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第七章 立体几何与空间向量
第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
知识点 71 基本立体图形
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多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点, 但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 无
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 任一大圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环 无
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[答案 P070]
1.[多选][苏教必修二 P156 例 3 变式]对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法, 其中正确的是（）
A. 由一个长方体割去一个四棱柱所构成
B. 由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C. 由一个长方体挖去一个四棱台所构成
D. 由一个长方体与两个四棱台组合而成
2.[多选] [人 A 必修二 P106 习题 8.1 第 10 题变式] 下列说法正确的是（）
A. 棱台的侧棱延长后必交于同一点
B. 圆锥的轴截面面积不一定是过顶点截面的最大值（当顶角≥90°时）
C. 存在侧面都是矩形的斜棱柱
D. 圆台的所有过旋转轴的截面都是全等梯形
3.[人 A 必修二 P111 习题8.2 第 1 题变式] 如图, 矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 ,则原图形的形状是_____,其面积为_____ .
4.[链接人 B 必修四 P78 知识] 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式. 一幅扇面书法作品如图所示, 经测量,上、下两条弧分别是半径为 27,12 的两个同心圆上的弧,侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为 . 若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面的形状、大小一致, 则该几何体的高为（）
A. 15 B. C. D. 12
5.[人 B 必修四 P71 练习 B 第 6 题变式]在三棱锥P-ABC中，PA=3，∠APB=π/3，过BC的平面截棱锥得△P'BC。当P'B+P'C最小时，截面周长的最小值为______。
知识点 72 空间几何体的表面积
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柱体的表面积 ; 锥体的表面积 ; 台体的表面积 .
旋转体的侧面展开图及其侧面积与表面积
圆柱 圆锥 圆台 球
侧面 展开图 无
侧面积与 表面积公式
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1.[人 A 必修二 P116 练习第 1 题变式] 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为 ,则其表面积为（）
A. B. C. D.
2.[人 A 必修二 P118 例 3 变式] 如图,将一个圆柱 4 等分切割, 再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体, 若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 20 , 则原圆柱的侧面积是（）
A. B. C. D.
3.[人 A 必修二 P116 练习第 3 题变式] 鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构. 这种三维的拼插器具内部的凹凸部分 (即榫卯结构)啮合,十分巧妙. 鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同, 一般都是易拆难装, 如图 1, 这是一种常见的鲁班锁类玩具, 图 2 是该鲁班锁类玩具的直观图. 已知该鲁班锁类玩具每条棱的长均为 1 , 则该鲁班锁类玩具的表面积为（）
图 1 图 2
A. B.
C. D.
4.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 4 题变式] 如图,在四边形 中, ,则四边形 绕 旋转一周所成几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
5.[苏教必修二 P215 复习题第 6 题变式]在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马。已知阳马P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥底面，PA=3，PB=5，则该阳马的体积为（）
A. 16 B. 32 C. 36 D. 48
6.[人 B 必修四 P82 练习 A 第 3,5 题变式] 已知圆锥的高为4，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（）
A. B. C. D. 15
7.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 5 题变式] 若正四面体的棱长为 ,则其外接球与内切球表面积的比值为（）
A. 3:1 B. 9:1 C. 27:1 D.81:1
知识点 73 空间几何体的体积
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空间几何体的体积公式
几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球
体积 公式
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1.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 7 题变式] 某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯, 该玻璃杯可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到的, 其近似模型的直观图如图 2 所示 (图中数据的单位为 ),则该玻璃杯所用玻璃的体积为（）
A. B.
C. D.
2.[人 B 必修四 P88 练习 B 第 5 题变式] 如图,球面上有 三点, , ,球心 到平面 的距离是 ,则球 的体积是（）
A. B. C. D.
3.[苏教必修二 P207 习题 13.3 第 9 题变式] 已知两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上。若球O的体积为V，则这两个圆锥的体积之和的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4.[人 A 必修二 P120 习题 8.3 第 3 题变式] 如图,一个三棱柱容器中盛有水,若底面 水平放置时,水面高为 3 ,那么当侧面 水平放置时,水面恰好经过 的中点,则 _____.
5.[人 B 必修四 P84 例 1 变式] 在棱长为2的正方体 中,,分别是 , 的中点,G在棱DD1上且DG=DD1则点1到平面 的距离为（）
A. B. C. D.
6.[人 B 必修四 P85 例 2 变式] 已知一个正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为 ,过其外接球球心O作平行于底面的平面截得棱台的体积为（）
A. B. C. D.
7.[苏教必修二 P216 复习题第 13 题变式] 如图, 在直角梯形 中, ,沿中位线 折起,使得 为直角,连接 , ,则所得的几何体的体积为_____.
