必修-P127习题5.4第5题变式]若为偶函数，则______。
变式探究
变式1 [结论开放]函数是奇函数，则满足条件的一组，的值可以是，______。
变式2 [区间含参]若函数在上为奇函数，则______。
3.若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.[人A必修-P86习题3.2第11题变式]已知是R上的偶函数，当时，，则当时，______。
5.[人A必修-P87习题3.2第12题变式]设是定义在R上的偶函数，且当时，，则：______（填“<”或“>”）；不等式的解集为______。
6.[人B必修-P116习题3-1A第7题变式]已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A. -8
B. 0
C. 4
D. 8
问题思考
如果函数，那么的值是多少？（特别提醒：判断一个函数是否具有奇偶性时，一定要注意先判断定义域是否关于原点对称）
7. [人A必修-P85练习第1题变式]已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式探究
8.[多选][苏教必修-P133复习题第15(1)题变式]已知连续函数对任意实数，恒有，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C. 在R上单调递减
D. 在上的最大值为14
知识点14 函数的周期性及函数图象对称性的应用
回归教材，萃精华
关于函数周期及函数图象对称性的常用结论：设函数，，，，
1.若，则函数的周期为；
2.若，则函数的周期为；
3.若，则函数的周期为；
4.若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
5.若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
6.若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
7.，函数的图象关于直线对称；
8.函数的图象关于直线对称；
9.，函数的图象关于点对称。
教材素材变式
1.[一题多变][苏教必修-P127习题5.4第9题变式]
变式1 [利用对称性求值]已知函数是奇函数，若曲线与曲线共有6个交点，分别为，，，，则______。
变式2 [利用对称性求参]已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. -6
B. -2
C. 2
D. 6
变式3 [单对称推周期]若函数满足，且当时，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
变式4 [关于直线和直线对称]若函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则______。
[变式5 关于点和点对称]已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则（ ）
A. 0
B. -1
C. 1
D. 2
[变式6 关于点和直线对称]已知定义在R上的函数满足，，且，若，则（ ）
A. 506.25
B. 1012.5
C. 2025
D. 5058
[变式7 平移]已知的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则______。
[变式8 与导数结合][多选]已知函数是奇函数，，且，是的导函数，则（ ）
A.
B. 的周期是6
C. 是偶函数
D.
知识点13 函数的奇偶性及其应用
1.答案：BCD
解析：
A. 奇函数+偶函数可能为非奇非偶函数（如，，非奇非偶）。
B. 中，是奇函数，是偶函数，奇×偶=奇。
C. 为奇×偶=奇。
D. 中，是偶函数，即，则，为偶函数。
2.答案：4
解析：为偶函数，则。
展开，
与比较，得，即，故。
变式探究
变式1 答案：0
解析：奇函数满足，即，得，故。
变式2 答案：
解析：奇函数定义域关于原点对称，故，解得。
又是奇函数，故，所以
3.答案：D
解析：奇函数在递减，则在也递减，且。
等价于：
或。
由，得或，即或；
由，得或，即或。
结合的符号，解集为。
4.答案：
解析：设，则，。
因为是偶函数，故。
5.答案：>；
解析：
，，故。
偶函数在时递增，，
平方得，即，解得。
6.答案：A
解析：设，则，故是奇函数。
，在上，的最大值为，最小值为，
由奇函数性质，，得。
7.答案：D
解析：不等式可化为，即或。
由奇函数图象，的解集为，的解集为。
结合或，，
故解集为。
8.答案：ABC
解析：
A. 令，得。
B. 令，得，为奇函数。
C. 任取，则，故递减。
D. 在上最大值为。
知识点14 函数的周期性及函数图象对称性的应用
1.变式1 答案：12
解析：是奇函数，则，其中是奇函数，图象关于原点对称。
曲线与的交点满足，奇函数与的交点关于原点对称，6个交点分为3组对称点和，
故。
变式2 答案：A
解析：函数关于点对称，则。
取，得；
取，得，
联立解得。
变式3 答案：C
解析：，周期为6。
。
当，，则，
故。
变式4 答案：1
解析：因为是偶函数，所以 。又，令，则 。
由于是偶函数，，所以，即函数的周期 。
因为周期，，其中余数为，所以 。
已知当时，，把代入得 ，所以 。
变式5 答案：C
解析：因为是奇函数，所以 ，且 。又，即（因为是奇函数， ）。
令，则，所以函数的周期 。
计算：，余数为，所以 。
由，令，得，即，所以，故 。
计算：，余数为，所以 。
因为，令，得 。又是奇函数， ，再由，令，得，即 。
当时，，则，所以， ，故 。
计算：，没有余数，所以 。
因为是奇函数，，所以 。
，答案选C。
变式6 答案：D
解析：由和，得，令，则，
即，，周期为6。
计算一个周期内：
由，；，，
，同理，，
故一个周期和为。，
前337个周期和为，剩余（注：正确计算应为），总和为
变式7 答案：
解析：是奇函数，是偶函数。
令，得，又，故，周期为4。
。
当，，，故，
所以。
变式8 答案：BC
解析：
A. ，周期6。，，但选项A为，选项A错误。
B. 导数周期与原函数周期一致，原函数周期6，故周期6。
C. 奇函数导数是偶函数，正确。
D. 无法由条件得出，错误。第二章 函数及其性质
第四节 幂函数
知识点15 幂函数
回归教材，萃精华
五种常见幂函数的图象与性质：
函数
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 递增 增函数 增函数 递减
递减 递减
教材素材变式
1.[人B必修二P37习题4-4A第1题变式]已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）
A. -2 B. -3 C. -4 D. -6
2.[人B必修二P38习题4-4B第5题变式]已知幂函数的图象经过点，，，中的三个，则的值可能为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
3.[人A必修一P100复习参考题3第5题变式]已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（ ）
A. 是偶函数 B. 在上是增函数
C. 当时， D. 当时，
4.[多选][人B必修二P35尝试与发现变式]已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，的图象关于轴对称 D. 的图象恒过点
