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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节 两个计数原理
知识点111 两个计数原理
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1.[人A选必三P11练习第3题变式]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）
A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种
2.[人A选必三P8例7变式]如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（　　）
A. 8 B. 4 C. 5 D. 3
3.[人A选必三P11练习第2题变式]定义:各位数字之和为8的三位数叫“幸运数”.比如116,431.则所有“幸运数”的个数为（）
45 B. 21 C. 35 D. 36
4.[多选][人A选必三P12习题6.1第8题变式]有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
5.[入B选必二P8练习B第2题变式]当地时间2024年7月14日13时,2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递,其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成,若甲传递第一棒,最后一棒由2名火炬手共同完成,且乙、丙不共同传递火炬,则不同的火炬传递方案的种数为 .
6.[人A选必三P27习题6.2第17题变式]如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边） 的两个部分涂不同的颜色，那么共有 种不同的涂色方法．
7.将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有 种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有 种（用数字作答）．
8.[多选]现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法 正确的是（ ）
A．若自由放置，共有3125种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
9．已知三棱锥 的侧棱长相等，且侧棱两两垂直.设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点 的点， 记 .若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P个数为 .（用具体数字作答）
10．定义：一个2n位数，前n位数字之和为 ，后n位数字之和也为 ，则称这个2n位数为 吉祥数，例如102111为 (3,3)吉祥数，141042为(3,6)，则所有的(4,3)吉祥数的个数为 ．
11．现有本班5名男生和4名女生，求
(1)若从这5名男生中选出2名，分别担任体育委员和劳动委员；再从4名女生中选出3名，分别担任班长、学习委员、和纪律委员，一共有多少种选法？
(2)若从5名男生和4名女生中各选出2人参加中华优秀传统文化知识竞赛，有多少种选法？
(3)若从5名男生和4名女生中各选出2人, 男生一组, 女生一组, 去敬老院参加敬老活动, 其中一组负责拖地, 另一组负责叠床铺. 有多少种洗法 .
1. 答案：C
解析：先选1种相同的读物，有种；甲从剩下5种选1种，乙从剩下4种选1种，共种。
2. 答案：A
解析：分两类：
闭合左侧开关：2条（上或下）；
闭合右侧开关：4条（上-上，上-下，下-上，下-下）；
共条？（注：可能图中开关分布不同，正确思路为分步：左2×右4=8条）。
3. 答案：D
解析：设三位数为，，。
转化为（），非负整数解数为。
4. 答案：ACD
解析：
A：每人3种选择，，正确；
C：每项6人可选，，正确；
D：排列数，正确。
5. 答案：10
先考虑最后一棒的方案,再考虑中间两棒的方案即可.
最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人,也可以是从乙、丙中选1人,从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成,所以最后一棒的安排方案有：
种;
安排最后一棒后,剩余两人安排在中间两棒,方案有： = 2种,
由分步计数乘法原理,不同的传递方案种数为： 种.
故答案为：10
6. 答案：260
解析：分步涂色：
A有5种，B有4种，C与A、B不同：
若C与A同色，则D有4种；
若C与A不同色，则C有3种，D有3种；
总。
7. 答案：1680,912
解析：
首先任选4个格子填1,有 种,再将余下的4个数填入其它4个格子,有 种,
所以,不同的填数方法共有 种,
要使填入的每行数之和为偶数,第1、2行填1的个数有 三种情况,
若(0,4),即第 1 行 ,第 2 行 ,此时有 种；
若(2,2),即第 1 行、第 2 行各2个 1 ,此时有 种；
若(4,0),即第 1 行4个 1,第 2 行0个 1,此时有 种；
所以共有 种.
故答案为：1680,912
8. 答案：AC
解析：
A：每个球5种放法，，正确；
C：选2个盒子编号与球相同：，剩下3个球错位排列有2种，总，正确；
D：相同球恰有1空盒，即放入4个盒子，每个至少1球，，正确（但D选项描述可能对应正确）。
9. 答案：12
解析：三棱锥侧棱两两垂直且等长，设为正方体一角，集合D中有2个元素，即点P到2个顶点距离相等，到另2个顶点距离相等，且距离不同。
每条棱上（非顶点）到两端点距离不同，但可能到另外两顶点距离相等，每个面内（非棱）点到两顶点距离为棱长，到另两顶点距离为面对角线，符合条件的点为各面的中心（每个面1个）和各棱的中点（每条棱1个），共个。
10. 答案：200
解析：4个数数字之和为3,可能有 三种情况,
第一步,确定前4位数字之和为3的情况：
前4位中首位不能为0,若 则有 种情况,若 则有 种情况,若 则有1种情况,所以前4位数
字共有10种情况；
第二步,确定后4数字之和为3的位情况,
若 则有 种情况,若 则有 种情况,若 则有 种情况,所以后4位数字共有20种情
况：
综上,共有 种(4,3)吉祥数.
故答案为：200
11.解：
(1)从这5名男生中选出2名,分别担任体育委员和劳动委员有A = 20种；
从4名女生中选出3名,分别担任班长、学习委员、和纪律委员有A = 24种。
一共有 种选法:
(2)从中选出男、女各2名的不同选法有 种.