变式探究
一个五面体 . 已知 ,且两两之间距离为 , ,则该五面体的体积为（）
A. B.
C. D.
知识点71 基本立体图形
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1.答案：AB
解析：组合体可看作长方体割去一个四棱柱（A正确），也可看作长方体与两个四棱柱组合（B正确），并非棱台结构（C、D错误）。
2.答案：ABC
解析：
A. 棱台侧棱延长后必交于一点，正确；
B. 圆锥轴截面面积当顶角≥90°时，过顶点最大截面面积为两母线垂直时的截面，正确；
C. 斜棱柱侧面可以都是矩形，正确；
D. 项需保证轴截面与母线夹角相同，错误。
3.答案：平行四边形，
解析：原图形中，，高为，面积为，形状为平行四边形。
4.答案：C
解析：扇面对应圆台，上底半径，下底半径，扇面所在圆锥母线长，小圆锥母线长，则圆台母线，高，选C）。
5.答案：
解析：将三棱锥侧面展开，当为上一点时，最小为在展开图中的线段长。中，，，，；同理，展开后为等边三角形边长，截面周长最小值为（过程简化）。
知识点72 空间几何体的表面积
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1.答案：C
解析：正四棱台侧面为等腰梯形，高，侧面积，上下底面积，表面积。
2.答案：B
解析：新几何体增加的表面积为，原圆柱侧面积，选B。
3.答案：A
解析：鲁班锁由8个正三棱锥和1个正方体组成，每个三棱锥侧面积为，8个三棱锥侧面积，正方体表面积，总表面积，选A。
4.答案：B
解析：绕旋转一周得到组合体为圆锥加圆台，圆锥底面半径，母线，圆台上下底半径，，母线，表面积，选B。
5.答案：A
解析：阳马体积。
6.答案：D
解析：内切球半径满足，，圆锥高，设底面半径为，母线，由相似三角形，且，解得，，侧面积。
7.答案：B
解析：正四面体棱长，外接球半径，内切球半径，表面积比，选B。
知识点73 空间几何体的体积
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1.答案：B
解析：圆柱体积，圆台体积，玻璃杯体积。
2.答案：B
解析：为等腰直角三角形，外接圆半径，球心到平面距离，球半径，体积，选B。
3.答案：A
解析：设球半径为，两圆锥高分别为和，体积和，由，当时，体积和最大为（），选A。
4.答案：4
解析：设三棱柱高为，底面积，水体积。侧面水平时，水面过中点，截面面积为，水体积，，即。
5.答案：D
解析：以为原点建立坐标系，，，，，。平面法向量，，距离，选D。
6.答案：B
解析：正三棱锥底面边长，底面积，侧棱长，高，外接球半径，截面与底面距离为，小棱锥高，体积比为，原棱锥体积，棱台体积，选B。
7.答案：
解析：折叠后为直三棱柱与四棱锥组合体，直三棱柱体积，四棱锥体积，总体积。
变式探究
答案：C
解析：将五面体补成棱柱，体积为，减去补的部分体积，五面体体积。第七章 立体几何与空间向量
第六节 空间向量的应用
知识点83 利用空间向量研究直线、平面的位置关系
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空间位置关系的向量表示：1. 直线 的方向向量分别为 ,则
2.直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则
3.平面 的法向量分别为 ,则
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1.[苏教选必二P35练习第1题变式]
已知空间向量，，，，则（ ）
A. 与方向相同
B. 平面的法向量为，平面的法向量为，则
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
2.[多选][人A选必一P32例4变式]
在正方体中，点为棱的中点，设，，，则（ ）
A.
B.
C. 直线与平面垂直
D. 向量在上的投影为
3.[证明题][人A选必一P33练习第3题变式]
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点。
已知，，。
(1) 证明：平面；
4.[探究题][苏教选必二P53复习题第13题变式]
在长方体中，，，，点在线段上，且。
(1) 若平面，求实数；
(2) 是否存在点使得？若存在，求；若不存在说明理由。
知识点84 利用空间向量求线线角
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已知 为两异面直线, 与 分别是 上的任意两点,设 所成的角为 ,则
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1.[单选][人A选必一P36例7变式]
在正方体ABCD-A B C D 中，E为棱CC 的中点。设直线AD 与BE所成角为θ，则cosθ的值为（ ）
A. B. C. D.
2.[单选][苏教选必二P39练习第3题变式]
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=4。点M在线段PC上移动，设直线AM与BM所成角为α，则sinα的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3.[多选][变式探究]
在长方体ABCD-A B C D 中，AB=3，AD=4，AA =5。点P在棱BB 上移动（不含端点），则（ ）
A. 直线AP与BD 所成角的最小值为45°
B. 当PB=2时，cos(AP与BD 的夹角)=
C. 存在点P使AP⊥BD
D. 当P为BB 中点时，sin(AP与BD 的夹角)=
4.[解答题][人A选必一P41练习第2题变式]
如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA⊥底面ABCD，SA=2。点E是SC的中点。
(1) 求异面直线AE与SD所成角的余弦值；
(2) 在线段AB上是否存在点F，使得EF与SD所成角为30°？说明理由。
知识点85 利用空间向量求线面角
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如图,设直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,直线 与平面 所成的角为 ,向量 的夹角为 ,则有 或 ,因此
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1.[单选][人A选必一P43习题1.4第10题变式]
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，AD=2。设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sinθ的值为（）
A. B. C. D.
2.[单选][苏教选必二P51复习题第6题变式]
已知圆柱OO 的底面半径为2，高为3，点A在底面圆周上，且∠AOO =60°。设直线AO 与圆柱下底面所成角为α，则sinα的值为（）
A. B. C. D.
3.[解答题][人B选必一P68复习题C组第6题变式]
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，PA=4。
(1) 求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
(2) 在线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成角为45°？若存在，求PM:MC；若不存在说明理由。
4.[变式探究题]
在长方体ABCD-A B C D 中，AB=3，AD=4，AA =5。点P在棱BB 上移动（含端点），设直线AP与平面A BD所成角为θ。
(1) 求sinθ的最大值及此时点P的位置；
(2) 当sinθ=时，求PB的长度。
知识点86 利用空间向量求二面角
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设平面 的法向量分别是 , 平面 与平面 所成二面角的大小为 , 则：
当法向量 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时, 与 相等, 此时 .
当法向量 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时, 与 互补, 此时 .
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1.[单选][人B选必一P52例3变式]
在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，，，。设二面角 的大小为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2.[单选][人A选必一P41练习第1题变式]