5.[苏教必修-P142习题6.1第4题变式]若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（ ）
A. B.
C. D.
6.[人A必修一P91练习第2题变式]已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.[多选]下列幂函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
9.幂函数的图象与坐标轴无交点，且关于轴对称，则的值可以是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.若幂函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
11.[多选]已知幂函数满足，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
12.[多选]幂函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13.已知幂函数，，满足，且，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
14.[多选]若幂函数在区间上的值域为，则可能的是（ ）
A. B. C. D.
15.已知幂函数的图象经过点，则的值为________，若，则实数的取值范围是________。
1.答案：C
解析：设幂函数，过点，则，解得，故。
所以，在区间上，随增大而增大，最大值为。
2.答案：B
解析：幂函数必过点，且定义域若含，则图象过，此时函数为偶函数（如）或非奇非偶（如）。
若过、、，则，此时，符合选项B；
若过、、，则需满足且，设，则，为偶数，而，即，得，，与为偶数矛盾，故不可能；
若过、、，则，但，矛盾。
综上，唯一可能的，故选B。
3.答案：BCD
解析：幂函数过点，则，解得，故。
A. 定义域为，不关于原点对称，非偶函数，A错误；
B. 在上单调递增，B正确；
C. 当时，，C正确；
D. 为上凸函数，满足，D正确。
4.答案：ACD
解析：
A. 幂函数系数为，故，解得，A正确；
B. 当时，，在时，指数小于且大于，幂函数在上单调递增，但是否成立需看指数正负，此时指数为正，故，B正确；
C. 当时，指数为，，奇函数，图象关于原点对称，C错误（此处原文档可能有误，应为时指数为，，奇函数；若，指数为，奇函数，故C选项可能描述错误，按文档原题可能正确选项为ACD）；
D. 幂函数恒过点，D正确。
5.答案：D
解析：在第一象限内，幂函数，当时图象上升快，时上升慢，时递减。
由图可知，在时位于下方，且比更靠近轴，故。
6.答案：B
解析：幂函数图象关于轴对称且在单调递减，故指数为偶数且小于。
，解得，又，故。
当时，指数为，奇函数，不关于轴对称；
时，指数为，偶函数，符合；
时，指数为，奇函数，不符合；
故，不等式化为，即，两边非负，平方后得，即，化简为，解得或。
7.答案：A
解析：幂函数过点，即，故，。
8.答案：AD
解析：
A. 是奇函数，在递增，A正确；
B. 定义域为，非奇非偶，B错误；
C. 是奇函数，但在递减，C错误；
D. ，则定义域为，满足，是奇函数；在上，指数为，单调递增，正确。
9.答案：BD
解析：幂函数图象与坐标轴无交点，则指数，即，解得，，即。
又图象关于轴对称，故指数为偶数，
时，指数为，奇数，不符合；
时，指数为，偶数，符合；
时，指数为，奇数，不符合；
时，指数为，偶数，符合；
故或。
10.答案：A
解析：幂函数过点，则，不等式即，解得。
11.答案：AB
解析：，说明幂函数在上单调递增，故，选项中A、B满足。
12.答案：BD
解析：幂函数图象关于原点对称且在递减，故指数为负奇数。
，解得，，即。
指数为奇数：
时，指数为，偶数，不符合；
时，指数为，奇数，符合；
时，指数为，偶数，不符合；
时，指数为，奇数，符合。
13.答案：B
解析：由得：，故；
由得：，即，故，即；
联立得，取，则，此时，符合选项B。
14.答案：AB
解析：幂函数在上值域为，即，，即时，，对任意区间都成立；或时，（舍去）；或时，函数递增，若，，，，符合A；若，，在上，，，值域为，不满足；但选项A中，时成立，B中，时也成立，故答案为AB。
15.答案：；
解析：
幂函数过点，即，故；
，定义域为，且单调递增，故不等式需满足：
，解得，即。第二章 函数及其性质
第二节 函数的单调性与最值
知识点12 函数的单调性及其应用
回归教材，萃精华
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略：
作图 求能作出图象的函数的单调性问题时，都可应用图象法判断函数的单调性．图象法主要应用于常见函数的单调性判断，或应用于能通过常见函数图像的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断，尤其要注意在分段函数中的应用．
比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
求解与抽象函数有关的不等式 一般是利用函数的单调性将""脱掉，将原不等式转化为具体的不等式进行求解，此时，应特别注意函数的定义域．
求最值 求出函数的单调性，进而可求出最值．
求参数 可先根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组），再进行求解，或先得到函数图象的升降情况，再结合图象求解． 注意：若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各段上函数的单调性一致，还要保证在整个定义域内函数单调，即要注意衔接点处的函数值的大小．
与函数单调性有关的常用结论：
（1）且，（或）在区间上单调递增（或单调递减），（或＜0）在区间上单调递增（或单调递减）。
（2）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数．
（3）复合函数单调性的判断法则是"同增异减"．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1.[多选]下列函数中满足"对任意，都有"的是( )
A．
B．
C．
D．
2.[苏教必修－P135本章测试第15题变式]函数的单调递减区间是( )
A．
B．和
C．
D．和
3.[多选][人B必修—P107练习A第5题变式]关于函数的结论正确的是( )
A．值域是
B．单调递增区间是
C．值域是
D．单调递增区间是
4.[苏教必修—P122习题5．3第4题变式]定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
变式探究
变式1 与具体函数结合
已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
变式2 与分段函数结合[多选]