(3)从中选出男、女各2名一组负责拖地,另一组负责叠床铺,有 种.第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第五节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
知识点119 事件的相互独立性及相互独立事件概率的计算
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第1题[填空题][人A必修二P252练习第2题变式]
题目：设事件A、B、C两两独立，且，。若事件D满足，则______。
第2题[选择题][人A必修二P267复习参考题10第7题变式]
题目：某礼盒中有3个不同品牌的礼品，甲、乙两人随机各取1个。设事件A为“甲取到品牌X”，事件B为“乙取到品牌Y”，事件C为“甲、乙取到相同品牌”。以下结论正确的是（ ）
A. A与B互斥 B. B与C相互独立 C. A与C对立 D. A、B、C两两独立
第3题[多选题][人A必修二P251例2变式]
题目：设事件A、B相互独立，，。以下结论正确的有（ ）
A. 与独立
B. 与对立
C.
D.
第4题[解答题][人B必修二P120例3变式]
题目：甲、乙比赛，每轮甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛进行到一方赢得两轮为止。求：
（1）甲恰好赢两轮的概率；
（2）甲或乙至少赢一轮的概率。
知识点120 条件概率与全概率公式
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第1题 [填空题] [人A选必三P46例1(2)变式]
题目：将数字1,2,3,4,5,6随机排列，若数字1和3相邻，则数字2,4,6也相邻的概率为______。
第2题 [填空题] [2024上海卷变式]
题目：题库有A组题（正确率80%）和B组题（正确率60%），A组占总题量40%。从题库中随机选题，答对的概率为______。
第3题 [选择题] [人A选必三P49知识变式]
题目：如图，单位正方形被涂色部分面积为，则涂色区域表示的概率是（ ）。
选项：
A. B. C. D.
第4题 [填空题] [人B选必二P50变式]
题目：已知，，则，求 。
第5题 [多选题] [人A选必三P47例2变式]
题目：事件A、B满足，，，则（ ）。
选项：
A. B. C. D.
第6题 [解答题] [人B选必二P60例3变式]
题目：箱子中有3蓝、2红、1黑球，随机取两球。已知至少一球为蓝，求另一球为红或黑的概率。
第7题 [解答题] [人A选必三P50例5变式]
题目：甲箱有2红1白球，乙箱有1红2白球。掷骰子决定选箱（点数≤3选甲，否则选乙），再从箱中抽两球。求：
(1) 抽到两红球的概率；
(2) 若抽到两红球，求来自甲箱的概率。
知识点119 事件的相互独立性
1.答案：
解析：由容斥原理，。因两两独立，，同理，代入得。
2.答案：B
解析：
A项：甲取X和乙取Y可同时发生，不互斥；
B项：验证，计算知成立；
C项：A与C非对立，可同时不发生；
D项：两两独立不满足。
3.答案：ACD
解析：
A项：独立事件的对立事件仍独立；
C项：；
D项：，正确。
4.解：(1) 甲赢两轮的序列为“甲甲” “甲乙甲” “乙甲甲”，概率为；
(2) “至少赢一轮”的对立事件为“双方均未赢”，不可能发生，故概率为1。
知识点120 条件概率与全概率公式
1.答案：
解析：1和3相邻的排列有种。1、3捆绑与2、4、6捆绑（内部排列），两捆绑体排列，共种，概率。
2.答案：0.68
解析：全概率公式：正确。
3.答案：B
解析：涂色区域表示在A发生的条件下B发生的概率，即。
4.答案：0.38
解析：全概率公式：。
5.答案：ABCD
解析：
A项：；
B项：；
C项：；
D项：。
6.解：设事件A=“至少一蓝”，事件B=“另一球为红或黑”。
总取法，A的取法，
A∩B的取法，
概率。
7.解：(1) 设事件A=“选甲箱”，=“选乙箱”，B=“抽到两红球”。
，，，
全概率：。
(2) 贝叶斯公式：。第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第七节 二项分布、超几何分布与正态分布
知识点123 二项分布
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二项分布(掌握二项分布及其数字特征,能解决简单的实际问题):一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为,用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为(),此时称随机变量X服从二项分布,记作.一般地,如果,那么.
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第1题[多选题][人B选必二P83练习B第4题变式]
题目：若随机变量，且，则下列结论正确的是（ ）。
A. B. C. D.
第2题[苏教选必二P144复习题第7题变式]
题目：已知随机变量，若，则 。
变式探究1[变条件]
题目：设随机变量，，若，则 。
变式探究2[变情境][多选题]
题目：某射手对同一目标独立地射击四次，已知一次也没命中的概率为，若该射手射击四次命中次数为，每次命中的概率为，则下列结论正确的是（ ）。
A.
B.
C. 或
D.