已知三棱锥 中， 平面 ，，，，二面角 的余弦值为 ，则 的长度为（ ）
A. B. C. D.
3.[单选][变式探究]
在长方体 中，，，。设二面角 的大小为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4.[解答题][北师选必一P134练习第5题变式]
如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的菱形，， 底面 ，。
(1) 求二面角 的余弦值；
(2) 在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？说明理由。
5.[解答题][人A选必一P44习题1.4第18题变式]
在长方体 中，，，。点 在棱 上移动（含端点），设二面角 的大小为 。
(1) 求 的最小值及此时点 的位置；
(2) 当 时，求 的长度。
知识点87 利用空间向量求空间距离
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类别 内容
求点到直线的距离 如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点，设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理，得PQ=
求点到平面的距离 如图，设平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度，因此。
异面直线之间的距离 如图，设分别为异面直线上的点，是与直线都垂直的向量，则异面直线间的距离为，即向量在向量上的投影向量的模。
求直线、平面到平面的距离 均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
教材素材变式
1.[解答题][人A选必一P44习题1.4第17题变式]
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，AD=2。点E为PD的中点。
求点A到直线BE的距离；
(2) 求点C到平面ABE的距离。
2.[多选题][人A选必一P35练习第1题变式]
已知空间中有直线l的方向向量为=(1,2,-1)，平面α的法向量为=(2,-1,3)，点P(1,0,1)在直线l上，点Q(2,1,0)在平面α内，则（）
A. 直线l与平面α平行
B. 点P到平面α的距离为
C. 点Q到直线l的距离为
D. 过点P且平行于平面α的平面与直线l的距离为
3.[解答题][人A选必一P35练习第3题变式]
在长方体ABCD-A B C D 中，AB=3，AD=4，AA =5。
(1) 求平面AB D 与平面BC D的距离；
(2) 证明这两个平面平行。
4.[解答题][沪教必修三P46例1变式]
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，AB=AC=2，∠BAC=120°。
(1) 求异面直线PA与BC的距离；
(2) 在线段PC上是否存在点M，使得异面直线AM与PB的距离为？说明理由。
5.[解答题][人A选必一P44习题1.4第13题变式]
在正方体ABCD-A B C D 中，棱长为2。
(1) 求点A 到平面BDC 的距离；
(2) 在线段A B上是否存在点P，使得点P到平面BDC 的距离为？说明理由。
知识点83 利用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.答案：A
解析：
对于A，，故与方向相同，A正确。
对于B，，故平面α与β不垂直，B错误。
对于C，，故直线l与平面γ不平行，C错误。
对于D，若直线m的方向向量为，平面θ的法向量为，则与不共线，故直线m与平面θ不垂直，D错误。
2.答案：AD
解析：
对于A，，A正确。
对于B，，无法得出，B错误。
对于C，设平面的法向量为，则，，设，可求得与不共线，故直线AE与平面不垂直，C错误。
对于D，向量在上的投影为，设正方体棱长为1，则投影为，D正确。
3.证明：(1)
4.解：(1)以A为原点，AB，AD，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则。
(2)。
知识点84 利用空间向量求线线角
1.答案：A
解析：设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则， ，，，，，，但两直线夹角范围为，故，A正确。
2.答案：C
解析：以A为原点，AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设（），则，，，化简后求的最小值为，C正确。
3.答案：BD
解析：以A为原点，AB，AD，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设（），， ，，。
对于B，当时，，，B正确。
对于D，当P为BB 中点时，，，D正确。
4.解：(1) 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，则。
(2) 设舍去，故不存在这样的点F。
知识点85 利用空间向量求线面角
1.答案：A
解析：以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面PBD的法向量为，，，由得，取，得，，故，，，A正确。
2.答案：A
解析：设圆柱下底面圆心为O，以O为原点，OA为x轴，垂直于OA的直线为y轴，OO 为z轴建立空间直角坐标系，因为∠AOO =60°，底面半径为2，故， ，，下底面法向量为，，C正确。
3.解：(1)以A为原点，AB为x轴，BC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则。
(2)设。
4.解：(1) 以A为原点，AB，AD，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，。
令（），求导得。
令，得。当时，取得最大值，此时最大值为，点坐标为，即。
(2) 由(1)知，两边平方得，化简得，即，解得或，故或。
知识点86 利用空间向量求二面角
1.答案：A
解析：以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面PBD的法向量，平面BCD的法向量为，，A正确。
2.答案：C
解析：以A为原点，AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，，，设，平面PBC的法向量，，，由得，取，得，，故；平面ABC的法向量为。二面角余弦值为，则，解得，C正确。
3.答案：B
解析：以A为原点，AB，AD，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量，，，得；平面CBD 的法向量，，，得。两法向量方向相同，二面角为钝角，故。
4.解： (1) 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，
(2)
5.解：(1) 以A为原点，AB，AD，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设
，求导复杂，代入端点值：；求极值点：令分子导数为，此时，比较得最小值为，此时，即P与B重合。
(2) 由。
知识点87 利用空间向量求空间距离
1.解：(1)以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
(2) 平面ABE的法向量
2. 答案：CD
-解析：
-
3.解：(1)以A为原点，AB，AD，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面
AB1D 的法向量，由，故到平面BC D的距离等于平面AB1D 与平面BC1D的距离，平面BC1D的法向量相同，，距离。
(2) 证明：平面AB D 的法向量也是平面BC1D的法向量，所以两平面平行。
4.解： (1) 以A为原点，AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，，，设与都垂直的向量，则，即，取，得，异面直线PA与BC的距离。
(2)设，设与都垂直的向量，取，得，异面直线AM与PB的距离，解得（舍去），故不存在点M。
5.解：(1)以D为原点，DA，DC，DD 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为2，，平面BDC1的法向量，取，得，故，点A1到平面BDC1的距离。
(2)设为平面BDC 上一点，取，点P到平面BDC 的距离，解得，故存在点P，此时P为A1B中点。第七章 立体几何与空间向量
第五节 空间向量的概念与运算
知识点82空间向量的概念与运算
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共线向量定理 对任意两个空间向量的充要条件是存在实数,使.
共面向量定理 如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.
空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得.我们把叫做空间的一个基底,都叫做基向量.
空间向量的坐标运算 设非零向量;.
常用结论：1.在平面中, A, B, C 三点共线 (其中 ), O 为平面内不同于 A, B, C 的任意一点. 2.在空间中, A, B, C, P 四点共面 (其中 ), 若 A, B, C 三点不共线, 则 A, B, C, P 四点共面 为空间中不同于 P, A, B, C 的任意一点.
补充：向量 在向量 上的投影向量为向量 .
教材素材变式
1.[链接人A选必—P4知识]已知非零向量,,且,,不共面.若,则（）
A. B. C. D.
2.【多选】[人A选必—P22练习第2题变式]已知空间向量，，则下列说法正确的是（）
A. 向量 与 均垂直
B. 向量 与 共面
C. 若 与 分别是异面直线 与 的方向向量, 则 与 所成的角的余弦值为
D. 向量 在向量 上的投影向量为
3.[苏教选必二P17习题6.1第11题变式]已知四面体OABC,是的重心,是上一点,且,若,则为________.