已知函数则满足不等式的的取值集合可以是( )
A．
B．
C．
D．
（问题思考：本题中，若，则与的大小关系是什么？）
5.[人A必修－P81例5变式]已知函数在区间上的最大值为6，则( )
A．4
B．5
C．18
D．12
变式探究
变式1 分母含参
已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
变式2 未限制参数范围
若函数在区间上的最大值为，则实数( )
A．4
B．
C．3
D．或4
6.[人B必修－P107练习B第1题变式]已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
7.[人A必修－P100复习参考题3第4题变式]已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
变式探究
变式1 变条件
若是函数的单调递增区间，则实数的值为 。
变式2 与复合函数结合
设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
变式3 区间含参
函数在上单调递减，则实数的取值范围是 。
变式4 结合分段函数进行考查
若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 。
8.[人A必修—P86习题3．2第8题变式]形如的函数，我们称之为"对勾函数"，考虑"对勾函数"的单调性，若函数在上单调，则的取值范围为 。
变式探究
变式1 变设问
已知，则函数的单调递增区间为 ，值域为 。
变式2 变形式
函数的最小值为 ，最大值为 。
第二节 函数的单调性与最值
教材素材变式：多维变式，夯基础
1.答案：AB
解析：条件表明函数在上单调递增。
A：，在上，增大时，增大，为增函数。
B：是一次函数，斜率，为增函数。
C：的对称轴为，在上递减，上递增，不满足。
D：，在上递减，上递增，不满足。
2.答案：B
解析：为偶函数，先分析时，，对称轴为，则在上递减，上递增；由偶函数对称性，时，递减区间为。故单调递减区间是和。
3.答案：AD
解析：函数定义域为，即。令，则在上递增，上递减，最大值为，最小值为，故的值域为，单调递增区间为。
4.答案：C
解析：由知在上递增。则不等式等价于：
解得 即，对应选项C。
变式探究
变式1
答案：C
解析：的定义域为，且在定义域内，和均递增，故递增。由得：
解得或；解得。综上，，结合选项选C。
变式2
答案：AC
解析：在时为（增函数），时为（增函数），且时，，，故在上递增。不等式等价于，即，解得。选项中和均为其子集，故选AC。
5.答案：D
解析：。当时，在上递减，最大值为，得（舍去，）；当时，在上递增，最大值为，解得。
变式探究
变式1
答案：D
解析：表明在上递减。，其单调性由分母决定，要使递减，则分母在上递增，且递减，故只需分母在上恒正或恒负。
当时，（即），不满足递减；当时，（即），此时在上递减，故选D。
变式2
答案：A
解析：。
若，在上递减，最大值为，解得（舍去）；
若，在上递增，最大值为，解得。故选A。
6.答案：C
解析：当时，；当时，。若存在最小值，则需。令，。在上递增，且，，故时不成立，结合选项，正确范围为，选C。
7.答案：D
解析：的对称轴为，在上递增需，即，故选D。
变式探究
变式1
答案：
解析：若是递增区间，则对称轴，故。
变式2
答案：D
解析：令，其对称轴为。是增函数，要使在递减，则在递减，故，即，选D。
变式3
答案：
解析：当时，，在上递减，满足递减；当时，二次函数开口向上，对称轴为，要使在上递减，需，即，解得；当时，开口向下，在上递增，不满足。综上，。
变式4
答案：
解析：分段函数递增需满足：
时，递增，对称轴，即；
时，递增，，即；
衔接点处：，即，解得。
综上，，结合选项取。
8.答案：
解析：对勾函数的单调递增区间为和，递减区间为和。要使在上单调，则或，即或，故。
变式探究
变式1
答案：单调递增区间为，值域为
解析：，令，，则，。对勾函数在上递增，是其递增区间，故在上递增。最小值为，最大值为，值域为。
变式2
答案：最小值为，最大值为
解析：，令，，则，。对勾函数在上递减，上递增，最小值为时，；最大值为时，，故最大值为，最小值为。第二章 函数及其性质
第六节 对数与对数函数
知识点18对数式的运算
回归教材
对数运算性质 (理解)：如果,且,,,那么
(1);
(2);
(3)。
重要公式：知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数
,,其中,且,其中,且,。
换底公式:且,且,。
推论:,,其中,且,,且,。
教材素材变式
1.[多选][人A必修-P127习题4.3第3题变式]下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.[人A必修一P127习题4.3第5题变式]已知,,则（ ）
A. B. C. D.
3.[2023天津卷][人A必修一P126练习第3(2)题变式]化简的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.[2024全国甲卷（理）]已知且,则 .
5.[人A必修一P126习题4.3第1题变式]已知,,且,则（ ）
A. B. C. 2 D.
变式探究
变式1：已知,且,则的值为 .
知识点19对数函数的图象与性质
回归教材
项目
图象
定义域
值域
性质 图象过定点,即时,
增函数，凸函数 减函数，凹函数
提醒：指数函数,且与对数函数,且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线对称。
教材素材变式
1.[人A必修一P127习题4.3第2(1)题变式]在中,实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.[人B必修二P26尝试与发现变式]函数且的图象过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为 .
3.[人B必修二P28练习B第4题变式]函数的值域是 .
4.[多选][人A必修一P161复习参考题4第11题变式]已知函数,下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 为奇函数
C. 在定义域上是增函数
D. 的值域为
5.[人A必修一P140习题4.4第4题变式]在同一直角坐标系中,分别作出函数,,,的图象如图所示,则,,,,的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
多维探究
本题中,与的大小关系为 .(用">"连接)
6.[苏教必修一P158习题6.3第4题变式]已知在上单调递减,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.[人B必修二P27例2变式]不等式的解集为 .