第3题[人A选必三P81习题7.4第3题变式]
题目：一质点从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，每次移动一个单位长度。经过5次移动后，求该质点位于的位置的概率。
第4题[人A选必三P81探究与发现变式]
题目：若，则（，）取得最大值时， 。
变式探究[篮球投篮问题]
题目：某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮结果相互独立，在他的10次投篮中，最有可能投中的次数为，则的值为（ ）。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第5题[苏教选必二P126例3变式]
题目：某产品出厂前需两轮检测，第一轮不合格概率为，第二轮不合格概率为，两轮检测独立。
(1) 求该产品不能销售的概率；
(2) 若产品可销售获利40元，不可销售亏损20元，一箱4件，求一箱获利的分布列和数学期望。
知识点124 超几何分布
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第1题[人A选必三P78例5变式]
题目：数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，某同学只能正确求解其中的4道题，求该同学能及格（至少解答正确2道题）的概率 。
第2题[多选][人B选必二P80例4变式]
题目：试验一：从10个球（4红6黑）中有放回摸3个，记红球个数为；试验二：无放回摸3个，记红球个数为。比较期望和方差，正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
第3题[苏教选必二P131例2变式]
题目：盒中有个球（红、2绿、3黄），任取3个球至多1个红球的概率为，求及红球个数的数学期望 。
第4题[人A选必三P79例6变式]
题目：竞赛分两轮：第一轮从5题选3题，选手甲只能答对2道，答对1题得3分，答错扣1分；第二轮3题，每题答对概率，答对得5分。
(1) 求两轮得分相等的概率；
(2) 比较两轮得分和的数学期望。
知识点125 正态分布
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正态密度曲线的特点 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线对称;③曲线在处达到峰值(最大值);④当时,曲线上升,当时,曲线下降,并且当无限增大时,曲线无限接近x轴;⑤曲线与x轴之间的面积为1;⑥当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中,越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;⑦当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化沿x轴平移.
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第1题[多选][人A选必三P87练习第1题变式]
题目：某市高三学生数学成绩近似服从正态分布，其密度函数为，下列结论正确的是（ ）。
A. 平均成绩为80分
B. 分数在120分以上人数与60分以下人数相同
C. 分数在110分以上人数与50分以下人数相同
D. 标准差为10
第2题[多选][人A选必三P85图7.5-5、图7.5-6变式]
题目：设，，根据正态曲线判断正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
第3题[人B选必二P97练习A第1题变式]
题目：已知，，，求。
第4题[多选][人B选必二P97练习A第3题变式]
题目：100名学生地理等级分，下列正确的是（ ）。
A. 标准差为5
B. 超过80分约45人
C. [70,80]内约48人
D.
第5题[2024新课标I卷][多选][人A选必三P87练习第2题变式]
题目：以往亩收入，推动出口后，则（ ）。
A.
B.
C.
D.
第6题[人B选必二P97练习B第1题变式]
题目：，若，求实数= 。
变式探究1[变设问]
题目：，，，则（ ）。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
变式探究2[变条件]
题目：，若，则（ ）。
A. 0 B. 2 C. 4 D. -2
知识点123 二项分布
第1题（多选题）
答案：AC
解析：
由，，解得。
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误。
第2题（填空题）
答案：
解析：
由，，解得。
。
变式探究1（填空题）
答案：
解析：
由，得。
，。
变式探究2（多选题）
答案：ABD
解析：
由，得，故，A、D正确，C错误；
，B正确。
第3题（解答题）
解：位于需至少向右移动3次。
设向右移动次，，则概率为：
第4题（填空题）
答案：6
解析：
，当最大时，？不，实际通过比较相邻项：
，解得，故或7，再比较和，得。
变式探究（选择题）
答案：B
解析：
，，最可能次数。
第5题（解答题）
解：(1) 不能销售的概率为两轮至少一轮不合格：
。
(2) 分布列：可能取值为，
（），
数学期望元。
知识点124 超几何分布
第1题（填空题）
答案：
解析：
至少答对2道的概率为：
第2题（多选题）
答案：AC
解析：
试验一：，，；
试验二：服从超几何分布，，
，故A、C正确。
第3题（填空题）
答案：，
解析：
至多1个红球的概率为：
，解得
服从超几何分布，。
第4题（解答题）
解：(1) 第一轮得分可能为：答对1题得分，答对0题得分，答对2题得分。
第二轮得分，分不可能（每题5分，至少0或5分），故仅当第一轮得5分且第二轮得5分时相等。
第一轮得5分的概率为，第二轮得5分的概率为，但两轮得分相等需均为5分，故概率为？不，第一轮得5分是答对2题，得分，第二轮得5分是答对1题，，故概率为：
第一轮分第二轮分
(2) 第一轮得分：
，，，
；
第二轮得分，，故。
知识点125 正态分布
第1题（多选题）
答案：ACD
解析：
密度函数中，，故A、D正确；
120分对应，60分对应，非对称，B错误；
110分对应，50分对应，对称，C正确。最终答案应为ACD。
第2题（多选题）
答案：BC
解析：
由图知的对称轴在左，在右，故，A错误；
的曲线更“高瘦”，故，B正确；
，C错误；
，，D正确。故答案BD。
第3题（填空题）
答案：0.8
解析：
由知，故。
第4题（多选题）
答案：AD
解析：
，A正确；
，故超过80分约50人，B错误；
对应到，概率约0.3413，人数约34人，C错误；
对应到，概率约，D正确。
第5题（多选题）
答案：BCD
解析：
，，A错误，B正确；
，，故C、D正确。
第6题（填空题）
答案：2
解析：
由正态分布对称性，，解得，。
变式探究1（选择题）
答案：B
解析：
，，故，对称轴。
变式探究2（选择题）
答案：D
解析：
由，知与关于对称，故，解得，。第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第六节 离散型随机变量的分布列和数字特征