4.[人A选必一P9习题1.1第4题变式]如图,在四面体ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,,,且向量与向量的夹角为,则线段MN的长度为（）
A. B. C. 或 D. 3 或
5.[多选][人A选必一PI2练习第1,2题变式]若构成空间的一个基底,则下列说法中正确的是（）
A. 存在 , 使得
B. 也构成空间的一个基底
C. 若 , 则直线 与 异面
D. 若 , 则 四点共面
6.[2024年新高考Ⅱ卷第5题][人A选必一P4知识] 已知非零向量，，且不共面。若，则（）
A. 9 B. 49 C. 25 D. 36
7.[多选][2025年浙江杭州二模第11题][人A选必一P22练习第2题变式] 已知，，则（）
A. 向量与均垂直
B. 向量可由线性表示
C. 异面直线，所成角的正弦值为
D. 在上的投影向量为
8.[2025年江苏南京调研第15题][苏教选必二P17习题6.1第11题变式] 在四面体中，为的垂心，在上且。若，则______
9.[2024年上海春考第12题][人A选必一P9习题1.1第4题变式] 在四面体中，分别为的中点。若，，且与夹角为，则长度为（）
A. B. C. D. 5
10.[多选][2025年广东六校联考第12题][人A选必一P12练习第1,2题变式] 若是空间基底，则（）
A. 与必共面
B. 也是基底
C. 若，则在由确定的平面异侧
D. 对任意，存在唯一实数使
知识点82空间向量的概念与运算
1. 答案：A
解析：因且不共面，故对应系数成比例：，解得，，即，，故。
2. 答案：BC
解析：
A错误：，不垂直。
B正确：设，即，解得，，共面。
C正确：。
D错误：投影向量为。
3. 答案：
解析：是重心，故。由，得，故。
4. 答案：B
解析：。又（简化为），故（因为中点，，最终得）。则，故。
5. 答案：BC
解析：
A错误：不共面，无法线性表示。
B正确：若共面，则存在使，但不共面，故可作基底。
C正确：，假设与共面，则，矛盾，故异面。
D错误：，则，即，不满足四点共面条件（系数和不为1）。
6. 答案：B
解析：且不共面，故，解得，，故。
7. 答案：ABC
解析：
A正确：，，故与均垂直,正确。
B正确：设，即，解得，，成立。
C正确：，故。
D错误：投影向量为。
8. 答案：
解析：利用垂心性质及向量分解。
9. 答案：A
解析：，则，故。
10. 答案：AD
解析：
A正确：与共面（线性组合）。
B错误：，故共面，不可作基底。
C错误：，系数均不为0，无法判断是否在平面异侧。
D正确：空间向量基本定理。第七章 立体几何与空间向量
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点 74 空间线面位置
回归教材
三个基本事实及基于基本事实 1,2 的三个推论
基本事实 1 过不在一条直线上的三个点, 有且只有一个平面.
基本事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内.
基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.
推论 1 经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
空间直线与平面、平面与平面的位置关系
位置关系 符号语言
直线与 平面 直线 在平面 内
直线 在平面 外 直线 与平面 相交于点
直线 与平面 平行
平面与 平面 平面 与平面 平行
平面 与平面 相交于直线
唯一性定理：(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
教材素材变式
1.[多选][2025年浙江宁波十校联考第11题][人A必修二P128练习第1题变式] 关于空间几何命题正确的是（）
A.平行于同一直线的两平面必平行
B.垂直于同一平面的两直线必平行
C.若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
D.若平面α内存在不共线三点到平面β距离相等，则α∥β
2.[多选][2024年新高考Ⅱ卷第10题][人A必修二P132习题8.4第2(2)题变式] 已知点P在平面α外，直线m α，则（）
A.过P存在唯一平面与m平行
B.过P存在无数直线与m异面
C.过P且与m垂直的直线必与α垂直
D.过P且与α垂直的直线必与m垂直
3.[2025年江苏苏锡常镇调研第6题][苏教必修二P178例3变式] 三个平面两两相交，可能形成的交线条数为（）
A.1条 B.2条 C.3条 D.以上都可能
4.[2024年全国甲卷理科第8题][人A必修二P131练习第4题变式] 设α,β为不同平面，m,n为不同直线，则（）
A.若m∥n,n α,则m∥α B.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
C.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β D.若α∩β=m,n∥m,则n∥α且n∥β
5.[多选][2025年广东六校联考第12题][苏教必修二P174习题13.2(2)第2题变式] 关于空间线面关系错误的是（）
A.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b B.若α⊥β,a⊥α,则a∥β
C.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c D.若a,b在α内射影平行，则a∥b
6.[多选][2024年上海春考第15题][人A必修二P132习题8.4第4,5题变式] 下列命题正确的有（）
A.若a,b异面，则存在唯一平面与a,b等距
B.三个平面最多将空间分成8部分
C.若α∥β,a α,b β,则a,b必不相交
D.若a∥α,P∈α,则存在唯一平面过P且与a平行
7.[多选][人 B 必修四 P96 习题 11-2B 第 5 题变式] 如图,在正方体 中, 为 的中点,直线 平面 ,则下列说法正确的是（）
A. 四点共面 B. 三点共线
C. 平面 D. 与 异面
8.[多选] [人 A 必修二 P131 练习第 2 题变式] 如图所示,在棱长为 2 的正方体 中, 分别为棱 的中点,则下列结论正确的是（）
A. 直线 与 是异面直线
B. 直线 与 是平行直线
C. 直线 与 是相交直线
D. 平面 截正方体所得的截面面积为
9.[人 B 必修四 P95 例 2 变式] 如图,已知正方体 中, 分别是棱 的中点.
(1)画出平面 与平面 的交线,并说明理由;
(2) 设 为直线 与平面 的交点, 求证: 三点共线.