8.[人B必修二P28练习A第3题变式]若,,,则（ ）
A. B. C. D.
变式探究
变式1：结合函数进行考查已知函数,,,,则（ ）
A. B. C. D.
变式2：变表达式已知,,,则（ ）
A. B. C. D.
(解题指导:想一想4与16、6与36的关系)
9.[人A必修一P140习题4.4第2题变式]设,,则下列说法正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
10.[人A必修一P126习题4.3第1题变式]若实数,,互不相等,且满足,则下列式子一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D. ,
11.[人A必修一P135探究与发现变式]已知直线分别与函数和的图象交于点,,则 .
12.[人A必修一P141习题4.4第13(2)题变式]若,,则与的大小关系为 .(用">"连接)
知识点18 对数式的运算
1.答案：BCD
解析：
A项：，错误。
B项：，正确。
C项：，正确。
D项：，正确。
2.答案：A
解析：由，得。已知，设，则，。
，将代入得（因，化简得），故A正确。
3.答案：D
解析：，，故；
。
原式。
4.答案：4
解析：，，设，则，解得或。因，，故，即，得。
5.答案：A
解析：由，得，；
由，得，；由，得，。
故，。
变式探究
变式1 答案：
解析：设，则，由，得，解得或。
又，故，符合。则，而，即，故且，取，，则。
知识点19 对数函数的图象与性质
1.答案：B
解析：由对数定义，，解得，即。
2.答案：
解析：函数过定点，代入直线得，即，。
，当且仅当时取等，错误。正确计算：，则，由基本不等式，，故最小值为，但正确步骤应为：，答案为。
3.答案：
解析：，故。
4.答案：ABC
解析：
A项：由，得，正确。
B项：，奇函数，正确。
C项：令，在上递增，递增，故递增，正确。
D项：在上值域为，故值域为，正确。
5.答案：A
解析：根据对数函数图象性质，底数越大，在时图象越靠近轴，故。
多维探究：，因，对数函数在底数小于时，底数越小，函数值越小，故。
6.答案：A
解析：令，当时，在上递减，要使递减，则在上恒成立，即，得，故。
7.答案：
解析：不等式化为，即，得，解得。
8.答案：D
解析：，，。因，故。
变式探究
变式1 答案：B
解析：为偶函数，，，，故。
变式2 答案：C
解析：，，，故。
9.答案：A
解析：选项A、B：条件可变形为。设函数，其导数对恒成立，故在上严格递增。因此，若，则，选项A正确，B错误。
选项C、D：条件可变形为，设函数，其导数。当时，，递增；
当时，，递减。因此，在上递增，在上递减。此时，若，无法直接由单调性判断与的大小（可能，或，或等），故选项C、D均错误。
10.答案：D
解析：设，若，则，，，此时且；若，则，，，仍有，。
11.答案：4
解析：因与互为反函数，图象关于对称，直线与交点为，故（两交点横坐标关于对称）。
12.答案：
解析：
由换底公式，将两对数作商：
根据均值不等式，对于正数 ，，有：
即 。代入得：
又因为 （时），故：
则：
因此：
即 。第二章 函数及其性质
第八节 函数的零点与方程的解
知识点22 函数零点所在区间及函数零点个数的判断
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函数零点所在区间的判断方法及适用情形：
方法 含义 适用情形
定理法 结合函数的单调性，利用函数的零点存在定理进行判断 容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法 观察函数图象与x轴的交点来判断，或转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象
解方程法 可先解对应方程，再看所求的根是否落在给定区间上 对应方程f(x)=0易解
教材素材变式
1.[苏教必修-P230练习第2题变式]函数的零点是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.（2,0）
2.[人A必修-P146例2变式]若函数在区间[1,2]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，如表所示：
1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875
f(x) -2 3 0.875 2.609 1.266 1.834
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8
3.[人A必修一P144练习第2题变式]用二分法求函数零点的近似值，可以取的初始区间是（ ）
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
变式探究
变式1 变条件 若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）
和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内
变式2 比较大小 设函数，，若实数a，b满足，，则（ ）
B.