知识点121 离散型随机变量分布列的性质
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第1题（选择题 人A选必三P59例1变式）
题目：某实验的成功率为，失败率为，且。若随机变量表示实验成功次数，则的值为（ ）。
A. B. C. D.
第2题（解答题 人B选必二P73练习A第2题变式）
题目：设离散型随机变量的分布列为：
1 2 3 4
P 0.1 0.3 0.2
求参数的值。
第3题（多选题 人A选必三P61习题7.2第4题变式）
题目：设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2
P 2 3
则下列说法正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
第4题（解答题 人A选必三P71习题7.2第5题变式）
题目：甲、乙两人参加知识竞赛，每题答对的概率分别为和，且相互独立。设为甲答对的题数，为乙答对的题数。
(1) 求的分布列；
(2) 求两人至少答对一题的概率；
(3) 若比赛规则为答对2题及以上获胜，求甲获胜的概率。
变式探究
变式1变设问（填空题）
题目：设随机变量的分布列为：
1 2 3
P 0.4 0.3
若，则 。
变式2知识综合
题目：设离散型随机变量的分布列满足（），则 。
知识点122 离散型随机变量的数字特征
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第1题（多选题 人A选必三P70练习第1题变式）
题目：
设离散型随机变量 的分布列如下：
1 2 3
P
已知 ，且 。则下列结论正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
第2题变式探究（多选题）
题目：
设离散型随机变量 的分布列为：
-1 0 1
P
若 ，则下列结论正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D. 随 增大而增大
第3题（多选题 人A选必三P69例6变式）
题目：
某公司投资两个项目，收益 （万元）的分布列如下：
5 10 15
若 ，则下列结论正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D. 投资风险较高
第4题（解答题 人A选必三P91复习参考题7第9题变式）
题目：
某保险公司推出车险，年度索赔次数 的分布列如下：
0 1 2 3
0.6 0.2 0.15 0.05
每笔索赔金额固定为5000元，保费为2000元/年。
(1) 求保险公司在该险种上的毛利润 （保费收入－索赔支出）的数学期望；
(2) 若某客户过去5年索赔次数为 ，用频率估计概率，求该客户下一年索赔次数不少于2的概率；
(3) 若保费调整为2500元，其他不变，比较调整前后毛利润期望的大小。
变式探究（多选题）
题目：
设离散型随机变量 的分布列为：
1 2 3
其中 。则下列结论正确的是（ ）。
A. 随 增大而增大
B. 的最大值为1
C.
D.
知识点121 离散型随机变量分布列的性质
1.答案：B
解析：由成功与失败概率和为1，即 ，结合 ，联立解得 。
2.解：由分布列性质，，解得 。
3.答案：ABCD
解析：
由 得 ；
；
；
。
4.解：(1) 可能取值为0,1,2，分布列为：
0 1 2
(2) 至少答对一题的概率为 ；
(3) 甲获胜概率为 。
变式探究
变式1
答案：0.3
解析： 对应 ，故 。
变式2
答案：
解析：由 得 ，故 。
知识点122 离散型随机变量的数字特征
1.答案：AD
解析：
，A正确；
由 ，解得 ，，错误；
，D正确。
2.答案：ABD
解析：
，A正确；
，B正确；
，C错误；
随 增大而增大，D正确。
3.答案：ABCD
解析：
，A正确；
由 ，解得 ，，B正确；
，C正确；
较大，风险高，D正确。
4.解：(1) ，
元；
(2) 索赔次数≥2的频率为 ，估计概率0.4；
(3) 调整后 元，比调整前增加500元。
变式探究
答案：ACD
解析：
，C正确；
，随 增大而增大，A正确；
，D正确；
，故 ，B错误。第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第二节 排列与组合
知识点112 排列问题
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1.排列数公式: 且.
2. 求解有限制条件的排列问题的主要方法
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1.[人A选必三P38复习参考题6第8题变式]已知有 7 名同学，其中 4 名男同学，3 名女同学（这 7 名同学中有甲、乙、丙），若这 7 名同学站成一排，则共有______种不同的排法。
多维探究
(1) 若这 7 名同学站成两排，前排 3 名同学，后排 4 名同学，则共有______种不同的排法.
(2) 若这 7 名同学站成两排，前排 3 名女同学，后排 4 名男同学，则共有______种不同的排法.
(3) 若这 7 名同学站成一排，其中甲站在中间的位置，则共有______种不同的排法.
(4) 若这 7 名同学站成三排，第 1 排站 2 名同学，第 2 排站 3 名同学，第 3 排站 2 名同学，其中甲站在第 2 排的中间位置，则共有______种不同的排法.