知识点 74 空间线面位置
1. 答案：BD
解析：A项需加不相交条件，C项需"任意"直线
2. 答案：BD
解析：
A错误：过平面外一点P，存在无数个平面与平面α内直线m平行（只要平面包含过P且与m平行的直线）。
B正确：过P的直线中，除了与m平行或相交的直线，其余均与m异面，有无数条。
C错误：过P且与m垂直的直线不一定与α垂直（可能仅在某平面内垂直）。
D正确：过P且与α垂直的直线垂直于α内所有直线，包括m。
3. 答案：C
解析：三个平面两两相交，交线可能为1条（三平面共线）或3条（两两相交且不交于同一直线），故选C。
4. 答案：C
解析：
A错误：若m∥n，n α，则m∥α或m α。
B错误：若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m β。
C正确：m⊥α，m⊥n n∥α或n α，又n⊥β，故α⊥β。
D错误：若α∩β=m，n∥m，则n∥α或n α，同理n∥β或n β。
5. 答案：ABCD
解析：
A错误：a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可能平行、异面或相交。
B错误：α⊥β，a⊥α时，a∥β或a β。
C错误：a⊥b，b⊥c时，a与c可能平行、相交或异面。
D错误：a，b在α内射影平行，a与b可能异面或相交。
6. 答案：BC
解析：
A错误：若a，b异面，存在无数个平面与a，b等距（过公垂线中点且与公垂线垂直的平面唯一，但平移平面可得到无数个）。
B正确：三个平面两两相交，最多将空间分成8部分（如墙角）。
C正确：α∥β，a α，b β，则a，b无公共点，必不相交。
D错误：过平面外一点P和平面内直线a，存在唯一平面过P且与a平行；若P∈α，过P且与a平行的平面有无数个（只要包含过P且与a平行的直线）。
7. 答案：ABC
解析：
A正确：A，C，A ，C 是正方体的体对角线端点，四点共面（在平面ACC A 内）。
B正确：平面C BD与平面ACC A 的交线为C O，而A C∩平面C BD=M，故M在交线C O上，即C ，M，O三点共线。
C正确：BD 平面BB D D，O为BD中点，C O 平面BB D D，故M∈平面BB D D。
D错误：A C与BD均在平面ACC A 和平面ABCD的交线相关平面内，实际A C与BD相交于O点，不是异面直线。
8. 答案：AD
解析：
A正确：BN 平面BCC B ，MB 平面B C D A ，两直线无公共点且不平行，故异面。
B错误：AM与BN在正方体中不平行（可通过向量或几何关系判断）。
C错误：MN 平面C D C，AC 平面ABCD，两平面平行，故MN与AC异面。取的中点，的中点，连接、、、。
因为，分别为棱，的中点，为的中点，所以，又在正方体中，所以。
同时，，，所以，由此可知、、、、五点共面，即平面截正方体所得的截面为等腰梯形。
已知正方体棱长为：
求各边长度：
；
；
；
。
求梯形的高：
过作于，过作于，则。
是直角三角形，，，，根据勾股定理可得。
根据梯形面积公式（其中、 为梯形的上底和下底，为梯形的高），可得截面的面积为：
所以平面截正方体所得的截面面积为，选项D正确。
9.(1) 交线作法及理由：
延长D F与DA的延长线交于点P，延长BE与DA的延长线交于点P（因E，F为中点，D F∥BE，故交于同一点P），连接PB，则PB为平面BED F与平面ABCD的交线。
理由：P∈D F 平面BED F，P∈DA 平面ABCD，故P在两平面交线上；同理B∈两平面，故PB为交线。
(2) 证明：
平面BED F∩平面BB D D=BD ，H∈平面BED F且H∈B D，而B D与平面BED F交于H，故H在两平面交线BD 上，即B，H，D 三点共线。第七章 立体几何与空间向量
第三节 空间直线、平面的平行
知识点 75 直线与平面平行的判定与性质
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基本事实 4: 平行于同一条直线的两条直线平行.
线面平行的 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 那么该直线与此平面平行.
线面平行的 性质定理 一条直线与一个平面平行, 如果过该直线的平面与此平面相交, 那么该直线与交线平行.
教材素材变式
1.【多选】[人 A 必修二 P139 练习第 2 题变式] 如图, 在下列 4 个正方体中, 为正方体的两个顶点, 分别为所在棱的中点,则在这 4 个正方体中,直线 与平面 平行的正方体是（）
A. B. C. D.
2.[人 A 必修二 P134 例 1 变式] 如图,四面体 中,点 分别是 上的点,下列条件中,不能证明 的是（）
A. 分别为 的中点
B.
C. 平面
D.
3.[苏教必修二 P186 习题 13.2(3) 第 5 题变式] 如图, 在三棱锥 中,点 分别为棱 的中点. 若点 在线段 上,且满足 平面 ,则 的值为（）
A. 1 B. 2 C. D.
变式探究
如图,在三棱柱 - 中, 是棱 的中点, 是棱 上一点. 若 平面 ,则 的值为_____.
4.[人 B 必修四 P111 习题 11-3C 第 3 题变式] 如图, 四边形 是平行四边形,点 是平面 外一点.
(1) 求证: 平面 ;
(2) 是 的中点,在 上取一点 ,过 和 作平面交平面 于 ,求证: .
知识点 76 平面与平面平行的判定与性质
回归教材
面面平行的 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 那么这两个平面平行.
面面平行的 性质定理 两个平面平行, 如果另一个平面与这两个平面相交, 那么两条交线平行.
教材素材变式
1. [多选] [人 A 必修二 P142 练习第 2 题变式] 关于平面平行的充分条件，正确的是（）
A.若α内有两条相交直线与β平行，则α∥β
B.若α内存在无数条平行直线与β平行，则α∥β
C.若γ∩α=a，γ∩β=b，且a∥b，则α∥β
D.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
2.[人 B 必修四 P108 练习 B 第 2 题变式] 如图,已知 为 所在平面外一点,平面 平面 ,且 分别交线段 于点 , ,若 ,则 （）
A. B. C. D.
多维探究 若将 “ ” 改成“ ”,则 _____.
3.[人 A 必修二 P143 练习第 3 题变式] 如图,在棱长为 4 的正方体 中, 的中点是 ,过点 作与截面 平行的截面, 则该截面的周长为（）
A. B. C. D. 4
变式探究
如图,正方体 的棱长为 1, 是 的中点, 是正方形 所在平面内一动点,若 平面 ,则点 的轨迹在正方形 内的长度为_____.
4 [人 B 必修四 P111 习题 11-3C 第 2 题变式] 如图, 在正三棱台 中, , 分别是 的中点, 为 上一点.
(1)若 是 的中点,求证: 平面 ;
(2)若 平面 ,求点 的位置,并说明理由.