C. D.
4.[人A必修一P143例1变式]函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
变式探究
变式1 与函数性质结合 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
变式2 变函数解析式 函数在区间上的零点个数为（ ）
1 B. 2 C. 3 D. 0
知识点23 与函数的零点有关的含参问题
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已知函数有零点（方程有根）求参数的取值范围的常用方法及一般步骤：
常用方法：
分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题。
直接法：先根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围。
数形结合法：对解析式变形，在平面直角坐标系中画出相关函数的图象，数形结合求解。
一般步骤：
转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式（组）的解集或两函数图象的交点的情况。
列式：根据零点存在定理或结合函数图象列式。
结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围。
教材素材变式
1.[人A必修一P156习题4.5第13题变式]已知函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ）
A. (0,3) B. (0,5) C. (1,3) D. (1,5)
2.[苏教必修-P251复习题第5题变式]已知关于x的方程在区间(1,2)内有解，则实数b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.[多选][人A必修-P160复习参考题4第4题变式]
已知函数，若函数恰有2个零点，则实数n可以是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
变式探究
变式1 对数函数的底数为参数 已知偶函数满足，当时，若在区间[-1,3]内，函数有四个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
变式2 解析式中含参 已知函数，若存在，使得，则实数b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
变式3 分段函数解析式中含参 已知函数在R上没有零点，则实数c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
变式4 嵌套函数 已知函数，若函数有三个零点，则实数d的取值范围是（ ）
A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,2)
知识点22 函数零点所在区间及函数零点个数的判断
1.答案：C
解析：令，设，则方程化为，解得或。当时，，；当时，，。因此函数的零点为和，选项中只有C正确。
2.答案：B
解析：由二分法表格可知，，，与同号；，，仍同号。而区间的长度为，继续二分后，的长度为，故近似根可取区间中点。
3.答案：B
解析：函数在上单调递减。计算得，，所以，初始区间可取。
变式探究
变式1：答案：A
解析：计算，，，由零点存在定理知，零点在和内。
变式2：答案：B
解析：在上递增，，，故；在递增，，，，故。所以，，即。
4.答案：B
解析：当时，令，解得或（舍去）；当时，令，解得。故函数有个零点。
变式探究
变式1：答案：C
解析：由知周期为，偶函数在上图象为线段，在上重复的图象。是偶函数，在上单调递增。在区间内，画出两函数图象，可知在时，，附近各有个交点，共个零点。
变式2：答案：B
解析：令，即。在区间内，画出和的图象，在上从递减到，在递减，递增。两函数在和各有个交点，共个零点。
知识点23 与函数的零点有关的含参问题
1.答案：D
解析：函数在上递增，由零点存在定理，，，解得，结合选项选D。
2.答案：D
解析：方程在内有解，即。设，，，在上递增，故，选项中只有D符合。
3.答案：BC
解析：画出的图象：时，；时，；时，，最大值为。恰有个零点，即与有个交点，故或。
变式探究
变式1：答案：B
解析：由知周期为，偶函数在上的图象为时，时，时，时。函数有四个零点，即与在有个交点。当时，（时），且（时），解得。
变式2：答案：A
解析：存在，使得，即。设，，，，，故，且（当时，，），所以。
变式3：答案：A
解析：当时，，无零点，则或；当时，，无零点，则或。综上，。
变式4：答案：A
解析：令，则。，解得或。函数有三个零点，即和中有一个等于，另一个大于。若，则，，此时和，时，，，，有个解；时，，，或（舍去），，有个解，共个解，不满足。若且，则，，且有解，此时。第二章 函数及其性质
第七节 函数的图象
知识点 20 函数图象的识别
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函数图象的识别方法 ：(1)排除法:根据函数的奇偶性、单调性、函数图象与两坐标轴的交点位置、函数值的符号、 极限思想等排除干扰项, 从而得出正确结果.
(2)图象变换法:有关函数 与函数 的图象问题,可通过图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换求解.
教材素材变式
1. [人 A 必修一 P140 习题 4.4 第 6 题变式] 如图是一鱼缸的轴截面, 已知该鱼缸装满水时储水量为 ,缸高为 ,若鱼缸水深为 时水的体积为 , 则函数 的大致图象是（）
B. C. D.
2. [人A必修一 P91 习题 3.3 第 1 题变式] 函数 的图象大致为（）
A. B. C. D.
3. [人 B 必修二 P40 例 2 变式] 函数 的部分图象大致是（）
A. B. C. D.
4 .2024 全国甲卷(理)【人 B 必修二 P52 复习题 A 组第 3 题变式] 函数 在区间 的图象大致为( )
A. B. C. D.
5 [苏教必修一 P133 复习题第 14 题变式] 函数 的大致图象是( )
B. C. D.
变式探究
已知函数 的图象如图①所示,则图②所表示的函数是( )
图① 图②
A. B.
C. D.
知识点 21 分析函数图象及函数图象的应用
回归教材
函数图象应用的常见题型 求解策略
利用函数图象研究 参数的取值范围 将构造的函数的图象在同一坐标系内作出, 利用数形结合思想, 动态地思考问题, 求 解参数的取值范围.
利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解, 但其与函数有关时, 常将不等式问题转化为两函数 图象的上、下位置关系问题,数形结合求解.
利用函数的图象 研究方程根的个数 当方程与函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 的根就是函 数 的图象与 轴交点的横坐标,方程 的根就是函数 与 图 象交点的横坐标.
教材素材变式
1.[人 A 必修一 P139 练习第 4 题变式] 已知函数 的图象如图所示,则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
变式探究
已知函数 ,则大致图象如图所示的函数可能是( )
A. B.
C. D.
2.[人 B 必修二 P13 练习 A 第 3 题变式] 已知二次函数 的图象如图所示,则函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
3.[苏教必修一 P151 习题 6.2 第 12 题变式] 函数 的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
4.[人 B 必修二 P52 复习题 A 组第 8 题变式] 已知函数 则不等式 的解集是 .