(5) 若这 7 名同学站成一排，则甲、乙只能站在两端的排法共有______种.
(6) 若这 7 名同学站成一排，则甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有______种.
(7) 若这 7 名同学站成一排，则甲、乙必须相邻的排法共有______种.
(8) 若这 7 名同学站成一排，则 4 名男同学必须站在一起，3 名女同学也必须站在一起的排法共有______种.
(9) 若这 7 名同学站成一排，则甲、乙必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有______种.
(10) 若这 7 名同学站成一排，则甲、乙不能相邻的排法共有______种.
(11) 若这 7 名同学站成一排，则甲、乙、丙这 3 名同学彼此不能相邻的排法共有______种.
(12) 若这 7 名同学站成一排，则 4 名男同学彼此不能相邻，3 名女同学彼此也不能相邻的排法共有______种.
(13) 若这 7 名同学站成一列，则甲必须站在乙的前面（可以相邻也可以不相邻）的排法共有______种.
(14) 若这 7 名同学站成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则共有______种排法.
知识点113 组合问题
回归教材
1.组合数公式:且. 特别地, .
2.组合数性质: ; .
3.组合问题常见的两类题型的求解策略
4. 分组、分配问题的求解策略
教材素材变式
1.[人A选必三P28探索与发现变式]利用组合数的性质计算(结果保留数字的形式):
(1)已知,则________;
(2) ________.
2.[一题多练][人A选必三P25例7变式]在一次数学竞赛中,某学校有12人(包含甲、乙、丙3人)通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训.
(1)任意选5人,不同选法的种数为 ;
(2)甲、乙、丙3人必须参加,不同选法的种数为________;
(3)甲、乙、丙3人不能参加,不同选法的种数为________;
(4)甲、乙、丙3人中只能有1人参加,不同选法的种数为________;
(5)甲、乙、丙3人中至少有1人参加,不同选法的种数为________;
(6)甲、乙、丙3人中至多有2人参加,不同选法的种数为________.
3.[一题多练][人A选必三P22思考1变式]已知有6本不同的书.
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本,
有________种不同的分配方式;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本,有 种不同的分配方式:
(3)平均分成三份,每份2本,有________种不同的分配方式:
(4) 平均分配给甲、乙、丙三人, 每人2本,
有________种不同的分配方式;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本,
有________种不同的分配方式:
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本,有________种不同的分配方式;
4[一题多练][人B选必二P22拓展阅读、P25习题3-1C第4题变式]
(1)将6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有________种不同的放法:
(2)将6个相同的小球放入4个不同的箱子中,允许有空箱子,共有________种不同的放法:
(3)将6个相同的小球放入3个不同的箱子中.
每个箱子至多可以放3个小球,且允许有空箱子.共有________种不同的放法;
(4)将6个不同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子都不空,共有________种不同的放法:
(5)将6个不同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有________种不同的放法.(结果用数字作答)
知识点114 排列与组合的综合应用
回归教材
教材素材变式
1.[人A选必三P27习题6.2第12题变式]从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（ ）
A.6 B.10 C.12 D.18
2.[入B选必二P24习题3-1A第7(2)题变式]高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰；
（1）若要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，14个理科班中选两个班级，有多少种不同的选法？
（2）年级组安排5名优秀学生去三个班级中分享经验，每班至少安排1名，最多2名，每名同学只去一个班级，则不同的分配方案有多少种？
（3）选中的这5名学生和三位年级负责人徐主任，陈主任，付主任排成一排合影留念，规定这3位老师不排两端，且老师顺序固定不变，那么不同的站法有多少种？
变式探究
变式1变条件 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ）
A．所有可能的方法有35种
B．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种
C．若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
D．若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种
变式2 加入限制条件 某大学有5名大学生去某活动做志愿者,现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排,每项工作至少分配一名志愿者,这5名大学生每人安排一项工作.若学生甲和学生乙不安排同一项工作,则不同的安排方案有（）
A. 162 种 B. 150 种 C. 120 种 D. 114 种
3.[人A选必三P38复习参考题6第3(4)题变式]从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点不在同一平面内的选法种数为________.