知识点75 直线与平面平行的判定与性质
1.答案：ABD
解析：
A正确：连接正方体棱中点，构造平行四边形，证AB∥MQ。
B正确：AB与平面MNQ内的NQ平行。
D正确：AB∥NQ（NQ为中位线），故AB∥平面MNQ。
C错误：AB与平面MNQ相交。
2.答案：D
解析：
A、B、C正确：分别通过中位线、平行线分线段成比例、线面平行性质证EH∥FG。
D错误：条件推导出EH与FG可能异面或相交。
3.答案：B
解析：
连接DE，D、E为PB、BC中点，故DE∥PC。若AD∥平面PEF，设EF交AD于点G，则EG∥AD。在△ADC中，E为BC中点，故F为AC三等分点，即。
变式探究答案：2
连接A C交DE于点F，A B∥平面ADE，则A B∥DF。E为CC 中点，故D为BC三等分点，。
4.证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形，故BC∥AD。∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD。
(2) 连接AC交BD于O，M为PC中点，故OM∥AP。∵OM 平面BDM，AP 平面BDM，∴AP∥平面BDM。又平面APGH∩平面BDM=HG，∴AP∥HG。
知识点76 平面与平面平行的判定与性质
1.答案：A
解析：
A正确：面面平行判定定理。
B错误：无数条平行直线可能均平行于两平面交线，无法证面面平行。
C错误：两平面可能相交，交线平行于a、b。
D错误：α、β可能相交（如墙角）。
2.答案：D
解析：平面α∥平面ABC，故△ABC∽△ABC，相似比为，面积比为相似比平方，即。
多维探究答案：
面积比为，相似比为，故，。
3.答案：C
解析：过A 作平行于截面PBC 的平面，取A D 中点Q，AD中点R，连接A Q、QR、RC 、C A ，截面为菱形A QRC ，边长为，周长为。
变式探究答案：
取B C 中点F，BC中点G，连接EF、EG，平面A BE的平行平面交正方形B BCC 于FG，长度为。
证明：(1) 取AB 中点N，连接EN、C N。E为BB 中点，M为AC中点，故EN∥AB且EN=AB，C N∥CM且C N=CM，∴四边形ENMC 为平行四边形，ME∥C N。∵C N 平面AB C ，ME 平面AB1C ，
∴ME∥平面AB1C 。
(2) 设TM交BC于点D，∵AB ∥平面TMF，AB 平面AB C ，平面TMF∩平面AB C =FD，∴AB ∥FD。在正三棱台中，BC=3B C ，TB=2TC，故D为BC中点，M为AC上满足FM∥AB 的点，即M为AC三等分点，靠近C处，。第七章 立体几何与空间向量
数学模型3 基于长方体模型渗透数学建模思想
模型解读
长方体的外接球问题 外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
与三棱锥有关的问题 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.
若三棱锥的四个面均是直角三角形，则可构造长方体，如图2所示.
正四面体PABC可以补形成正方体，正方体的棱长，如图3所示.
若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.
图1 图2 图3 图4
1.[填空][苏教必修二P127复习题第18题变式]
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA=2，PB=3，PC=4，则该三棱锥外接球的表面积为______。
2.[解答题][人B必修四P131复习题C组第5题变式]
在四面体ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=√34，AD=BC=√41。
(1)求该四面体的体积；
(2)求其外接球半径。
3.[单选][人A必修二P142练习第1题变式]
已知直线l,m和平面α,β，下列命题正确的是（）
A. 若l⊥α，m α，则l⊥m
B. 若l∥α，m α，则l∥m
C. 若α⊥β，l α，则l⊥β
D. 若l∥m，m α，则l∥α
4.[解答题][人A必修二P163习题8.6第5题变式]
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD。
(1)证明：PC⊥BD；
(2)在线段PB上是否存在点E，使得直线DE与平面PAC所成角为30°？说明理由。
5.[填空][苏教必修二P132复习题第23题变式]
三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直且PA=1，PB=2，PC=3，则其外接球半径为______。
6.[解答题][人A必修二P158例5变式]
在四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为菱形，AA ∥CC 。证明：A C∥平面AB D。
7.[单选][人A必修二P171复习参考题第12题变式]
已知平面α⊥β，α∩β=l，直线m α，n β，则（）
A. 若m⊥l，则m⊥β
B. 若m⊥n，则n⊥α
C. 若m∥l，则m∥β
D. 若n⊥l，则n⊥α
8.[解答题][人B必修四P130复习题B组第4题变式]
在正四面体ABCD中，E,F分别为AB,CD中点。求异面直线CE与DF所成角的余弦值。
9.[填空][苏教必修二P129复习题第21题变式]
棱长为2的正方体外接球表面积为______。
10.[解答题][人A必修二P165习题8.6第10题变式]
在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥BC。
(1)证明：面PBC⊥面PAB；
(2)若AB=BC=2，PA=4，求二面角A-PC-B的正切值。
1. 答案：29π
解析：将三棱锥补成长方体，外接球直径为长方体对角线，长度为，半径，表面积。
2. 解：(1) 设长方体棱长为、、，由题意得：
，，，
解得，，。
四面体体积长方体体积个三棱锥体积，即。
(2) 外接球半径。
3. 答案：A
解析：
A. 若，，则，正确。
B. 与可能异面，错误。
C. 需垂直于两平面交线才垂直于，错误。
D. 可能在平面内，错误。
4. 证明：(1) 因为底面，所以；又底面为正方形，，，所以平面，故。
(2) 解：以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系。设正方形 边长为 ，，则各点坐标为：
，，，，。
设 在 上，且 ，则 ，故 坐标为 。
平面 的法向量：
，，设其法向量为 ，则
取 ，得 ，即 。
，设直线 与平面 所成角为 ，则
令 （简化计算，不影响比例），代入得：
两边平方后化简：
解得 或 （舍去）。故 ，即 。
5. 答案：
解析：将三棱锥补成长方体，对角线长为，半径。
6. 证明：取中点，连接。通过证明四边形为平行四边形，得，又 平面 ，所以 平面 。
7. 答案：D
解析：根据面面垂直性质定理，若，，则，D正确。
8. 解：设正四面体 的棱长为 ，将其补形为正方体（正方体面对角线长为 ），则正方体棱长为 。以正方体顶点建立坐标系：
，，，，
为 中点，坐标为 ，
为 中点，坐标为 。
向量表示：
，
。
异面直线所成角 满足：
计算分子：，
分母：，
故 。
9. 答案：12π
解析：正方体对角线长为，半径，表面积。
10. 证明：(1) 因为平面，所以；又，，所以平面，而平面，故平面平面。
(2) 解：以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，已知 ，，则各点坐标：，，，。
求平面 的法向量：，，设 ，则
，解得 ，取 ，则 ，即 。
求平面 的法向量：
，，设 ，则
解得 ，取 ，则 ，即 。
设二面角 的平面角为 ，两法向量夹角为 ，则
故二面角的正切值为：第七章 立体几何与空间向量
第四节 空间直线、平面的垂直
知识点 77 线线角——异面直线所成角
一、异面直线所成角的定义
已知两条异面直线 、，经过空间任一点 分别作直线 、，则 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）。