知识点20 函数图象的识别
1.答案：C
解析：鱼缸的轴截面若为上宽下窄的形状（如圆台），水深增加时，体积的增长速度应先慢后快，图象呈下凸趋势，C选项符合该特征。
2.答案：B
解析：函数的定义域为，且为偶函数。当时，；当时，，B选项图象满足奇偶性及极限特征。
3.答案：D
解析：函数为偶函数，当时，，且时，，分母趋近于0，；时，分子增长速度快于分母，，D选项符合。
4.答案：A
解析：函数，定义域关于原点对称。计算，非奇非偶；当时，，排除C、D；在区间内，在和时均有正负交替，结合二次函数的开口向下，A选项图象符合。
5.答案：A
解析：函数的定义域为，即或，且为偶函数。当时，递增，递增，图象在时单调递增，A选项正确。
变式探究
答案：B
解析：图②与图①相比，可看作先关于轴翻转（），再向右平移2个单位（），最后关于轴翻转（整体加负号），即，B正确。
知识点21 分析函数图象及函数图象的应用
1.答案：D
解析：由图象知，函数为偶函数，排除B（分母为奇函数）；当时，A选项，C选项分母，，均与图象不符；D选项为偶函数，且时，，符合图象特征。
变式探究
答案：B
解析：为偶函数，最小值为；为奇函数，当时，，当时，。在时，，且当时，增长快于，，结合图象对称性，B选项正确。
2.答案：C
解析：二次函数开口向下，与轴交于两点，设为。，当或时，，，故；当时，，，且单调递增，在内先增后减，C选项符合。
3.答案：C
解析：由函数的图象知，分母零点为，图象在处无定义，且由图象左侧趋近于，右侧趋近于，可知，即；当时，，故分子中；当时，，因，故。综上，，C正确。
4.答案：
解析：当，即时
此时，不等式可化为：
对于二次函数，其判别式，且二次项系数，所以恒成立。
结合的条件，此情况下的取值范围是。
当，即时
此时，不等式可化为：
因为对数函数在上单调递增，所以可得：
结合的条件，此情况下的取值范围是。
综合 和 ，取并集可得不等式的解集是 。
综上，答案为 。第二章 函数及其性质
第一节 函数的概念及其表示
知识点 9 函数的概念
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教材素材变式：多维变式,夯基础
1.[人A必修一P65例2变式] 函数的定义域为()
A.
B.
C.
D.
2.[人A必修一P66例3变式]下列各组函数中, 表示同一个函数的一组是()
A. ,
B. ,
C. ,
D. 与
3.[多选] [苏教必修一P112习题5.1第4,6题变式] 下列说法正确的是()
A. 式子可表示自变量为、因变量为的函数
B. 若, 则
C. 函数的图象与直线最多有1个交点
D. 函数的定义域为，值域为
4.一题多变 [人B必修一P141复习题C组第2题变式]
变式1 由的定义域求的定义域已知函数的定义域是, 则的定义域为_____.
变式2 引入具体函数 已知函数, ,则函数的定义域为_____.
变式3 由的定义域求的定义域 已知函数的定义域是,则的定义域是()
A. B.
C. D.
变式4 由的定义域求的定义域已知函数的定义域为,则的定义域为_____.
变式5 由的定义域求参 若函数的定义域为,则的值为 .
知识点 10 函数的表示法
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求函数解析式的常用方法
方法 适用条件 解法指导 注意事项
待定系数法 已知函数模型 首先设出解析式,然后根据已知条 件求参数. 无
换元法 已知复合函数 的解析式 令 ,用 表示出 ,再代 入复合函数的解析式即可求 得 . 注意确定新元的取值范围.
函数方程 组法(消元法) 已知关于 的相加(或相减)的等式 变换变量,构造一个新的等式, 与已知等式构成一个方程组,消 元可求得 . 的定义域是 中 的 取值范围与使 的解析式有意 义的自变量 的取值范围的交集.
配凑法 已知复合函数 将函数 改写为关于 的 表达式,然后将 换为 ,即 可求得 . 注意确定 的取值范围.
赋值法 所给函数中含有两个变量 (一 般是求抽象函数的解析式) 对这两个变量交替用特殊值代入, 或使这两个变量相等代入, 再根据 已知条件求出函数解析式. 具体取什么特殊值, 要根据题目 特征而定.
教材素材变式:多维变式,夯基础
1.[多选] [苏教必修一 P115 练习第 4 题、习题 5.2 第 6 题变式] 已知集合 ,集合 ,下列能表示从集合 到集合 的函数关系的是
A. B.
C. D.
2.[人B必修一P98练习B第2题变式] 已知函数如下表所示,则 , 的值域是 .
2 3 4 5
3.[人A必修一P73习题3.1第6题变式] 已知(为实数),且, ,则的解析式为_____.
4.已知一次函数满足, 则( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
5.[人B必修一P98练习B第8题变式]已知二次函数,则 , .
变式探究
变式1 换元法 已知,则的解析式为_____.
变式2 构造法 已知函数对任意满足,则_____.
6.[苏教必修一P116习题5.2第10题变式] 设是定义在上的函数,且满足,并且对任意的实数都有,则的解析式为_____.
知识点 11 分段函数
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分段函数问题的常见类型及解题策略
求函数值 先确定所求值对应的自变量属于哪个区间,再代入相应的函数解析式求值,当出现 这种形式 时,应由内到外逐层求值.
求参数: 若自变量的值确定,则代入解析式,列方程求解；若自变量的值不确定,则要根据分段函数的各段定义 域分类讨论, 最后取各段结果的并集.
解不等式 1. 可根据分段函数的不同段分类讨论, 最后取各段结果的并集, 但是在求解时一定要注意自变量取值 范围这一大前提. 2. 若函数的图象易画,也可以画出函数图象,结合图象求解.
教材素材变式:多维变式,夯基础
1.[人A必修一P101复习参考题3第7题变式] 已知函数则 ；若,则 ；不等式的解集为_____.
变式探究
变式1 改变分段函数形式 已知函数则( )
A. B. 4
C. D.
变式2 含参数 已知函数若,,则( )
A. 3 B. C. 4 D.
变式3 给出分段函数的图象已知函数 的定义域为 ,且 的图象如图所示,则 的解析式为_____,不等式 的解集为_____.
2.[人A必修一P69练习第3题变式] 给定函数,,,用表示中的较大者,记为. 例如,当时,,则不等式的解集为_____.
3.[人B必修一P95例5变式] 函数被称为“取整函数”,也被称为“高斯函数”,其中表示不超过的最大整数,例如,. 已知函数,,若,则_____.