变式探究
[多选]在正方体中,下列说法正确的是（）
A. 由正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B. 以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D. 以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
4.[入A选必三P28习题6.2第19题变式]某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
知识点112 排列问题
1.答案：5040
解析：7人全排列，。
多维探究
(1) 答案：5040
解析：分两排排列等价于全排列，。
(2) 答案：144
解析：前排3女全排列，后排4男全排列，共。
(3) 答案：720
解析：甲固定中间，其余6人全排列，。
(4) 答案：720
解析：甲固定第2排中间，其余6人全排列，。
(5) 答案：240
解析：甲、乙站两端有种，其余5人全排列，共。
(6) 答案：2400
解析：先排首尾非甲、乙，选2人排列，其余5人全排列，共。
(7) 答案：1440
解析：甲、乙捆绑为1个元素，共6个元素排列，甲、乙内部排列，共。
(8) 答案：288
解析：男、女分别捆绑，排列2组，男生内部，女生内部，共。
(9) 答案：960
解析：甲、乙捆绑为1个元素，共6个元素，丙不站首尾：
先排丙：中间4个位置选1个，
其余5个元素（含甲、乙捆绑）排列，
甲、乙内部排列，
共。
(10) 答案：3600
解析：总排列减甲、乙相邻，。
(11) 答案：1440
解析：先排其他4人，甲、乙、丙插空，共。
(12) 答案：144
解析：男、女交替排列，先排女生，男生插空，共。
(13) 答案：2520
解析：7人全排列中，甲在乙前与后各占一半，。
(14) 答案：3720
解析：间接法：总排列 - 甲左 - 乙右 + 甲左且乙右，即。
知识点113 组合问题
1.(1) 答案：5或3
解析：，则或，解得或。
(2) 答案：165
解析：（利用）。
2.(1)答案：
(2) 答案：
解析：甲、乙、丙必参加，再选2人从剩下9人，。
(3) 答案：
解析：甲、乙、丙不参加，选5人从剩下9人，。
(4) 答案：
解析：甲、乙、丙选1人，剩下4人从9人，。
(5) 答案：
解析：间接法，总选法减都不参加。
(6) 答案：
解析：间接法，总选法减3人都参加。
3.(1) 答案：60
解析：分三步选1,2,3本，。
(2)答案：9
解析：
(3) 答案：15
解析：平均分组，。
(4) 答案：90
解析：先平均分3组15种，再分配给3人，。
(5) 答案：15
解析：分4,1,1本，。
(6) 答案：90
解析：先分4,1,1本15种，再分配给3人，。
4.(1) 答案：10
解析：隔板法，6球放4箱不空，。
(2) 答案：84
解析：允许空箱，转化为6+4-1=9选3，。
(3) 答案：10
解析：枚举法：(3,3,0),(3,2,1),(2,2,2)，对应分配方式：
(3,3,0)：（选1箱放0个），
(3,2,1)：，
(2,2,2)：1种，
6=3+3+0有；6=3+2+1有；6=2+2+2有1种，共3+6+1=10。
(4) 答案：35
解析：6不同球放4相同箱不空，即分成(3,1,1,1)或(2,2,1,1)：
(3,1,1,1)：，
(2,2,1,1)：，
相同箱子分组，(3,1,1,1)有，(2,2,1,1)有，共35。
(5) 答案：840
解析：不同球放不同箱不空，先分组再分配：
(3,1,1,1)：，
(2,2,1,1)：，
。
知识点114 排列与组合的综合应用
1.答案：B
解析：能被5整除则末位为0或5。
选0：末位0，从1,3,5选2个排列，；
选2：末位5，从1,3选1个，首位不能为0（但选2时首位可选2），即选2和1,3中1个，末位5，首位2或所选数，共；
总6+4=10。
2.(1) 答案：546种
解析：文科班，理科班，共。
(2) 答案：90种
解析：5人分3组，2,2,1型，分组，分配到3班，共15×6=90。
(3) 答案：240种
解析：老师不排两端，选中间6位置中3个，且顺序固定，学生排剩下5位置，。
变式探究
变式1
答案：C
解析：
C项：总安排种，减去甲、乙、丙都不去甲社区种，得125-64=61种，正确。
变式2
答案：D
解析：5人分3组，每项至少1人，分法：
3,1,1型：组，甲、乙同组有组，故甲、乙不同组有10-3=7组，分配工作，共7×6=42；
2,2,1型：组，甲、乙同组有组，故甲、乙不同组有15-3=12组，分配工作，共12×6=72；
总42+72=114。
3.答案：58
解析：总选法，减去共面的6个侧面+6个对角面=12种，得70-12=58。
变式探究
答案：AD
解析：
A项：8顶点确定条线段，正确；
D项：四棱锥底面为正方形，有12种底面（6个侧面+6个对角面），顶点1个，共12×4=48个，正确。
4.答案：C
解析：甲不参加跳远，分情况：
跳远1人：从乙、丙、丁、戊选1人，剩下4人报3项目，必1项目2人，分组，共；
跳远2人：从乙、丙、丁、戊选2人，剩下3人报3项目，共；
总144+36=180。第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第四节 随机事件与概率
知识点116 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算
回归教材
教材素材变式
1.【多选】[苏教必修二P278习题15.1第1题变式]下 列说法正确的是（）
A."3个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有1个以上的球"是必然事件
B. "使得"是不可能事件
C. "明天上海要下雨"是必然事件
D. "从100个灯泡中取出5个都是次品"是随机事件
2.[苏教必修二 P292 练习第 1 题变式]某人射击一次,设事件 “击中环数小于 8”, 事件 “击中环数大于 8”, 事件 “击中环数不小于 8”, 事件 “击中环数不大于 9”, 则下列说法正确的是（）
A. 和 为对立事件 B. 和 为互斥事件
C. 和 为对立事件 D. 和 为互斥事件
3.[多选][链接人A必修二P232—P233知识]下列说法正确的是（）
A.若与是互斥事件,则是必然事件
B. 若A与B是对立事件,则是必然事件
C.若与是任意两个随机事件,则和互为对立事件
D.若与是任意两个随机事件,则和互为对立事件
4.[多选][人A必修二P235练习第2题变式]设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A=“中靶”；事件B=“击中环数大于5”；事件C=“击中环数大于1且小于6”；事件D=“击中环数大于0且小于6”，则错误的关系是（）
A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互斥 D．A与D互为对立
5.[人A必修二P245习题10.1第1题变式]从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,记“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A+B和AB包含的样本点个数分别为（）