二、异面直线所成角的范围
异面直线所成角的取值范围是 。
当夹角为 时，称两条异面直线互相垂直，记作 。
三、关键提醒：空间角的平行性质
若空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。
该性质是推导异面直线所成角时的重要依据，也用于判断空间角的关系（如通过平行线转化角的大小）。
四、定义的核心要点
1.“平移转化”思想：通过作平行线将异面直线所成的角转化为共面直线（相交直线）所成的角，体现了空间问题平面化的解题思路。
2.点 的任意性：理论上点 可任取，但实际解题中常取特殊点（如线段中点、端点等），以简化计算。
教材素材变式
1.[人 A 必修二 P147 例 1 变式] 在正方体 中, 为 的中点,则直线与 所成的角为（）
A. B. C. D.
变式探究
在棱长为2的正方体 中, 为底面 内 (包括边界) 的动点,满足直线 与直线 所成的角为 ,则线段 扫过的面积为_____.
2.[人 B 必修四 P71 练习 B 第 1 题变式] 如图, 正四棱柱 的侧面展开图是边长为 4 的正方形, 则在正四棱柱 - 中,异面直线 和 所成的角的大小为（）
A. B. 45° C. D. 90°
3.[鄂教必修三 P80 习题 3.3 第 8 题变式] 正三棱锥 的所有棱长均为2, 为 B的中点, 则 与C所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
变式探究
变式 1 变条件 如图,圆锥的轴截面 是边长为 的正三角形,点 是弧 的两个三等分点,则 与 所成角的正切值为_____.
变式 2 变设问 如图,在三棱锥 中,异面直线 与 所成的角为 , 分别为棱 的中点,若 ,则
A. B. 2 C. 或 D.2或
知识点 78 直线与平面垂直的判定与性质
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直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直, 那么该直线与此平面垂直.
直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
结论拓展 三垂线定理:平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.
教材素材变式
1.[多选] [人 A 必修二 P151 例 3、P163 习题 8.6 第 10 题变式] 设 为不同的直线, 为不同的平面,则下列说法正确的有（）
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
2.[多选] [人 A 必修二 P165 习题8.6 第 21 题变式] 如图, 在三棱锥 中, 平面 , 为 的中点, 则下列结论正确的是（）
A. B.
C. 平面 D. 平面
3.[多选] [人 B 必修四 P124 习题 11-4B 第 2 题变式] 如图所示, 圆 所在的平面, 是圆 的直径, 是圆 上异于 的一点, 分别是点 在 上的投影,则（）
A. B.
C. D. 平面
4.[人 A 必修二 P163 习题 8.6 第 4 题变式] 如图,已知三棱柱 中, 平面 为 上的动点.
(1) 当 时,求证: 平面 ;
(2)求三棱锥 的体积.
5.[人 B 必修四 P131 复习题 C 组第 4 题变式] 如图,在梯形 中, ,四边形 为矩形,且 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若点 为 的中点,求 到平面 的距离.
知识点 79 线面角
回归教材
直线与平面所成角的定义: 如图,过斜线 上斜足 以外的一点 向平面 引垂线 , 过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成的角 的取值范围是 .
教材素材变式 多维变式,夯基础
1.[人 B 必修四 P129 复习题 B 组第 3 题变式] 如图, 在正四面体 中, 分别为 的中点,则 与平面 所成角的正切值为（）
B. C. D.
2.[多选][人 A 必修二 P152 例 4 变式]在长方体中，已知，，则（）
A. 直线与平面所成角为
B. 直线与平面所成角为
C. 点到平面的距离为
D. 直线与所成角的余弦值为
变式探究
在棱长为3的正方体中，，分别在棱，上移动且，当三棱锥体积最大时，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C.1 D.
3.[人 B 必修四 P130 复习题 B 组第 17 题变式] 已知球半径为3，，，在球面上，，当点在球面上运动时，若直线与平面所成角的最大值为，则到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.[人 A 必修二 P171 复习参考题 8 第 13 题变式] 在四棱锥 中, 平面 , 为 的中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
知识点 80 二面角
回归教材
二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平 面叫做二面角的面.
二面角的平 面角的定义 在二面角的棱上任取一点, 以该点为垂足, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线, 则这两条射 线所构成的角叫做二面角的平面角.
范围
特别提醒:平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面 与平面 的夹角.
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1.[人 A 必修二 P164 习题 8.6 第 18 题变式] 在四面体 中,已知 为等边三角形, 为等腰直角三角形,斜边 ,则二面角 的大小为（）
A. B. C. D.
答题策略,解析册P079
2.[链接人 B 必修四 P119 例 1 下边的知识]如图, 正三棱柱 的所有棱长都为 2,则平面 与平面 夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
3.[人 A 必修二 P164 习题 8.6 第 18 题变式] 如图,在三棱锥 中, 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且 与平面 所成角的正切值为 ,求二面角 的余弦值.
4.[人 B 必修四 P125 习题 11-4C 第 1 题变式] 如图, 在直三棱柱 中, 是以 为斜边的等腰直角三角形, ,点 分别为棱 上的点,且 .
(1) 若 ,求证: 平面 ;
(2)若二面角 的大小为 ,求实数 的值.
知识点 81 平面与平面垂直的判定与性质
回归教材
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线, 那么这两个平面垂直.
平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直, 如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线, 那么这条直线 与另一个平面垂直.
教材素材变式
1.[多选] [人 B 必修四 P128 复习题 A 组第 22 题变式] 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面, 下列结论中正确的有（）
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
2.[多选] [人 A 必修二 P161 例 10 变式] 如图, 四边形 中, , ,将 沿 折起,使平面 平面 ,构成三棱锥 ,则在三棱锥 中,下列结论正确的是（）
A. 平面
B. 平面 平面
C. 平面 平面
D. 平面 平面
3.2023 全国甲卷(文) [人 A 必修二 P159 练习第 4 题变式] 如图,在三棱柱 中, 平面 .
(1) 证明: 平面 平面 ;
(2)设 ,求四棱锥 的高.
4.[苏教必修二 P216 复习题第 13 题变式] 如图, 已知多面体 中, 是全等的正三角形,平面 平面 ,平面 平面 .
(1)若 ,求证: .
(2)探索 四点是否共面？若共面,请给出证明; 若不共面, 请说明理由.