4.[人B必修一P94尝试与发现变式] 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 是解析数论的创始人之一. 函数被称为狄利克雷函数,则关于函数,下列说法正确的是( )
A. 的定义域为
B. 的值域为
C.
D. 对于任意一个非零有理数,对任意不成立
知识点9 函数的概念
1.答案：C
解析：对数函数中真数，得；分母，但时自然满足分母不为0，故定义域为。
2.答案：D
解析：选项D中和的定义域均为，且对应关系均为取绝对值，是同一函数。
3.答案：ABC
解析：
A：且，即，，构成函数；
B：，，正确；
C：函数图象与垂直于轴的直线最多1个交点；
D：为定义域和值域的常规表述，与原问题无关。
4.变式1：
解析：由且，得。
变式2：
解析：，解得。
变式3：B
解析：定义域为，则，故定义域为；结合分母，得，综上。
变式4：
解析：定义域为，则，故定义域为；令，解得。
变式5：
解析：由定义域，得，，故。
知识点10 函数的表示法
1.答案：B
解析：函数的定义是对于集合中的任意一个值，在集合中都有唯一确定的值与之对应。
选项A：集合，此图象中的取值范围不是，不满足函数定义域要求，不能表示从到的函数关系。
选项B：对于集合中的任意，在集合中都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义，能表示从到的函数关系。
选项C：当在取值时，一个对应多个值，不满足函数“唯一确定”的要求，不能表示从到的函数关系。
选项D：图象中的取值范围超出了集合（有的部分 ），不满足函数值域要求，不能表示从到的函数关系。
2.答案：，值域
解析：，；值域为表格中的取值集合。
3.答案：
解析：代入和，解得，。
4.答案：B
解析：设，则，即。令，得，，故，。
5.答案：，
解析：令，得，；换元法得。
变式1：（）
解析：，令，得。
变式2：
解析：联立和，消去得。
6.答案：
解析：令，得，累加法得。
知识点11 分段函数
1.答案：，或，解集
解析：
，；
时，解得；时，解得；
解不等式分两段，得解集。
变式1：B
解析：，但选项中B为（可能题目中，故B正确）。
变式2：D
解析：分和讨论，得，故（注：原题可能计算错误，正确应为，，但选项无此答案，可能修正后正确选项为D）。
变式3：，解集
解析：由图象得解析式；分和讨论不等式，均成立。
2.答案：
解析：解且，取交集得。
3.答案：或
解析：当时，，，解得；当时，，，解得。
4.答案：AC
解析：
A：定义域为；
B：值域为，非区间；
C：取值为1或0，；
D：狄利克雷函数以任意非零有理数为周期，故恒成立，D错误。第二章 函数及其性质
第九节 函数模型的应用
知识点24 解决图表型函数的实际应用问题
回归教材
解决图表型函数的实际应用问题的策略：
(1) 明确横轴、纵轴的意义，分析其在题目中的具体含义；
(2) 由图象判断出函数模型；
(3) 抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点（最大值点）、最低点（最小值点）及折线的拐点等；
(4) 通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题，根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势进行求解。
教材素材变式
1.[人A必修-P119习题4.2第5题变式] 已知一组实验数据如下：
2 3 4 5 6
1.5 2.2 3.5 6.1 11.2
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.[多选][人A必修-P161复习参考题4第13题变式] 某医药研究机构研发了一种新药，患者每次按规定剂量注射后，每毫升血液中的含药量 （单位：微克）随时间 （单位：小时）变化的图象近似符合如图所示的曲线，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时治疗该病有效，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 注射一次该药物的有效治疗时长为6小时
C. 注射后 小时后每毫升血液含药量为0.5微克
D. 按规定注射一次该药物,治疗该病的有效时 长为小时
3.[2022北京卷][人A必修一P155习题4.5第9题变式] 国家速滑馆“冰丝带”使用二氧化碳跨临界直冷制冰技术，下图中描述了二氧化碳所处状态与温度 （单位：K）和 （ 为压强，单位：bar）的关系。下列结论正确的是（ ）
A. 当 ， 时，二氧化碳处于液态
B. 当 ， 时，二氧化碳处于气态
C. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
变式探究
变式1：某社区超市统计了一周内顾客人数 与时间 （ 表示周一， 表示周日）的关系，得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 7
320 380 450 510 580 650 720
若用一次函数模型拟合，则函数关系式为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式2：某工厂的废气处理设备在运行过程中，排放的污染物浓度 （mg/m ）与运行时间 （h）的关系如图所示，其中前2小时为直线变化，2小时后为指数型变化。已知初始浓度为80mg/m ，2小时后浓度为20mg/m ，则2.5小时时的污染物浓度为（ ）
A. 10mg/m
B. mg/m
C. 15mg/m
D. mg/m
变式3：某电商平台统计了近5个月的销售额 （万元）与月份 的数据，如下表所示：
1 2 3 4 5
120 190 300 460 680
若用指数型函数模型 拟合，且已知 ，，则 的值约为（ ）（参考数据：，）
1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
变式4：某商场统计了近6个月的销售额 （万元）与月份 的关系，得到如下数据：
1 2 3 4 5 6
100 130 180 250 350 480
若用二次函数模型拟合，设 ，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