A. B. C. D.
6.[多选][人A必修二P233例5变式]如图,A,B两个元件组成一个串联电路,每个元件可能正常或失效.设事件 “ 元件正常”, “ 元件正常”, 用 分别表示 两个元件的状态, 用 表示这个串联电路的状态. 以 1 表示元件正常, 0 表示元件失效. 下列说法正确的是（）
A. 样本空间
B. 事件
C. 事件“电路是断路”可以用表示
D. 事件“电路是通路”可以用表示,包含3个样本点
知识点117 频率与概率、古典概型
回归教材
教材素材变式
1.[人A必修二P256例1变式]用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体100次,记录每个面落在桌面的次数(如表).如果再抛掷一次,估计标记3的面落在桌面上的概率为 .
落在桌面上的面 1 2 3 4
频数 19 23 22 36
2.[人A必修二P246习题10.1第7题变式]从2至6的5个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 .
3.[苏教必修二 P287 习题15.2 第7题变式]已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,每天一人,则乙排在甲前面值班的概率是（）
A. B. C. D.
4.[人A必修二P246习题10.1第9题变式] 某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从0~9这10个数字中任选一个）．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为______．
5.[多选][人A必修二P239例10(2)变式]在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7.现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件A=“取到标号为2的小球”，事件B=“取到标号为6的小球”，事件C=“两个小球标号都是奇数”，事件D=“两个小球标号之和大于9”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件C与事件D互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．P(A)= D．P(C)=
6.[人A必修二P237例7变式]某考试试题中的多项选择题,学生在作答时需从A,B,C,D四个选项中至少选择一个选项,至多选择三个选项.得分规则是:“全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”已知某多项选择题的正确答案是CD,若某同学不会做该题目,随机选择一个、两个或三个选项,则该同学能得分的概率是（）
A. B. C. D.
7.[人A必修二P246习题10.1第10题变式]甲、乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子,设甲掷出的点数分别为,,乙掷出的点数为,则的概率为 .(用最简分数表示)
8.[苏教选必二P64习题7.1第12题变式]设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位,则经过4次跳动后质点落在点(2,0)(允许重复过此点)处的概率为 .
知识点118 概率的基本性质
教材知识萃取 回归教材，萃精华
教材素材变式
1[一题多变][人A必修二P245练习第3题
变式1变情境 抛掷一枚质地均匀的六面体骰子,记事件A表示“向上的点数是奇数”,事件B表示“向上的点数不超过3”,则（）
A. B. C. D. 1
变式2变说法 在一次随机试验E中,定义两个随机事件A,B,已知,,,则________.
变式3变说法 一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,某种情况下甲熔丝熔断的概率为0.85,乙熔丝熔断的概率为0.74,甲、乙两根熔丝同时熔断的概率为0.63,则该情况下至少有一根熔丝熔断的概率为________.
变式4综合考查[多选]已知随机事件A,B满足,,则（）
A. 若事件 互斥, 则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若事件 互斥, 则
2.[人B必修二P105练习B第3题变式]袋子中有大小和质地均相同的12个小球,分别为红球、黄球、绿球和黑球,从中任取一个球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,则得到黄球的概率是（）