知识点77 线线角
1.答案：B
解析：取中点，连接，。设正方体棱长为2，则，，。由余弦定理得，异面直线所成角取锐角，故余弦值为，对应选项B。
变式探究答案：
解析：与平行于，故，，，轨迹是以为圆心，2为半径的圆在底面内的部分（四分之一圆），面积为。
2.答案：C
解析：正四棱柱侧面展开图为边长4的正方形，故高为4，底面边长1。设底面顶点为，侧面展开后为上底面顶点，为侧面中点，连接，平移至，则为等边三角形，异面直线所成角为。
3.答案：A
解析：取中点，连接，，故为所求角。，，由余弦定理得。
变式1答案：
解析：与异面，平移至（为圆心），为所求角，，，为等边三角形，，但实际圆锥中，，，，，正切值为。
变式2答案：C
取中点，连接，，，或，由余弦定理得或，故或。
知识点78 直线与平面垂直的判定与性质
1.答案：ACD
解析：
A正确：，，。
B错误：需相交才能证。
C正确：且，。
D正确：，，。
2.答案：ABC
解析：
A正确：平面，平面。
B正确：，为中点\Rightarrow AD\perp PB)，又平面。
C正确：由B知平面。
D错误：与不垂直，故不垂直平面。
3.答案：ABC
解析：
A正确：平面，平面，又平面。
B正确：，平面。
C正确：由A知。
D错误：不垂直，故不垂直平面。
4.证明：(1) ，为中点，。又平面，故平面。
(2) ，到平面的距离为，，体积为。
5.证明：(1) 四边形为矩形\Rightarrow EF\parallel AC)。在梯形中，，，，得。又平面，故平面平面。
(2) 以为原点建系，，，，。平面的法向量，，距离。
知识点79 线面角
1.答案：B
解析：取中点，连接，，，在平面的射影为，设正四面体棱长为2，，，故。
2.答案：BCD
解析：
A错误：与平面夹角的正切值为，故夹角不为。
B正确：建立坐标系，，，平面的法向量，，故夹角为。
C正确：点到平面的距离用等体积法得。
D正确：，，。
变式探究答案：D
体积最大时平面，设，，，得。，，平面的法向量，，线面角正切值为的倒数，计算得。
3.答案：C
解析：设到平面的距离为，直线与平面所成角最大时，为过作平面垂线的垂足延长线与球的交点，，代入得。
4.证明：(1)建立空间直角坐标系：以 为原点，分别以 、、 所在直线为 、、 轴，建立空间直角坐标系。则各点坐标为：，，，，（因 ，，故 的 坐标与 相同， 坐标为 ）。
为 中点，坐标为 。
构造平面 的法向量与向量
平面 的法向量：（或直接取 轴方向向量）。
向量 。
步骤3：证明向量 与平面 平行
平面 内取向量 ，。
设 ，即：
解得 ，，说明 可由平面 内的向量线性表示，故 平面 。
（2）求平面 的法向量：
平面 中，，。
设法向量为 ，则：
解得 ，取 （ 轴方向向量）。
计算向量 与法向量的夹角
，法向量 ，设夹角为 ，则：
求线面角的正弦值
设直线 与平面 所成角为 ，则 。
知识点80 二面角
1.答案：B
解析：取中点，连接，，，故为二面角平面角。，，，由余弦定理得，故夹角为。
2.答案：C
解析：取中点，中点，连接，平面与平面的法向量分别为和，计算得夹角余弦值为。
3.证明：（1）计算线段长度
， 为 中点，故 。
在 中，，，由勾股定理逆定理：，故 为等腰直角三角形，，且 。
证明 和
在 中，， 为 中点，故 ，且 。
在 中，，，，满足 ，故 。
且 ，，故 平面 。
（2）建立空间直角坐标系
以 为原点，、、 分别为 、、 轴，坐标为：
，，，，。
设 在 上，（），，故 。
利用线面角条件求
与平面 所成角的正切值为 ，即 （ 为 到 的水平距离）。
，
由 ，解得 ，故 。
求平面 和平面 的法向量
平面 的法向量：已证 平面 ，故 。
o平面 ：向量 ，，
设法向量 ，则：
计算二面角的余弦值
设二面角为 ，两法向量夹角为 ，则：
由图知二面角为锐角，故余弦值为 。
4.证明：（1）建立空间直角坐标系
设 ，则 ， 中 ，。
以 为原点，、、 为 、、 轴，坐标为：
，，，，，。
时， 为 中点，坐标 ； 为 中点，坐标 。
构造平面 的向量与法向量
向量 ，，
设法向量 ，则：
令 ，得 ，，故 。
证明 平面
向量 ，计算 ，故 ，又 平面 ，故 平面 。
（2）用 表示点坐标
，在 上， 的坐标为 （通过向量分解：，故 ）；
， 的坐标为 。
求平面 和平面 的法向量
平面 ：，，法向量 （垂直于 平面）。
平面 ：，，
设法向量 ，则：
令 ，得 ，，故 。
利用二面角条件求
二面角大小为 ，两法向量夹角余弦值为 ，则：
平方后化简：，
即 ，解得 ，因 ，故 。
知识点81 平面与平面垂直的判定与性质
1.答案：BC
解析：
A错误：不相交时，可能平行。
B正确：，，。
C正确：，，。
D错误：可能在内。
2.答案：BD
解析：折叠后，平面平面平面，又平面平面平面，平面平面。
3.证明：(1) 平面，，故平面平面平面。
(2) 解：设高为，，，。
四棱锥的体积可通过三棱柱体积减去三棱锥的体积求得：
又四棱锥体积公式为，其中，则：
4.证明：(1) 取中点，中点，连接、、。
和为全等正三角形，平面平面，平面平面，则，。
由平面垂直性质，平面，平面，故。
已知，（由全等正三角形边长为2），在中，，，由余弦定理得，则。
但，，且，故四边形为平行四边形，。
又、为中点，，故，即、、、四点共面？ 与(1)问矛盾，实际需证：
由平面，平面，得；同理，，但更简单方法：取中点，连接、，，，因中，，得，但，，且平面平面，交线为，故，同理，又，，则，即），此时平面，故。
(2) 由(1)中且（正三角形高），故四边形为平行四边形，。又、为、中点，，故，即与共面，所以、、、四点共面。

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