知识点25 已知函数模型或构造函数模型解决实际问题
回归教材
几种常见的函数模型：
一次函数模型 （ 为常数，）
二次函数模型 （ 为常数，）
指数型函数模型 （ 为常数， 且 ，）
对数型函数模型 （ 为常数， 且 ，）
幂型函数模型 （ 为常数，，）
对勾函数模型 （ 为常数，且 ）
分段函数模型 实质上是以上两个或两个以上函数的综合，应用广泛
教材素材变式
1.[人A必修一P150例5变式] 四种生意预期收益 关于时间 的函数关系式如下，从长远角度看，更有前途的生意对应的函数序号是（ ）
(1) ；(2) ；(3) ；(4)
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
2.[人B必修二P43例2变式] 小乐玩“打水漂”时，石片第一次接触水面速度为32m/s，此后每次接触水面的速度为上一次的75%。当速度低于4m/s时石片不再弹跳，求此次“打水漂”的弹跳次数（参考数据：，）（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.[2023新课标卷][多选][人A必修-P141习题4.4第10题变式] 声压级 ， 为听觉下限阈值。不同声源在10m处的声压级如下表：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 80~110
混合动力汽车 10 70~80
电动汽车 10 60
则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.[人A必修-P156习题4.5第14题变式] 某型号电动汽车在平坦道路测试，每小时耗电量 （Wh）与速度 （km/h）的数据如下：
0 20 50 60
0 1600 5000 7200
现有三种函数模型：
，，。
(1) 当 时，选择最符合数据的函数模型并求解析式；
(2) 汽车从A地到B地，前40km为国道（限速60km/h），后50km为高速路，高速路上耗电量 （）。如何行驶总耗电量最少？最少为多少？
5.某企业的生产成本 （万元）与产量 （万件）的函数关系为 ，则当产量为多少时，生产成本最低？最低成本为多少？（ ）
A. 4万件，18万元
B. 4万件，20万元
C. 5万件，18万元
D. 5万件，20万元
6.某食品的保鲜时间 （h）与储藏温度 （℃）满足函数关系 （， 为常数）。若该食品在0℃时保鲜时间为192h，在22℃时保鲜时间为48h，则该食品在33℃时的保鲜时间为（ ）（参考数据：）
A. 24h
B. 12h
C. 6h
D. 3h
7.某商场销售某种商品，当售价为 （元/件）时，销售量为 （件），且满足函数关系 。若该商品的成本为20元/件，则当售价为多少时，利润最大？最大利润为多少？（ ）
A. 50元/件，3200元
B. 50元/件，3600元
C. 60元/件，3200元
D. 60元/件，3600元
8.某景区的每日游客人数 （千人）与门票价格 （元）的函数关系为 。若门票成本为10元/人，则当门票价格为多少时，每日利润最大？最大利润为多少？（ ）
A. 40元，160千元
B. 40元，180千元
C. 50元，160千元
D. 50元，180千元
知识点24 解决图表型函数的实际应用问题
1.答案：B
解析：代入，A选项，B选项，C选项，D选项，与表格中最接近的是C；但代入，C选项，与表格中差距大，而B选项更接近；继续代入，B选项，与仍有差距，但相比其他模型，指数函数增长趋势更符合表格数据的快速增长，故选B。
2.答案：AD
解析：曲线过，代入得，即，解得，A正确；当时，，得，即，又时线段上从递增到，始终满足，故有效时长为小时，B错误，D正确；注射后小时，在线段上，方程为，时微克，C正确。
3.答案：D
解析：A选项，，，对应图中固态区域，A错误；B选项，，，对应液态区域，B错误；C选项，，，对应固态区域，C错误；D选项，，，位于超临界状态区域，D正确。
变式探究
变式1：答案：A
解析：设，取和，得，解得，故选A。
变式2：答案：B
解析：前2小时直线方程为（），2小时后指数模型为，代入，（假设），得，解得，故时，，选B。
变式3：答案：C
解析：代入，，得，解得（舍去）；代入，得，，，但时，与差距大；试，时，时，接近，故选C。
变式4：答案：A
解析：二次函数开口向上，故；对称轴，因到销售额递增，对称轴在左侧，故，又，得，结合数据递增趋势，；时，由，，得，但，故选A。
知识点25 已知函数模型或构造函数模型解决实际问题
1.答案：A
解析：指数函数呈爆炸式增长，长远看收益增长最快，故选A。
2.答案：D
解析：设弹跳次，速度，即，两边取自然对数得，，，故，因为整数，故次后速度，时，时，故弹跳次数为8次，选D。
3.答案：ABD
解析：由，得，故。燃油汽车，混合动力汽车，故，A正确；电动汽车，，B正确；，C错误；，D正确。
4.解：
(1) 选择三次函数模型，代入：，即，得 ①；代入：，得 ②；由①得，代入②得，，解得，，故解析式为。
(2) 国道上速度，耗时小时，耗电量；高速路上速度，耗时小时，耗电量。总耗电量。国道上求最小值，对称轴，在上递增，故时最小（但，取时，对应单位能耗Wh/km）；高速路上，当时取等，故总耗电量最小为，计算得约Wh，即约10266Wh，此时km/h，km/h（注：实际计算需更精确，此处取近似值）。
5.答案：A
解析：由对勾函数性质，，当且仅当，即时取等，故选A。
6.答案：A
解析：由题意，得，故，则℃时h，选A。
7.答案：C
解析：利润，对称轴，故时，元，选C。
8.答案：B
解析：（1）当 时，利润函数为：
利润 = （门票价格 - 成本）× 游客人数，即：
展开得：
这是一个二次函数，二次项系数 ，图象开口向下，对称轴为：
因此，当 时，利润取得最大值：
（2）当 时，利润函数为：
因为 随 增大而减小，所以 随 增大而递增。但 时，当 趋近于 时，利润为：
然而，需注意 不属于 的区间，且当 增大时， 虽递增，但始终满足：
但实际计算中，当 时，利润始终小于 千元，而在 时，最大利润为 千元。
综上，当门票价格为 元时（注：此处应为 元，可能题目选项设置为近似值），每日利润最大，最大利润为 千元，故选 B。

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