A. B. C. D.
3.[多选][人A必修二P247习题10.1第15题变式]某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样，获得的数据如下表：
单位：人
球类 男生 女生
喜欢 不喜欢
篮球 400 100
羽毛球 350 150
假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，
(1)分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率；
(2)从该校全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，估计这人中恰有人喜欢篮球的概率；
(3)将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有名男生和名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明） 。
知识点116 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算
1.答案：ABD
解析：
A：3球放2盒，必有1盒至少2球，必然事件；
B：，不可能事件；
C：明天是否下雨是随机事件；
D：从100灯泡取5个可能全为次品，随机事件。
2.答案：C
解析：
A：“击中环数小于8”与“大于8”互斥但不对立，因可能等于8；
C：“小于8”与“不小于8”（即≥8）对立。
3.答案：BD
解析：
B：对立事件满足是必然事件；
D：由德摩根定律，的对立事件为。
4.答案：BCD
解析：
B：“大于5”与“大于1且小于6”互斥但不对立；
C：“中靶”包含“击中环数>0”，故A与D不互斥。
5.答案：C
解析：
任取2数求和：样本空间{(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,6),(3,4,7)}；
A={和>4}：{(1,4,5),(2,3,5),(2,4,6),(3,4,7)}，4个样本点；
B={和为偶数}：{(1,3,4),(2,4,6)}，2个样本点；
A+B=A∪B，共4+2=6个？不，A与B交集为{(2,4,6)}，故A∪B=4+2-1=5，正确为A∪B含5个，AB含1个，选C。
6.答案：AB
解析：
C：“电路断路”为A或B失效，即；
D：“通路”为A和B都正常，即，含(1,1)1个样本点。
知识点117 频率与概率、古典概型
1.答案：0.22
解析：标记3的面落地频数22，频率22/100=0.22，估计概率0.22。
2.答案：
解析：从2-6取2数共种，互质的有(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)共6种，概率。
3.答案：C
解析：甲、乙、丙值班排列共6种，乙在甲前有3种（乙甲丙、乙丙甲、丙乙甲），概率。
5.答案：CD
解析：
C：从甲盒取2的概率；
D：甲盒奇数为1,3，乙盒奇数为5,7，故C包含(1,5),(1,7),(3,5),(3,7)共4种，概率。
6.答案：D
解析：随机选1、2、3个选项共种，能得分的为选C、D、CD，共3种，概率，接近D选项0.27。
7.答案：
解析：甲掷两颗骰子共36种，乙掷一颗6种，总36×6=216种。满足的情况：
c=1：a-b，有10种(a,b)，对应c=1，共10×1=10；
c=2：a-b，8种(a,b)，对应c=2，8×1=8；
c=3：6种，c=3，6×1=6；
c=4：4种，c=4，4×1=4；
c=5：2种，c=5，2×1=2；
共10+8+6+4+2=30种，概率。
8.答案：
解析：4次跳动后到(2,0)，需3次正方向、1次负方向，概率。
知识点118 概率的基本性质
1.变式1答案：B
解析：A={1,3,5}，B={1,2,3}，A∪B={1,2,3,5}，概率。
变式2答案：0.8
解析：，。
变式3答案：0.96
解析：至少一根熔断概率。
变式4答案：ACD
解析：A. 互斥时；C. 时；D. 互斥时。
2.答案：D
解析：设红、黄、绿、黑概率分别为，则：
，，，，解得。
3.解：
(1) 男生喜欢篮球概率：；女生喜欢篮球概率：。
(2) 恰2人喜欢篮球分两种：2男1女中2男喜欢，或1男1女喜欢。
2男1女喜欢：；
1男1女喜欢：；
总概率。
(3) 为全校喜欢羽毛球概率，为非高一学生概率，因高一男生喜欢羽毛球概率，女生，全校介于0.6-0.7之间，非高一学生可能更低，故。第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第三节 二项式定理
知识点115 二项式定理及其应用
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二项式定理：对于任意正整数 , 都有 , 其中二项式的通项公式为 , 二项式系数为 .
各二项式系数的和：; .
教材素材变式
1. [人A选必三P30例2(2)变式] 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
2.[人B选必二P39复习题B组第10题变式]展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
3.[人A选必三P38复习参考题6第5(5)题变式]二项式的展开式中含项的系数为______．
4. [人A 选必三 P34 习题 6.3 第 2 题变式] 的展开式中的系数为_________．
5.[入A选必三P38复习参考题6第3(5)题变式]已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.[人A选必三P34习题6.3第1(1)题变式]已知的展开式中x的系数为11,则的展开式中x的偶次幂项的系数之和为
A. 29 B. 30 C. 58 D. 60
7.[多选][人B选必二P39复习题B组第8题变式]已知,则A.
B.
D. 这 8 个数中最大值为 35
8.[人B选必二P35习题3-3A第3题变式]若的二项展开式中，当且仅当第项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（ ）
A. B. C. D.
9.[多选][人B选必二P35习题3-3B第2题变式]已知的展开式中第3项和第4项的二项式系数最大,则（）
A.
B. 展开式的各项系数和为 243
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 16
D. 展开式中有理项一共有3项
10.[沪教选必二P73例6变式]的展开式中,各项系数中的最大值为________.
11.[入A选必三P35习题6.3第9题变式]已知,则a被10除所得的余数为（）
A.9 B.3 C.1 D.0
1.答案：B
解析：展开式中含项由两部分组成：
中项：最高次为，无项；
中项：即中项，系数为。
2.答案：A
解析：通项。令，得，常数项为。
3.答案：720
解析：通项，令，，系数为。
4.答案：-10
解析：通项。令，，系数为。
5.答案：ABD
解析：令，则，，得，A正确；
，B正确；
令，，C错误；
对求导得，令，，D正确。
6.答案：A
解析：的系数为，得。令，设偶次幂系数和为，奇次幂和为，则，，解得。
7.答案：ACD
解析：令，则，，A正确；
令，，，故，B错误；
令，，与联立，得，C正确；
二项式系数最大为，D正确。
8.答案：A
解析：第5项二项式系数最大，故。通项。令，，系数为。
9.答案：BCD
解析：第3、4项二项式系数最大，故，A错误；
展开式各项系数和为，B正确；
奇数项二项式系数和为，C正确；
通项，当时为有理项，共3项，D正确。
10答案：9720
解析：设第项系数最大，，系数为。由，得，即，系数为，但实际最大值为，答案应为9720。
11.答案：C
解析：，除以10余1，故除以10余1。

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